最新8-曲线与方程

8-曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1曲线与方程
教材分析
曲线与方程是人教A版高中数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第一节的内容，这一
节具有承上启下的作用，在前面必修2部分已经学习了“直线的方程”、“圆的方程”.曲线与
方程是它们的上位概念，学生的学习是上位学习.在已有学习的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，体验“数”与“形”的转化与结合，
领会解析几何的基本思想方法——坐标法.同时介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆
锥曲线等储备理论基础.
课时分配
本课时是曲线与方程的第一课时，主要解决的是曲线与方程的关系和曲线方程与方程曲线的概念，为下一步用方程研究曲线的性质做好铺垫.
教学目标
重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念；体会解析几何的核心思想方法——坐标法.
难点：由特殊的“直线与圆”的方程，抽象出一般的曲线与方程的概念.
知识点：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释.
可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线.
能力点：用合适的方式解释曲线的方程的作用，说明解析法的价值.
教育点：结合直线、圆或者其他图形的方程的研究过程，解释求一般的曲线方程的步骤和过程.
自主探究点：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进.
考试点：把曲线（图形）看成点运动的结果，把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究.
易错易混点：自觉按照规范的步骤分析解决相关问题，说明中的自变量范围的界定.
拓展点：链接高考.
教具准备实物投影机和粉笔
课堂模式诱思探究
一、创设情境
师：在必修2关于几何问题的学习中，我们讨论的对象是直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中主要做的应该是什么呢？
生：用解析的方法，用方程来研究.
师：那么借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题了?
生：直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……
老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：
第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.
第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致.
师：本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.
【设计意图】从学生的认知基础出发，讨论初中、高中在研究直线、圆两个几何对象的异同点.高中主要是对这些几何对象和它们间的关系用代数的、主要是方程的方法、方程的语言做了重新的描述，于是，这些几何对象、几何关系就成为了代数的对象、代数的关系，实现了几何问题代数化.把借助形象、综合的几何性质进行推理的问题变成了代数运算问题（机械化，借助于几条稳定的而可靠的运算性质得到更为丰富的结论），对对象的认识更加准确. 进一步激发学生对一般曲线与方程关系的研究兴趣.
二、探究新知
先请学生独立解决如下几个问题：
例1 写出下列曲线的方程
⑴第一、三象限角分线
⑵圆()4122
=+-y x 关于y 轴的对称图形 ⑶设动点M 与两条坐标轴的距离的积是1，求动点M 的轨迹方程.
例2 写出下列曲线的方程
-2
2y
x
o -22
学生独立解决的过程中教师进行巡视、观察，了解学生在解决问题过程中的智慧与困难，然后组织学生将自己的想法和困惑在全班交流.
师：大家觉得这些题目哪个最熟悉，解决起来很容易？
生：例1中前两个题目.
师：哪些题目看似熟悉，但又与我们之前学习的曲线不太一样？
生：例2的题目.
师：哪个解决起来最困难？
生：例1（3）.
【设计意图】学生会根据自己对题目的熟悉程度，将问题分类，这些问题有旧有新，通过组织学生交流反思，引导学生不断认识自己的发展.
（1）对熟悉的曲线如何求出方程
师：好，那我们从大家认为最简单的问题说起.例1（1）的方程是什么？
生1：x y =
师：这个方程怎么得到的？
生1：第一、三象限角分线是直线，倾斜角是45︒, 所以斜率是1.
师：只有斜率就确定直线了？
生1：直线过原点.
师：很好，她发现角平分线是一条直线，确定直线需要两个要素（一点一斜率或两
点），她抓住了一点一斜率，确定了直线的方程.例1（2）的方程是什么？
生2：()4122
=++y x . 师：这个方程怎么得到的？
生2：由已知圆的方程求出圆心和半径，再根据对称性求出所求圆的圆心坐标为
()0,1-，半径不变.
师：好，圆()4122
=++y x 关于y 轴的对称图形还是圆，他抓住了确定圆的两个要素：圆心和半径得到了对称后圆的方程.
师：大家为什么觉得这两个题目比较简单，容易写出方程？
生：图形比较明确，就是熟悉的直线和圆.
师：对于我们熟悉的曲线（如直线、圆），找到确定这些几何对象的要素（直线：一点一斜率；圆：圆心、半径）利用待定系数的方法就可以直接写出方程了.
（2）对看似熟悉，但不“完整”的曲线如何求出方程
师：哪些题目看似熟悉，但又与我们之前学习的曲线不太一样？
生：例2的题目.
师：好，那我们把大家的答案一起交流一下.例2（1）的方程是什么？
生3：)0(1≠=y x .
师：为什么要加一个限制条件？
生3：因为图像与x 轴的交点被抠掉了.在方程中就要把0,1==y x 这个解去掉.
师：如果不加限制，这个方程所表示的曲线是什么？
生3：垂直于x 轴的整条直线！
师：例2（2）的方程是什么？
生4：)10(01≤≤=-+x y x .
师：为什么要加这个范围？
生4：图形是线段，是直线的一部分.在方程中就要给x 加限制.
师：能不能不给x 加限制，只给y 加限制？如10≤≤y .
生：可以，它们是一一对应的.
师：我也看到有的同学把限制条件写成0≥x 或1≤x ，这样可以吗？
生：不行，这样方程代表的是射线不是线段.
师 ：例2（3）的方程是什么？
生：)10,10(122≤≤≤≤=+y x y x .
师：为什么刚才只给一个变量加以限制，现在要加两个?
生：一个x 对应两个y .
师：如果不给y 加限制，即)10(122≤≤=+x y x ，那么这个方程表示的曲线是什么？ 生：左半个圆.
师：很好.通过这个例子我们看到仅仅使得曲线上点的坐标都满足方程，会出现方程的解不在曲线上的情况，所以就要对方程中的变量加以限制，使得方程的解所对应的点都在曲线上.才能说得到的方程是这个曲线的方程.
由此，得出本节课的核心概念——曲线的方程、方程的曲线.并通过板书说明这一概念的本质是曲线上的点与方程的解之间的一一对应的关系.
曲线与方程可以看作是同一事物
的两种不同的表现形式，曲线的方程
是曲线的代数形式，方程的曲线是方
程的几何形式，曲线的性质可以在方
程中体现出来，方程的性质也可以通
过曲线反映出来.
【设计意图】求曲线的方程，学生在直线与圆的部分已有学习经验，但是由于此前都是能够直接从几何性质出发通过代数推理得到不需要考虑x ，y 范围的方程问题，也就是对于直观的几何性质全部代数化的认识还不系统，比如，线段与直线的区别表现在方程中就是变量的取值范围，这就导致学生认识到说明“得到的方程的解与曲线上的点一一对应”的必要性，而这恰是本节课的教学重点，也即形成“曲线的方程和方程的曲线的概念”，因此，这里通过设计可能暴露学生认识缺陷的问题，通过对话澄清、强化概念.
（3）对不熟悉的曲线，如何求出方程
例1（3）：设动点M 与两条坐标轴的距离的积是1，求动点M 的轨迹方程.
师：大家为什么认为这个问题比较难解决？
生：不知道图形是什么样.
曲线的方
师：对于这个曲线，我们仅凭题目中对它几何特征的描述，很难想象出它的图像，这时就体现出解析几何的好处了，我们可以先建立这个曲线的方程，然后利用方程来研究这个曲线.对于我们不熟悉的曲线，怎样获得它的方程呢？（可类比圆的方程的获得过程）
生5：在曲线上任取一点()y x ,，则它方程为1=xy .
生6：应该是1=⋅y x ，或1±=xy ，或()01≠±
=x x
y 师：为什么加绝对值了？
生：是距离的乘积.
师：很好，在写方程时我们要将几何条件全部代数化，要注意题目中的关键信息——距离.
另外，用不用给x 加限制条件？
生7：不用，0=x 的点不在曲线上.
师：很好.0≠x 这个条件已经隐含在方程中了，就不用加这个限制条件了.
教师引导学生回顾获得方程的思路，归纳得出：对于我们不熟悉的曲线，可以类比圆的方程的获得过程：把曲线看成点的集合，把静态的点集的问题变成了一个动点问题，再借助化动为静；通过直角坐标系把点变成了数对，把点满足的几何关系变成表示点的两个数（变数）间的代数关系，即得到方程.
师：得到的这个方程一定是该曲线的方程吗？
生：不行，还要“回得去”.
【设计意图】有了之前对曲线与方程概念的剖析，学生马上意识到，应该对方程加以检验.
生7: 设点1M 的坐标),(11y x 是方程1=⋅y x 的解，则111=⋅y x ，而1x 、1y 正是点1M 到纵轴、横轴的距离，因此点1M 到这两条直线的距离的积是1，点1M 是曲线上的点. 师：很好.这样我们就从两个方面验证了方程1=⋅y x 就是该曲线的方程.
【设计意图】通过三类难易程度不同的求曲线方程的问题，让学生从已有经验出发，逐步寻求获得曲线方程的方法，并通过与学生对话、交流，进一步提升学生对曲线的方程、方程的曲线的认识，并归纳总结出如下结论：
第一，对于我们熟悉的曲线（如直线、圆），找到确定这些几何对象的要素（直线：一点一斜率；圆：圆心、半径）用待定系数法直接写出方程；
第二，对于我们不熟悉的曲线（如（3）），可以类比圆的方程的获得过程：把曲线看成点的集合，通过直角坐标系把点变成了数对，把点满足的几何关系变成表示点的两个数（变数）间的代数关系，即得到方程.
第三，有时候会发现，仅仅考虑代数推理的结果得到的方程与原曲线不一致，会出现方程的解不再曲线上的情况，因此，需要坐一下验证，要想说明得到的方程是该曲线的方程，必须满足两个条件：曲线上点的坐标都满足方程；方程的解所对应的点都在曲线上.
三、理解新知
由方程研究曲线
师：得到方程，并不是解析几何最终的目的，我们是希望借助方程来研究与之对应的曲线.那么，通过方程1=⋅y x ，你能不能“看出”几何图形？
生8：方程1=⋅y x 就是方程1±=xy ，曲线是两个反比例函数的图像.
师：非常好！大家利用我们熟悉的函数图像，“看出了”几何图形.但是，如果得到的方程不是我们熟悉的函数，怎么借助方程研究曲线呢？
生9：描点.
师：很好，描点法是我们画图像的常用方法，它体现了方程的曲线这一概念的本质.我们先从方程中取几组解，这样就对应了几个点，将这些点连接起来就是方程的曲线.但是描点前应该对曲线的性质有一定的了解，比如：曲线的范围、对称性能否从方程中获得？
生10：由方程1x y ⋅=可知0x ≠且0y ≠，因此方程的曲线与两坐标轴的没有交点.
生11: 以x
-代替x，方程未改变，因此方程的图象关于y轴对称，同理也关于x轴、原点对称.
在学生讨论的基础上，总结：
第一，获得了曲线的方程后，有时候相关的代数知识（包括函数）帮助我们“看出”几何图形的样子（例如1
x y
⋅=），我们就有了更多研究几何的工具.
第二，关于方程的曲线，我们已经非常熟悉的函数的图像相信已经让我们认识到了借助图像更加直观、形象地认识函数所刻画的对象的规律的价值.
五、课堂小结
首先请学生谈谈本节课的收获与体会，解决问题过程中感受到的经验或者困难，师生一起总结：
第一，知识与技能方面：我们学习了曲线的方程、方程的曲线的概念，这个概念的本质就是曲线上的点与方程的解存在一一对应的关系.所以今后在求曲线的方程时要有意识地从这两个方面加以验证，养成检验的习惯.
第二，思想方法方面：获得曲线的方程的方法就是将曲线视为点的集合，并将点所满足的条件用点的横、纵坐标之间的关系来表示，就得到了方程.这一过程体现了数形结合的思想方法.连接几何与代数的桥梁就是平面直角坐标系.
第三，情感态度价值观方面：从对例1（3）的问题解决中可以看出解析法的价值，对不熟悉的曲线可以先建立它的方程，利用方程进一步研究曲线，真正实现了数与形和谐统一的内在美（几何对称与代数对称；从点与数对一一对应到曲线与方程一一对应等）.所以伟大的无产阶级领袖恩格斯评价解析几何是“数学史上的转折点”之一.
六、布置作业
1、必做题：
37.14, 1.
P A T B T
习题2组：组：2、选做题：
精品好文档，推荐学习交流
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 丛书356,(2012P T 四川理科高考题21)
七、反思提升
1. 曲线上点的坐标都是方程的解；方程的解都是曲线上的点，那么这个方程就叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线.学生对于这句话还是理解的，但是不清楚每句话的作用，也不太理解为什么要这样描述曲线的方程和方程的曲线，有比这更容易理解的描述为什么不用，比如：根据方程画出的图象就叫方程的曲线等.这主要是学生仅限于表面上的关系，就简避繁的习惯引起的，其实通过正例、反例的对照就可以让学生明白；通常直接法、定义法等求轨迹方程时，学生没有习惯验证一一对应，不能自觉地补点、抠点等等.教师应该引导学生将已知条件等价转化为所求方程，对于有些条件可以暂时不考虑，但是在求得方程之后要综合进行考虑这个条件的作用.曲线与方程是对应的，反过来曲线上扣去的点也是方程要去掉的解.
2.本节课的亮点是能让学生全程参与建构概念，通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣.
3.本节课的不足之处是由于给学生留下了较多的思考参与时间，练习相对少了点.
八、板书设计。