材料力学作业参考题解2

7-2 悬臂木梁上的载荷F1=800N，F2=1650N，木材的许用应力[σ]=10MPa，设矩形截面的h=2b， 试确定截面尺寸。
解：危险截面为固定端，其内力大小为
MyF1216N 00m M zF 2116N 50 m
危险点为截面角点，最大应力为
ma x M W y yM W zz6 h M 2 yb 6 b M 2 zh3b M 3y3 2 M b3 z
6-2 圆截面直杆受力如图所示。试用单元体表示A点的应力状态。已知F=39.3N，M0=125.6Nm， D=20mm，杆长l=1m。
解：按杆横截面和纵截面方向截取单元体
W M 3 D F 3 2 l3 2 3 0 .0 .3 9 31 25.0 0M 4 Pa
W Tp1D M 6301 60 1.02 .3 6 25 7.9M 6 Pa
由强度条件 max[]
1
1
b [1 ](3 M y2 3M z) 3 3 11 6 1 1 0 .0 5 6 0 1 06 3(m 5) 0 9m 0m
则取截面尺寸为 b9m 0 mh18 m0m
7-4 斜梁AB的横截面为100 mm×100 mm 的正方形，若F=3kN，作梁的轴力图、弯矩图， 并求梁的最大拉应力和最大压应力。
6-11 已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为MPa）。试求：（1）主应力及最大
切应力；（2）体积应变θ；（3）应变能密度u及畸变能密度ud。设材料的E=200GPa，
μ=0.3 。
解： （a）如图取坐标系
z 0 x 0 y 0 x y 40
x

m
ax

m in
~ ~m mian xx 2y x 2y2x2y
22 0 3 0 22 0 3 2 0 ( 4)2 0 5 4.1 7 7 5 4 .1 2 .1 2 77
主应力为： 1 5 .1 2 M 7 P 2 5 M a 0 P 3 4 a .1 2 M 7 Pa
2
以直线 1 为中性轴
y
ay10.3maz1
y F 1 a iz 2 y 1 0 .0 0 .31 9 0 .03 m 6 4 6m 4m zF 1 0
以直线 2 为中性轴
(0,64)
(-48,48)
(48,48)
(-64,0)
(64,0)
(-48,-48)
(48,-48)
u d 1 6 E [1 (2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2 ]
(1 0 .3 ) 42 0 110 2 1.4 0 13( 0 J/m 3) 2 0 19 0 0
6-11 已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为MPa）。试求：（1）主应力及最大
37.98
1
解： ห้องสมุดไป่ตู้d)
x 20y 40x y40
m m ian x 2 6 0 2 2 0 2420 3 0 4.2 1 3 1 7 .2 1 .2 1 33
1 1 .2 132 0 3 7 .2 13
解：假定 F 为均布压力的合力，由已知条件
y
F60006M 0 Pa A 10 10
z0 x0
由广义胡克定律
1 x E [x (y z ) 0 ] x (y z ) 0 .3 6 0 1 M 8 P
z E 1 [z(xy ) ] 0 .3 2 ( 6 0 1 1 0 ) 9 0 1 8 0 6 0 1 1 1 6 7 0
x 2ysi2 n 3()0 7 02 36.6 0(M 2 )Pa
(b)
x 70y 70x y0 3 0
x 2yx 2yco 2 3 s()0 7(M 0 )Pa
x 2ysin 2(30)0
6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（1）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 单元体；（2）最大切应力（单位MPa） 。
解：测点 K 处剪力为:
Fs

2 3
F
中性层上的点处于纯剪切应力状态，有：
45
45 90
F sSz*max
Izt
由广义胡克定律
45
45 45 90(1)
E
E
则： 2F 3Izz*S tma x(1 E)45(4.6 2M 6 P ) a
E
12
(x
y)
2 10 0 .1 32 0 90 (0.40.30.1) 213 08M 0 Pa
y
E
12
(y
x)
2 1 0 0 .1 3 2 0 90 ( 0 .1 2 0 .3 0 .4 ) 1 3 0 0
6-17 在图示梁的中性层上某点K处，沿与轴线成 45º方向用电阻片测得应变ε= -0.260×10-3 ，若 材料的E=210GPa， μ =0.28 。试求梁上的载荷F 。
即： F(1E)45 23SIz*m ztax
查表得:
t8.5mmSz*Im z ax24m6m
3 2 1 19 0 0 0 .2 1 6 3 0 2 4 1 3 6 0 8 .5 1 30

1.7 3 k9 3 N
2 (1 0 .2)8
u 2 1 E [1 22 22 2 2(122331 )]
3 (1 2 2 2 0 .3 ) 0 1 59 2 0 0 0 110 27 .5 13( 0 J/m 3 )
u d 1 6 E [1 ( 2 ) 2 (2 3 ) 2 (3 1 ) 2 ] 0
6-19 求图示各单元体的主应力，以及它们的相当应力，单位均为MPa。设 μ =0.3 。
解：准平面应力状态，如图取坐标系，已知一主应力 σz =50MPa， 可按平面应力状态公式求得另外两个主应力。
x 2M 0 P y 3 a M 0 P x y a 4M 0 Pa
x
z y
的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。 (1)只有F 和Mx作用；(2)只有My 、Mz 和 Mx作用；(3) My 、Mz、Mx 和F 同时作用。
解： (1)只有F 和Mx作用，拉扭组合，任一截面周边上的点 都是危险点


单元体可画成平面单元体如图(从上往下观察)



A

6-5 试用求下列各单元体中ab面上的应力（单位MPa） 。
解：(a)
x 70y 70x y0 3 0
x 2yx 2yco 2 3 s)0 ( 7 1 2 0 3(M 5)P
3
tan20
2xy x y
4
x
0 37.98
y
~max
x

y
2
2
x2y

41.23
max1 234.1 2 3~max
6-9 图示一边长为10mm的立方钢块，无间隙地放在刚体槽内，钢材弹性模量E=200GPa， μ =0.3，设F=6kN，试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变（不计摩擦） 。
解：(a)
x 50y0 xy 20
m m ian x5 2 0 5 2 0 2220 2 53.0 2 2 5 7 ..0 7 02 2
19.33
1
1 5 .0 722 0 3 7 .02
3
y
tan20
(0 .2 4 6 .7)M 5 P 6 .9a M 9 Pa
最大拉应力在C 处右侧截面下边缘各点，其大小为
M：
1.125kNm
tma xM W c61.1 0.13 2 1530 (P)a 6.7M 5 Pa
7-5 在正方形截面短柱的中部开一槽，其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？ 解：未开槽短柱受轴载作用，柱内各点压应力为
解：将F 分解为轴向力Fx 和横向力 Fy
F x5 4F2.4kNF y5 3F1.8kN
Fx Fy
作内力图 最大压应力在C 处左侧截面上边缘各点，其大小为
FN ：
- 2.4kN
c ma x F A N c M W c 2 .4 0 .1 1 23 0 6 1 .1 0 .1 3 2 135 (0 P )a

40
1 402 0 3 40
z y
max123 40
1E 2(123)0
u 2 1 E [1 22 22 2 2(122331 )]
2 (1 2 0 2 .3 ) 0 4 12 9 0 0 0 110 2 1.4 0 13(0 J/m 3 )
(0,-64)
(mm)
ay20.4maz20.4m yF2a izy 220.0 0.41 90 3.04 m 84m 8 m
zF2
iy2 az2
48mm
F1 、F2 两点的联线构成截面核心边界的一部分，按类似的 方法可得该截面的截面核心为以截面形心为中心的八边形
7-13 图示钢制圆截面梁，直径为d，许用应力为[σ]，对下列几种受力情况分别指出危险点
FN F
A 4a2
开槽短柱削弱段受偏心压力，最大压应力为
m aF A ~ x N W M ~ 2 F a 2 2 F a a a 2 //2 6 8 4 F a 2
故最大压应力增大 7 倍
7-8 求图示截面的截面核心。
z
1
解：取截面互垂的对称轴为坐标轴
iy 2 iz 2 A I 0 .2 0 .6 3/1 5 2 0 2 . 2 2 0 .2 0 .2 3/1 2 0 .01 m 29
切应力；（2）体积应变θ；（3）应变能密度u及畸变能密度ud。设材料的E=200GPa，
μ=0.3 。
解： （d）
1 502 503 50
max123 0
1E 2(123)
(120 2 .3 )0 1 3 0 9 5 0 0 160 30 10 6 0
6-14 列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A点用应变仪测得ε x=0.4×10-3， εy= -0.12×10-3 ，已知： E=200GPa， μ =0.3 。试求A点的x-x及y-y方向的正应力 。
解：A点为平面应力状态，由广义胡克定律
xE 1(xy) yE 1(yx)
x
相当应力： r115.217 MPa
r 2 1 (2 3 ) 5 . 1 2 0 . 7 3 ( 5 4 0 . 1 ) 2 4 7 . 8 M 9 2
r3139.4 3M 4 Pa
r42 2 (12 )2 (23 )2 (31 )2 9.2 3 M 7 P
2xy xy
4 5
0 1.3 93 12 9 0
x
~max
x

y
2
2x2y

32.02
m ax 1 23 5.0 7 2 2 7 .0 2 3.0 2 2 ~ max
6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（1）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 单元体；（2）最大切应力（单位MPa） 。