高中数学必修一同步辅导资料

目录
第一章集合 (2)
01、集合的含义与表示 (2)
02、集合间的基本关系 (6)
03、集合的运算 (9)
第二章函数 (12)
01：函数的概念 (12)
02、函数的表示方法 (15)
03、函数的定义域和值域 (20)
04、函数的单调性 (24)
05、函数的奇偶性 (29)
06、指数与指数幂的运算 (34)
07、指数函数及其性质 (37)
08、对数与对数的运算 (43)
09、对数函数及其性质 (47)
10、幂函数 (52)
11、方程的根与函数的零点 (55)
第一章集合
01、集合的含义与表示
一、课本知识梳理
1.集合
1.1一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫做集合。

①集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语言，它精确地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容.
②集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的.
③集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构成一个集合.
1.2集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。

1.3集合与元素的表示：通常用_____________表示集合。

通常用_____________表示集合中的元素。

1.4集合中元素的特性：_____________、____________、_____________.
集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题.
1.4.1理解集合中元素的确定性，需要从两个方面入手：①给定的研究对象是确定的，明确的，才能组成一个集合，反之研究对象不明确、不确定就不能组成集合；②集合中的元素是确定的，给定一个集合，某元素在不在集合中（要么在、要么不在），是明确的、确定的，不是模棱两可的。

例题1.考察下列每组对象能否组成一个集合。

（1）美丽的小鸟；（2）不超过20的非负整数；
（3）立方接近零的正数；（4）直角坐标系中，第一象限内的点。

练习1.下列对象能否组成一个集合？
（1）跑的快的人；（2）比8大3的整数；（3）平面直角坐标系内的所有点；（4）很小的实数.
1.4.
2.集合中的元素具有互异性，元素在一个集合中不能重复出现；集合中的元素是没有顺序的。

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例题2.已知集合A 含有三个元素1，0，x .若x 2∈A,求实数x 的值。

练习2.已知集合A 2,,1x x 由
三个元素构成，集合B 由1，2，x 三个元素构成，若集合A 与B 相等，求x 的值.
1.5元素与集合的关系： 、 。

元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适用于元素与集合，不能用于集合与集合之间.根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立.
例题3.若所有形如23+a b (a ∈Z,b ∈Z )的数组成集合A ，判断226-是不是集合A 中的元素.
练习3.集合A 是由形如321),(,3-∈∈+的数构成的，判断
Z n Z m n m 是不是集合A 中的元素.
1.6常用数集及表示符号
1.7集合的表示方法
集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点.
①用列举法表示集合时，元素之间用“，”分隔；元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时可用列举法，例如正整数集；元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法.
②用描述法表示集合时，一是要明确集合中的元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说明的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描述的语句力求简明、确切.
③用图示法表示集合，可以用于表示集合与集合之间的关系.
例题4．用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3 的数； （2）方程013642
2=++-+y x y x 的解集；
（3）不等式23>-x 的解的集合； （4）二次函数102-=x y 图像上的所有点组成的集合. 练习4. 用适当的方法表示下列集合：
4
（1）所有4的整数倍组成的集合； （2）不等式632<+x 的解的集合；
（3）大于6且小于11的整数组成的集合；（4）所有平行四边形组成的集合.
例题5.集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为（ ） A.},{N n n x x ∈= B. },12{N n n x x ∈-= C. },12{N n n x x ∈+= D. },2{N n n x x ∈+=
练习5.请用描述法表示下列集合：
（1）全体偶数组成的集合：___________________________；
（2）全体奇数组成的集合：___________________________；
（3）x 轴上的点组成的集合：_____________________________________；
（4）坐标轴上的点组成的集合：______________________________________；
（5）第二象限内的点组成的集合：______________________________________；
（6）第二、四象限内的点组成的集合：__________________________________.
1.8集合的分类
1.8.1集合按元素个数分为 、 、 ，我们所说的单元素集合、双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。

1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。

二、课堂练习题组
1.判断以下元素的全体能构成集合的有（ ）
（1）大于3小于100的奇数；（2）班里的高个子；（3）方程x x =2
的所有实数根；（4）中国古代的美女.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________.
3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________________.
4.若集合m m A 则},,0,1{=满足的条件为________________________.为什么？
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5.若集合1},0{2-=+=则x x x A ________A
6.设集合M={平行四边形}，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p_____M, q______M 。

7.将集合},42{Z x x x ∈<<-用列举法表示出来是_____________________.
8.不等式183-<+x 的解集用描述法表示为_____________________.
9.全体偶数集用描述法表示为_________________________________.
10.集合A={0，1，2}，集合B=}1{A x x ∈-，则B=_____________________.
11.点的集合M ＝}0),{(≥xy y x 是指 （ ）
A. 第一象限内的点集
B. 第三象限内的点集
C. 第一、第三象限内的点集
D. 不在第二、第四象限内的点集
12.若集合A ＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A 中元素的个数是 （ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
三、课后练习题组
1.给出以下四个对象，其中能构成集合的个数为（ ）
①2010年上海世博会的所有参展国家 ②与2接近的全体实数；③学校图书馆好看的书；④2008年北京奥运会的所有比赛项目。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A,有6-a ∈A,那么a 为（ ）
A.2
B.2或4
C.4
D.0
3.已知集合}1,1{+=m A ，则实数m 满足的条件是__________.
4.已知集合P 中元素x 满足：a x N x <<∈2,且，又集合P 中恰有三个元素，则整数a =__________.
6
5.已知A=∈-+-3},12,52,2{2
且a a a A ，求实数a 的值.
6.已知集合A=}012{2=+-x ax x
（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值；
（2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围。

7.下列集合中，表示同一个集合的是 ( )
A.)}3,2{()},2,3{(==N M
B.}3,2{},2,3{==N M
C.}1{},1),{(=+==+=y x y N y x y x M
D.)}3,2{(},3,2{==N M 8.方程组 ⎩
⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是 ( ) A .}1,0{==y x B.}1,0{ C. )}1,0{( D.}10),{(==y x y x 或
9.集合{}23<-∈+x N x 用列举法表示应是 ；
10.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
11.若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B =
12.设集合B=}26{N x
N x ∈+∈ . (1) 试判断元素1和2与集合B 的关系；
(2) 用列举法表示集合B.
02、集合间的基本关系
一、课本知识梳理
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7 1.子集概念
1.1定义：一般地，对两个集合A,B ，如果集合A 中的_____________元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A 为集合B 的子集，记作_________________，读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.
1.2子集的定义用数学符号表述为：____________________________________.
1.3用Venn 图表示为：__________________________.
1.4一个集合中有n 个元素，则这个集合有 个子集，有 真子集。

若A ⊆B ，则包括A B 和A=B 两种情况，正确区分子集与真子集概念是解题的关键.
写一个集合的子集时，按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写不易发生重复和遗漏现象. 例题1.已知集合A={1，2，3，4}，写出A 集合所有的子集。

练习1.集合B={3，2，5}，则B 集合有几个子集，分别是：
2.真子集概念
2.1定义：如果集合___________，但存在元素_________________，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作_________________，读作“A 真包含于B ”（或“B 真包含于A ”）.
2.2用Venn 图表示为：__________________________.
例题2.写出满足},{b a A
},,,{d c b a 的所有集合A.
练习2.若∅
A },,,{d c b a ⊆，写出所有集合A. 3.用子集的概念描述集合相等
如果 ，那么就说集合A 与集合B 相等，记作A=B.
两个集合相等时，其所含的元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情况.
例题3.若},,0{},,1{2b a a a b a +=，求20112011b a
+的值.
练习3.已知集合A=，
，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数y x 与的值.
8
4.空集
4.1定义：_________________的集合，叫空集.
4.2用符号表示为_____________.
4.3规定：空集是任何集合的______________.是任何非空集合的真子集。

5.子集的有关性质
5.1任何一个集合A 都是它本身的___________，即_______________.
5.2对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B, B ⊆C ，那么_______________.
例题4.已知集合A=，且B A }32{B },222{⊆<<-=+<<-x x a x a x 求实数a 的取值范围.
练习4.已知不等式1+<<a x a 成立时，不等式132+<<a x 也成立，求实数a 的取值范围.
二、课堂练习题组
1.集合{0，1}的子集有（ ）
A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法正确的有 （ ）
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅
A ，则A ≠∅
A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.用适当的符号填空.(∉∈,，，=）
⑴a _________};,,{c b a ⑵∅__________};01{2=+∈x R x
⑶}0{__________}{2x x x =； ⑷}1,2{_________}.023{2=+-x x x
4.若集合A 中元素的个数为5个，则它所有子集的个数为_______个，真子集的个数为________个.
5.写出集合A=}3,2,1{的所有子集. 三、课后练习题组
1.如果}1{->=x x A ，那么正确的结论是（ ）
A ．0A ⊆ B.{0} A C.{0}A ∈ D. ∅A ∈
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2.集合}30{Z x x x A ∈<≤=，且的真子集的个数是（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
3.下列关系中正确的个数为（ ）
① 0};0{∈ ②∅{0}; ③{0,1})};1,0{(⊆④)},{()},{(a b b a =
A.1
B.2
C.3
D.4
4.集合}{},{22x y y Q x y x P ====，则下列关系中正确的个数为（ ）
A. P Q
B.Q P =
C.Q P ⊆
D.P Q 5.集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，下列关系错误的有________________.
①S U; ② F T; ③ S T; ④ S F; ⑤ S F; ⑥ F U.
6.已知集合,,}01{},0158{2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=若求实数a 组成的集合M ，并写出M 的所有子集。

03、集合的运算
一、课本知识梳理
1.集合运算的基本概念
U
S T F
10 1.1并集：一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作_________________（读作“A 并B ”），用数学符号语言表述为______________________________。

①要注意并集定义中的“A ∪B ”是由集合A 和集合B 中所有元素组成的集合，必须保证不重不漏.
②深刻领会“或”的内涵：并集语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活语言中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存，而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有.
1.2交集：一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作_________________（读作“A 交B ”），用数学符号语言表述为______________________________。

交集是两个集合的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，不能说它们没有交集，而应说交集为空集.
例题1.若集合A={}32<<-x x ，B={}41>-<x x x 或,求A ∩B,A ∪B.
练习1.已知集合M =}13{<<-x x , N={x x ≤―3}，求M ∪N , M ∪N.
1.3全集：一般地，如果__________________________________，那么就称这个集合为全集，通常记为U 。

全集是相对于研究的问题而言的，如果我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集，而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Ｚ就不是全集．
1.4补集：对于一个集合A ，由全集U 中_______________________________组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作_________________，用数学符号语言表述为__________________________________。

①求一个集合的补集的前提是这个集合是全集的子集．
②在解答集合的交、并运算时，常会遇到Ａ∪Ｂ＝Ｂ，或Ａ∩Ｂ＝Ａ等这类问题，解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转换条件，有时也借助于数轴分析处理，另外还要注意“空集”这一隐含条件． 例题2.已知全集U ，集合A={1，3，5，7}，C U A={2，4，6}, C U B={1，4，6}，求集合B.
练习2.设集合A=},21,{B },40{2
<<--==<<x x y y x x 求集合C R （A ∩B ）.
例题3.设集合A={-2}，B={},01R a ax x ∈=+，若A ∩B=B ，求a 的值.
练习3.已知全集U=}32,3,2{2-+a a ，若A=}2,{b ，C U A={5}，求b a ,的值. 2.集合运算的基本性质
⑴A ∩B=B_____A ，A ∪B=B____A.
⑵(A ∩B)∩C=A____(B ∩C),(A ∪B)∪C=A____(B ∪C).
⑶A ∩(B ∪C)=(A ∩B) ______(A ∩C),A ∪(B ∩C)=(A ∪B) ______(A ∪C).
⑷A ∩B______A ，A ∩B______B ，A______A ∪B ，B______A ∪B.
⑸A ∩∅=______,A ∪∅=______.
⑹若A ⊆B,则A ∩B=______,A ∪B=______. ⑺C U （C U A ）=______，C U U= ______，C U ∅=______.
二、课堂练习题组
1.集合A={1，2，4}，B={2,3,6},则A ∪B=（ ）
A ．{1，2，2，3，4，6} B.1，2，3，4，6 C ．{2} D.{1，2，3，4，6} 2.集合A={1，2}，集合B={（1，2）}，则A ∩B= （ ）
A.{1,2}
B.{(1,2)}
C. ∅
D.{1，2，（1，2）} 3.集合A=},2,0{a ，B=},1{2
a .若A ∪B={0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ） A ．0 B.1 C.2 D.4
4.已知全集U={}51≤≤x x ，A={}21<≤x x ，则C U A=_________________.
5.已知全集U={0，1，2}，且C U A={2}，则A=_______________.
6.设集合A={}21<<-x x ，集合B={}31<<x x ，求A ∪B ，A ∩B.
三、课后练习题组
1.已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A ∩B= （ ） A ．{3，5} B.{3,6} C.{3,7} D.{3,9}
2.已知集合A=},0{>x x B=}21{<<-x x ，则A ∪B=（ ）
A ．}1{->x x B. }2{<x x C. }20{<<x x D. }21{<<-x x
3.如图所示，I 是全集，A ，B 是I 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．A ∩B B.B ∩(C I A) C.A ∪B D.A ∩(C I A)
4.满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合A 有__________个.
5.已知集合A=},1{<x x B=},{a x x >且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是__________________.
6.已知集合A={1，3，5}, B ={1，2，12
-x }，若A ∪B ={1，2，3，5},求x 及A ∩B.
7.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人？
第二章 函 数
01：函数的概念
一、课本知识梳理 1.函数定义
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_________，在集合B 中都有________和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作___________. ①函数的概念来源于生活，应用于生活。

函数通常就是描述一个变量与其他变量之间的变化规律，例如物体的运动速度与它所受的外力之间的关系．
②从函数的定义可以看出，函数是定义在两个非空的数集之间的一种对应关系，两个数集都是非空集合，否则，就不能在两个集合之间建立函数关系．
③判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即Ａ、Ｂ必须是非空数集；Ａ中任何一个元素在Ｂ中必须有元素与其对应；Ａ中任一元素Ｂ中必须有唯一的元素与之对应． 例题1.下列对应关系是否为A 到B 的函数？ （1）.A=R, B=x y x f x x =→>:},0{; （2）.A=Z, B=Z, 2
:x y x f =→; （3）.A=R ，B=Z ，x y x f =
→:；
（4）.A=[-1,1], B={0}, 0:=→y x f .
练习1.判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数： （1）A={0, 1, -1, 2, -2}，B={0, 1, 4},对应关系2
:x y x f =→； （2）A=B=R ，对应关系x y x f ±=→:； （3）A={0，1，2，3}，B={0，1，3
1
,21}，对应关系x y x f 1:=→.
2.函数的定义域和值域
从集合A 到集合B 的一个函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做自变量，___________叫做函数的定义域；____________叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的__________.值域是__________的子集.
3.函数的三要素：____________________________________.
①讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相等，则相等，否则不相等．
②求定义域问题可以归纳为解不等式问题，如果一个函数需要几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的范围的交集，利用数轴便于问题的解决； ③求定义域时不应化简解析式； ④定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.
⑤求函数的值域的问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数，其值域是指集合
例题2．判断下列各组中的两个函数是否相等？并说明理由。

（1）;1)(,)1()(0
=-=x g x x f （2）2)(,)(x x g x x f =
=；
（3）;)1()(,)(2
2
+==x x g x x f （4）2)(,)(x x g x x f =
=.
练习2.下列各组中的两个函数是否表示相等函数？
（1）444)(,4)(x x g x x f ⋅==；
（2）4)(,4
16
)(2-=+-=
x x g x x x f ； （3）t t t g x x x f 3)(,3)(2
2
+=+=.
例题3.已知.)1(),(),1(),1(,1)(的值分别求+-+=x f a f f f x x f
练习3.已知函数,2)(2
x x x f -=分别.)2(),1(),1(),0(的值求++x f a f f f
4.区间
设.,b a b a <是两个实数，且
4.1满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，记作______________；
4.2满足不等式a ≤x <b 或x a <≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，记作____________________； 4.3满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做开区间，记作______________.其中实数b a ,表示区间的两端点
例题4.把满足下列集合用区间表示出来.
(1)=<<-}41{x x ________________. (2)=<≤-}41{x x ________________. (3)=≤≤-}41{x x ________________. (4)=<}4{x x ________________. (5)=>}4{x x ________________. (6)}42{><x x x 或= ________________.
二、课堂练习题组
1. 已知A={}3,2,1±±±,B={1,2,3},则对应关系x y x f =→:是否为A 到B 的函数？__________
2. 函数1)(1)(2
-=-=x
x x g x x f 与函数是同一个函数吗？________________. 3. 已知=-+=)3(,)1()(2
f x x f 则________________.
4. 已知值为时的求满足x x f x x f 2)(,1)(=-=________________.
5. 满足不等式3<x 的实数x 的集合用区间表示为________________.
6.已知的值求且函数满足)12(,2)4(,4)3(),()()(f f f b f a f ab f ==⋅=.
三、课后练习题组
1.与函数32x y -=
为同一函数的是 （ ）
A.x x y 2-=
B. x x y 2--=
C. 32x y -=
D. x
x y 22
-
= 2.已知)2()2(,)(2
-++=f f x x x f 则为 （ ） A ．0 B.8 C.12 D.36 3.已知为则)]1([,1)(f f x x f += （ ） A ．0 B.1 C.2 D.3 4.已知⎩
⎨
⎧=-<+>-=)3(0(,1)
0(,1)(f x x x x x f ，则）____________.
6.已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<-=,)0(,1)0(,0)0(,1)(22x x x x x x f （1）当的值；时，求)(4x f x =（2）的值；时，求当x x f 4)(=
（3）求.)]}2([{的值-f f f
02、函数的表示方法
一、课本知识梳理 1.函数的表示方法有三种
1.1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_________________. 1.2用图像表示两个变量之间的对应关系的方法叫做___________________. 1.3列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做_________________.
1.4一般地，作函数的图像主要有三步：____________、____________、____________.
①求函数的解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系，其常用的方法为待定系数法和换元法。

②当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解；当不知函数类型时，一般可采用换元法，但要注意自变量取值范围的变化。

③另外，求函数解析式的方法还有配凑法、解方程组法等。

例题1.已知x
x x x x f 1
1)1(22++=+，求)(x f 的解析式。

练习1.已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的解析式。

例题2.已知2
2
1
)1(x x x
x f +=+ )0(>x ，求)(x f 的解析式。

练习2.已知x
x x x x f 1
1)1(22++=+，求)(x f 的解析式。

例题3.已知二次函数)(x f 满足82)()1(0)0(++=+=x x f x f f ，，求)(x f 的解析式.
练习3.设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
例题4.设函数)(x f 满足)0()1(2)(≠=+x x x
f x f 求)(x f 函数解析式.
练习4.已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)(2)(+=+-x x f x f ，求)(x f 的解析式。

④图像法是表示函数的方法之一，其优点是能直观、形象地表示出函数的变化情况，便于数形结合求解 问题．
⑤一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图时一般应先确定函数的定义域，再在定义 域内化简函数解析式（可能有的要表示为分段函数），再列表描出图像，并在画图象的同时注意一些 关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等. 例题5.作出下列函数的图像.
(1))(,1Z x x y ∈-= (2) ))30(,3422
<<--=x x x y
练习5.作出下列函数的图像. （1）1,1
>=x x
y ； （2）]3,1[,342∈+-=x x x y .
2.分段函数
2.1有些函数在它的定义中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数称为____________，其定义域是各段定义域的____________，其值域是各段值域的____________.
2.2分段函数的图像应该____________来作，特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.3对含有绝对值的函数，要作出其图像，应首先根据绝对值的定义________________________，将函数转化为___________________，然后再作图.
①分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得；若已知函数值求自变量则要考虑分段讨论求值。

②含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理。

例题6.已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<-+-≤+=)3(,)33(,1)3(,2)(2
x x x x x x x f ，求))).1((()),4(()),2((f f f f f f f --
练习6.函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(,2)21(,)1(,2)(2
x x x x x x x f 中，若x x f 求,3)(=的值.
例题7.用分段函数的形式表示下列函数并画出函数的图象. （1）2+=x y ； （2）2+=x y .
练习7.已知12)(+=x x f ， （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图像；
（3）写出该函数的定义域与值域.
3.映射定义
一般地，我们有：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的__________________，在集合B 中都有__________________和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.它的三要素是__________、__________、_____________.
①映射是由两个非空集合A 、B 以及它们的对应关系所确定的，其中A 、B 是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A 、B 是有先后顺序的，A 到B 的映射与B 到A 的映射一般是截然不同的，即对应关系具有方向性.
②在映射中，集合A 的“任一元素”，在集合B 中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况，只能是“多对一”或“一对一”形式.
例题8.在映射),,(),(:},,),{(:y x y x y x f R y x y x B A B A f +-→∈==→且中， 则与A 中的元素（-1，2）相对应的B 中的元素为_____________.
练习8.设集合A={1，2，3}，B={0，1}，试问：从A 到B 的映射共有几个？________________.
1. 已知=++=)2(),1()(x f x x x f 则_____________________.
2. 已知=+=+)(,3)1(x f x x f 则_______________________.
3. 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧=->-=<+=)]}1([{,)0(,1)0(,0)0(,1)(22f f f x x x x x x f 则____________.
4. 对于上题中的分段函数，若==x x f 则,2)(____________.
5. 已知=-=-)(,12)(x f x x f 则____________________.
6.已知)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 的解析式 .
7.下列图形中,不可能是函数)(x f y =的图象的是 （ ）
8.已知1)(,23
02++=≤
≤x x x f x 则函数 （ ） A ．有最小值-43，无最大值； B.有最小值4
3
，最大值1；
C.有最小值1，最大值4
19
； D.无最小值和最大值.
9.已知函数)(11,12)(x f x a ax x f 时，当≤≤-++=的值有正有负,则实数a 的取值范围为__________.
10.已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>=)0(,0)0(,1)0(,)(2x x x x x f ，
（1）画出函数的图像；（2）根据已知条件分别求)3(),2(-f f 的值.
11.直线a x =和函数12
+=x y 的图像可能有几个交点？ 12. （1）直线a x =和函数[]2,1,12
∈+=x x y 可能有几个交点？
（2）若有一个直线a x =,则它与函数)(x f y =的图像的交点个数为多少?
1．函数的交点个数为的图像与直线m x x f y ==)(（ ） A ．可能无数 B.只有一个 C.至多一个 D.至少一个 2.已知的表达式为则)(,1)1(x f x x f +=- （ ）
A ．x -2 B. x +2 C. 2-x D. 1+x 3.已知⎩⎨
⎧=<-≥-=)]1([,)
1(,)1(,1)(f f x x x x x f 则（ ）
A ．0 B.1 C.2 D.3 4.已知=+=-+)(,3)(2)()(x f x x f x f x f 则满足( ) A ．1-x B.1+-x C.1--x D.1+x 5.已知)(x f 与)(x g 分别由下表给出
那么=))3((g f _________________.
A ．1 B.2 C.3 D.4
6．已知⎩
⎨⎧∈<+≥-=）
求3(),(,)6(),2()6(,5)(f N x x x f x x x f 的值. 7.已知集合}1,0{},,{==B b a A ，则从A 到B 的映射的有 （ ） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
8.在下列图中,bx ax y +=2
与)0(≠+=ab b ax y 的图象只可能是 ( )
9.设x x f →:是集合A 到集合B 的映射，若A={-2，0，2}，则A ∩B = （ ） A ．{0} B.{2} C.{0，2} D.{-2，0}
10.设x x f →:是集合A 到集合B 的映射，则与B 中元素4相对应的A 中的元素为_____________. 11.已知A={0，1}，B={-1，0，1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足)1()0(f f >的映射有_____个.
A
03、函数的定义域和值域
一、课本知识梳理
1．已知函数的解析式，求函数的定义域
已知函数解析式时，求函数的定义域遵循以下原则：
①如果)(x f 是整式，那么函数的定义域是________________________________； ②如果)(x f 是分式，那么函数的定义域是________________________________； ③如果)(x f 是偶次根式，那么函数的定义域是________________________________； ④如果0
)(x x f =，那么函数的定义域是________________________________；
⑤如果)(x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域就是使______________的实数的集合. 例题1.求下列函数的定义域：
（1）;1
1
32-++=x x y (2);2)1()(0-+=
x x x f
练习1.求下列函数的定义域: （1）x x y -+-=11； （2）x x y ---=
52
1
3
2
.
2.求抽象函数的定义域
求复合函数（抽象函数）定义域遵循两点： ①定义域是指自变量的取值范围；
②在同一对应法则f 下，括号内式子的范围是相同的。

例题2.（1）若)1(-x f 的定义域为[1，3]，则)2(+x f 的定义域为____________________.
（2）若)2(+x f 的定义域为[1，3]，则)1(-x f 的定义域为____________________. 练习2.（1）若)3(-x f 的定义域为[-1，2]，则)(x f 的定义域为____________________.
（2）若)(x f 的定义域为[-1，2]，则)3(-x f 的定义域为____________________.
3.在实际应用问题中，定义域要复合实际生活需要。

4求函数值，特别是分段函数求值
4.1.多层函数求值，由内到外。

4.2.分段函数求值，注意其区间不同，解析式不同。

例题3.已知)(2)(),1(11)(2R x x x g x x x f ∈+=-≠+=
，求))3(()2(),2(g f g f ，的值。

练习3.已知函数21)(++=
x x x f ，求))1((),2(f f f 的值。

例题4.已知函数⎩⎨
⎧≤+=)0(1)0(2)(x x x x x f ＞，①求)1(),2(f f -的值；②若0)1()(=+f a f ，求实数a 的值。

练习4.设函数⎩⎨
⎧≤--=-=）
（＞02)0(1)(,1)(2x x x x x g x x f ，求))2(()),2((f g g f 的值。

5.求函数的值域
5.1.在函数)(x f y =中，与集合值叫函数值，函数值的的值相对应的y x ________________叫做函数的值域，显然，值域是由____________和______________决定的。

5.2.求函数的值域根据不同题型，方法有图像法、配方法、换元法、反x 法、判别式法等。

例题5.求下列函数的值域
①)11(23≤≤-+=x x y ②）（3x 1x
32)(≤≤-=x f ③ x
x y 1+=（记住图像） ④142+-=x x y ； 练习5.求函数的值域 ①]4,3[,142∈+-=x x x y
②]1,0[,142∈+-=x x x y ； ③]5,0[,142∈+-=x x x y ；
例题6.求函数x x y -+=12 的值域 。

练习6.求函数x x y --=
1的值域。

例题7.求函数21+-=
x x y 的值域。

练习7.求函数6
412+-=
x x y 的值域。

例题8.函数1
122+-=x x y 的值域。

练习8.求函数3
4252+-=x x y 的值域 。

二、课堂练习题组
1.下列说法正确的是 （ ）
A.函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域可以是空集
C.函数的定义域和值域一定是数集
D. 函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了. 2.函数x
y 1=的定义域是 （ ） A ．R B.}0{ C.}0,{≠∈x R x x 且 D.}1{≠x x
3.设）的值为则0(),()2(,32)(g x f x g x x f =++= （ ）
A ．1 B.-1 C.-3 D.7
4.函数}5,4,3,2,1{,12)(∈+=x x x g 的值域为_______________________.
5.若)1(+x f 的定义域为[1，3]，则)1(-x f 的定义域为____________________.
6.试求下列函数的定义域和值域：
（1）x x x f 2)(2-=;
（2）1
1)(2+=
x x f .
三、课后练习题组
1.函数x x y --=22
1的定义域为 （ ） A.（-∞，2] B.(-∞,1] C. (-∞,+∞) D.无法确定 2.函数1+=
x y 的值域为 （ ） A.[-1,+∞） B.[0, +∞) C. (-∞,0 ] D. (-∞,-1]
3.已知的定义域为），则，
的定义域为（)(12)1(x f x f -- （ ） A ．（-2，1） B.(-3，0) C.(-1，2) D.(0，3)
4.函数0)
1(3+-=x x y 的定义域为_______________________. 5.若1)(+=x x f 的定义域为[-2，3）,则它的值域为_______________________.
6.已知函数.)()()(,)(成立都有对任意实数y f x f xy f y x x f +=
（1）求的值；与)1()0(f f
（2）若.)36(,()3(,)2(的值均为常数），求f b a b f a f ==
04、函数的单调性
一、课本知识梳理
1.增函数和减函数概念
一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ， ⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是______________；
⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是________________.
①函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =，当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.叙述函数单调性时不能脱离区间.
②根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.
例题1.证明函数x x x f 1)(+
=在（0，1）上为减函数.
练习1.证明函数2)(x x f =在[0，+∞）上为增函数.
例题2.已知定义在区间),0(+∞上的函数)(x f 满足)()()(212
1x f x f x x f -=，且当1＞x 时，0)(＜x f 。

①求)1(f 的值；②判断)(x f 的单调性；
练习2.函数)(x f 对任意的R b a ∈,都有1)()()(-+=+b f a f b a f 并且当0＞x 时，1)(＞
x f ，判断是R 上的单调性。

⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）_____________，这一区间叫做函数)(x f 的___________.此时也说函数是这一区间上的单调函数，在单调区间上，增函数的图象是____________的，减函数的图象是_____________的. 判断函数单调性的常见方法有：
（1）定义法：这是证明或判断函数单调性的常用方法；
（2）图像法：根据函数图像的升降进行判断；
（3）直接法：运用已有的结论，直接得到函数的单调性.
例题3.画出函数322++-=x x y 的图像，并指出函数的单调区间.
练习3.画出函数x x y 22-=的图像，并指出函数的单调区间.
例题4.已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 。

练习4.1.已知函数122++-=x x y 在区间［－3，a ］上是增函数，则a 的取值范围是 。

练习4.2.函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是 。

例题5.函数0()0()
0(,3)(＞，＜a x a x a x x f x ⎩⎨⎧≥+-=且)1≠a 是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．[13，1)
C ．(0，13]
D ．(0，23
]
练习5.已知⎩⎨⎧≥-+=)
1(,log )1(,43)(x x x a a x f a x ＜是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围（ ）
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，3)
C ．[35
，3) D ．(1,3)
3.最值
3.1.最大值：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的∈x I ，都是 ； 存在___________，使得________________.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.
3.2.最小值：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的∈x I ，都是_________； 存在___________，使得______________。

那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值.
②若函数在闭区间],[b a 上是减函数，则],[)(b a x f 在上的最大值为)(a f ，最小值为)(b f ； ③若函数在闭区间],[b a 上是增函数，则],[)(b a x f 在上的最大值为)(b f ，最小值为)(a f . 例题6.求函数122--=ax x y 在[0，2]上的最小值.
练习6.求函数22
+-=ax x y 在[2，4]上的最值.
4.函数单调性的应用
可根据函数单调性比较大小，解不等式，求函数的值域
例题7.已知函数)(x f y =在区间R 上是增函数，R b a ∈,且0≤+b a ，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．)()()()(b f a f b f a f +-≤+
B ．)()()()(b f a f b f a f -+-≤+
C ．)()()()(b f a f b f a f +-≥+
D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+
练习7.定义在R 上的函数)(x f y =在)2,(-∞上是增函数，且)2(+=x f y 图象的对称轴是0=x ，则（ ）
A ．)3()1(f f ＜-
B ．)3()0(f f ＞
C ．)3()1(-=-f f
D ．)3()2(f f ＜
例题8.已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,3()1,0(B A 、-是其图象上的两点，那么不等式1|)1(|＜
+x f 的解集的补集是 （ ）
A ．)2,1(-
B ．)4,1(
C ．),4[)1,(+∞--∞
D ．),2[]1,(+∞--∞。