非线性发展方程及其应用

非线性发展方程及其应用
成果简介
本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。

因此，它具有交叉学科的特征。

所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。

1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。

2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计；
3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。

但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。

我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。

同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。

发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。

4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。

但是数学结果
总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。

我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。

5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。

我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论；
6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。

我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。

该成果获江苏省科技进步二等奖。

非线性统计模型与非线性诊断方法
成果简介
本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。

近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇，
SCI 4篇；1991年和1997年两次获得国家教委科技进步三等奖，1990年和1995年两次获得华东区高校出版社优秀图书二等奖。

1998年在Springer出版社出版英文专著一本,是国际上第一本系统论述指数族非线性模型理论的专著；本书2000年7月获得国家统计局优秀专著二等奖。

环与代数上的同调与K-理论
成果简介
本项目属基础理论。

涉及的学科有同调代数、代数K-理论等众多分支。

主要运用同调和K-理论方法来研究环与代数的结构。

内容包括：①用新的同调工具给出了弱整体维数与自FP-内射维数有限的凝聚环的刻划；②利用π-性质的研究方法给出了弱正则环、正则性、么元的存在性的条件；③围绕V.S.Ramaurthi 猜测，证明了三类SF环确为正则环,并回答了Yue Chi Ming. R的一个问题；
④将环的正规化扩张、Excellent扩张推广到超限情形,扩大了研究范围；⑤利用统一的方法给出了一般环上矩阵三类广义逆的存在准则及新的表达式，推广了半单Artin环、主理想整环上相应结论，解决了D.Hershkowtz和A.Berman 的两个公开问题；⑥引入OE群，实现了在二次模情况下计算正交群的方法。

该成果获江苏省科技进步三等奖。

凝聚环的同调理论及其应用
成果简介
（1）给出了相关于遗传挠理论的τ-凝聚环的一个内部刻划,即R为右τ-凝聚环的充要条件为)
的σ-有限生成左理想的右零化子为有限生成,统一
M
(R
n
了π-凝聚环和凝聚环的结果,为进一步展开τ-凝聚环的讨论,奠定了理论基础。

（2）将关于有唯一映射性质的平坦包络的两个结果从可换环推广到非可换环情形，它们分别刻划了弱整体维数≤2的凝聚环(或π-凝聚环)。

（3）回答了Nicholson、Yousif、Yue ChiMing、S. B. Nam、薛卫民等提出的多个公开问题，证明了R为von Neumann正则环当且仅当每个循环左R-模为YJ-内射模；半局部右CF的右极小内射环一定为QF-环。

此外还证明了有限生成右理想均为右零化子的左FGF环为QF环，这是目前最好的结论。

（4）定义了（m,n）-内射环，统一了FP-内射、f-内射、P-内射环的研究，给出了它与弱线性存在闭环的密切联系，证明了左Kasch左（n,m+1）-内射环一定为右（m,n）-内射环，推广了众多相关结论。

（5）给出了态射和有Moore-Penrose逆、群逆的充分必要条件，完善了Huylebrouck等的结论，将具有泛分解态射的广义逆的理论推广到具有广义分解态射的广义逆。

袖珍式电脑激光针灸仪
成果简介
《袖珍式电脑派光针灸仪》是把模糊控制理论，计算机技术、激光技术与中国传统医学针灸疗法相结合的高科技成果。

该成果是对MPL-Ⅲ激光针灸仪的
进一步创新与发展。

经过十多家医院临床验证，实践证明，该成果激光剂量控制精确，电脑图象形象直观，经各穴位闪烁准确，临床诊治疗效显著。

省级专家鉴定认为：该成果在国内国外均属首例。

该成果适用于家庭个人及各级医院的治疗，也可用于医学院校的教学与科研，在国内、国外都具有广阔的推广应用前景。

这是一项投资少，收效快的高科技项目。

高度非线性强藕合偏微分方程租
差分模拟中的降阶法理论
成果简介
有限差分方法是偏微分方程数值解法的两大方法之一。

在理论分析方面，带导数边界条件的问题比不带导数边界条件的问题要复杂得多，带混合导数问题比不带混合导数问题要复杂得多，至于高度非线性强耦合微分方程组问题则更加复杂。

充分研究Keller的Box格式，提出了构造差分格式的降阶法技巧。

将这一技巧和离散Sobolev空间理论、能量分析法、不动点定理等相结合，用于研究偏微分方程的有限差分解法。

降阶法是一个间接构造差分格式的方法。

它特别适用于带导数边界条件的微分方程问题、带混合导数的微分方程问题、非线性微分方程问题以及强耦合微分方程问题等，且建立的差分格式可达到二阶整体收敛精度。

此外，将降阶法技巧和外推法技巧相结合可以得到更高精度。

降阶法技巧已成功地应用于抛物方程、椭圆方程、双曲方程、Kuramoto-Tsuzuki方程、Cahn-Hilliard方程、
抛物-椭圆耦合方程组、带热传导的波动方程组、带自然边界条件的非局部抛物方程等问题的数值方法研究。

非线性逼近与优化的适定性
成果简介
本项目通过对非线性逼近和非线性优化问题的统一研究，运用Banach空间理论中的不等式，非线性分析等现代数学理论对逼近和优化的适定性进行了系统的研究，取得了丰富的成果。

并建立了Banach空间中的Chebyshev中心问题，强唯一性问题，共逼近问题和共远达问题的适定性结果，同时给出了基于最优逼近的投影算子的性质，交错投影算法的收敛性分析。

将所获得的成果应用到基于信息的复杂性理论中的最优算法，则得到了基于信息的复杂性理论中信息半径，信息中心和最优化算法的度量，特征刻划及其稳定性结果。

将本成果应用到数据压缩，信号处理，图象恢复和人工神经网络的稳定性研究中，无论在理论上还是在应用上都具有重要意义。

大规格稀疏线性规划投影主元算法研究
成果简介
线性规划在科学技术和国民经济中有非常广泛的应用。

由于人类经济活动全球化趋势日益加剧，结构复杂而庞大的系统愈来愈多，此类系统的建模导致大规模稀疏线性规划模型大量产生。

这类模型的求解目前一般采用单纯形算法或内点算法，然而客观实际对算法提出了更高的要求。

本项目致力于新算法的
研究，通过对基要领的推广及投影技术的巧妙运用，在很大程度上吸收以上两类算法的优点而克服它们的缺点，从而推出更高效的可靠算法。

这将具有重要的理论价值和实际意义。

人工神经网络的非线性机制
及计算机仿真研究
成果简介
本项目采用理论分析、数值计算和计算机仿真相结合的研究方法, 主要研究了几类神经网络系统（特别是Hopfield神经网络（HNN），时滞的细胞神经网络(DCNN)，双向联想记忆网络（BAM））的内在机制和非线性动力学行为。

（I）通过巧妙引入参数，创造性地构造不同的Lyapunov泛函和不等式分析技巧, 对神经网络系统给出了无穷多个关于平衡点和周期振荡解的全局稳定性的充分准则，这些准则对设计各种全局稳定的神经网络具有重要意义; (II) 采用矩阵测度、比较原理和Lyapunov方法, 系统地研究了一类重要的联想记忆模型---Hopfield连续动态反馈神经网络的记忆模式的吸引域及其中每一点趋向记忆模式的指数收敛速度, 给出了一系列全新的估计结果, 这些结果可用于Hopfield联想记忆网络的容错性能评价及综合过程, 对综合或设计更加有效的连续联想记忆网络具有重要作用。

“修复非新”的可修系统研究
-几何过程维修模型
成果简介
本项目的主要研究内容为可修系统及可修排队系统的可靠性分析及维修更换策略的确定。

Lam Yeh于1988年首先利用几何过程对单部件“修复非新”的可修系统的维修策略进行了研究，这一研究比“完全维修模型”、“最小维修模型”及“不完全维修模型”更具有一般性，也更加符合实际情形。

本项目不仅研究了单部件可修系统的二元最优更换策略，而且将单部件可修系统推广至冷储备可修系统并对其更换策略进行了研究。

同时，我们还给出了新的维修策略和目标函数使得研究的结果更加有利于工程实际。

现在，这一方法的研究已被国内外同行所接受并形成一个新的维修模型—几何过程维修模型。

利用这一模型对“修复非新”的可修系统的可靠性指标的研究，首见于1992年我们在桂林召开的全国可靠性数学第四届学术交流会上宣读的论文。

同时我们还于1994年首先将几何过程维修模型引向排队论的研究。

在此基础上，本项目对这类可修系统展开了较全面的研究。

根据项目研究计划，我们还对”修复非新”的可修系统的特殊情形进行了研究。

n中取相邻k好或坏系统的研究始于1980年Kontoleon在IEEE上发表的论文。

由于该模型有较强的工程背景，曾引起不同专业的人士对这一模型的研究兴趣。

然而，对这一系统是可修的情形没有得到重视，显然，这对于昂贵而可修的部件来说是不切合实际的。

本项目对这一系统是可修的情形作了深入的研究。