《刚体定轴转动》答案

《刚体定轴转动》答案

第2章 刚体定轴转动

一、选择题 1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C)

二、填空题

(1). v ≈15.2 m /s ，n 2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l ) (4). 5.0 N ·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg ·m 2 (7). Ma 2

1

(8).

mgl μ2

1

参考解：M ＝⎰M d ＝()mgl r r l gm l μμ2

1d /0

=⎰ (9). ()2

12

mR

J mr J ++ω (10). l g /sin 3θω=

三、计算题

1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的

转动惯量2

2

1mR J =，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为

r r r R

mg

M d 2d 2

⋅π⋅π=μ 总摩擦力矩

mgR M M R

μ3

2

d 0

=

=⎰

故平板角加速度 β =M /J 设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn 由 J /Mn π==4220

θβω

可得 g R M

J n μωω

π16/3420

20

=π=

2. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为2

2

1MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．

解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体： mg －T ＝ma ① 对滑轮： TR = J β ② 运动学关系： a ＝R β ③ 将①、②、③式联立得 a ＝mg / (m ＋2

1M ) m M

R

M R β

T

mg

a

∵ v 0＝0，

∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋21M )

3. 为求一半径R ＝50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8 kg 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16 s ．再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25 s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．

解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得

TR －M f ＝Ja / R ①

mg －T ＝ma ②

h ＝2

2

1at ③

则将m 1、t 1代入上述方程组，得 a 1＝2h /21

t ＝0.0156 m / s 2 T 1＝m 1 (g －a 1)＝78.3 N

J ＝(T 1R －M f )R / a 1 ④

将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得

T R

T

mg

a 2＝2h /22

t ＝6.4×10-3

m / s 2 T 2＝m 2(g －a 2)＝39.2 N

J = (T 2R －M f )R / a 2 ⑤

由④、⑤两式，得 J ＝R 2(T 1－T 2) / (a 1－a 2)＝1.06×103

kg ·m 2

4. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为0

2

1ω时所需的时间．

解：根据转动定律： J d ω / d t = -k ω

∴ t J k

d d -=ωω 两边积分： ⎰⎰-=t

t J k 0

2

/d d 1

00

ωωωω

得 ln2 = kt / J

∴ t ＝(J ln2) / k

5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n 1转动，他的两手各拿一个质量为m

的砝码，砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴21l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝码离转轴为21l 2)，整个系统转速变为n 2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)

解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程

中人作的功W 等于系统动能之增量： W ＝∆E k ＝21

221

22

2

2

4)2

1

(214)21(21n ml J n ml J π+-π+2

这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量． (2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒： 2π(J 0＋2

1

2

1ml ) n 1 = 2π (J 0＋222

1ml ) n 2

∴

(

)()

122

2

212102n n n l n l m J --=

(3) 将J 0代入W 式，得 ()22

212

12

l l n mn W -π=

6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O

的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一

m

R

O

0v ϖ