大一上工科数学分析期末总复习.ppt

C, ( x
)
1,
x
x
dx x
ln(
x)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
(4)
1
1 x2
dx
arctan x C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
(
x
M2 2
x N2 px q)k
1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2, , k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x) 令u tan x x 2arctan u（万能置换公式）
(15) cosh xdx sinh x C;
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
du.
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
2
3!
f ( x 1) f ( x) f '( x) f "( x) f "'(2 )
2
3!
两式相加 f ( x 1) f ( x 1)
2 f (x)
f "(x)
1[ 3!
f "'(1 )
f "'(2 )]
f "(x)
4M1
1 3
M
2
有界
两式相减 f ( x 1) f ( x 1)
(1 ,2介于x, x0之间)
常用展开式
1. e x 1 x x2 xn o( xn )
2!
n!
熟记
2. sin x x x3 x5 x7 (1)n1 x2n1 o( x2n ) 3! 5! 7! (2n 1)!
3. cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n o( x2n1 )
Peano余项
⑶ 取x0 0时,称为Maclaurin展开(麦克劳林)
f (x) f (0) f '(0)x f "(0) x2 f (n)(0) xn o(xn )
2!
n!
n f (k)(0) xk o( xn ) k0 k!
二 其他余项
f在[a, b]上有n阶连续导数,在(a,b)内有
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
基 (16) tan xdx ln | cos x | C;
本
积 (17) cot xdx ln | sin x | C;
分 表
(18)
sec xdx ln | sec x tan x | C;
(19) csc xdx ln | csc x cot x | C;
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例9
求积分
1 sin x sin 3x sin
x
dx.
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2
1 sin x sin 3x sin
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
例6
求
x
2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
n 1阶导数, 则对x0 , x [a, b], 有 :
f ( x) Tn ( f , x0; x) Rn ( x),
其中
Rn ( x)
f (n1) (1 ) ( x
(n 1)!
x0 )n1,
Lagrange余项
Rn ( x)
f
( ( n 1) 2 n!
)(x
2 )n(x
x0 )
Cauchy余项
2! 4! 6!
(2n)!
4. ln(1 x) x x2 x3 (1)n1 xn o( xn )
23
n
ln(1 x) [x x2 x3 xn ] o( xn )
23
n
应用 求极限
x2
例2
lim
x0
cos
x x4
e
2
解： cos x 1 x2 x4 o( x4 ) 2! 4!
2 f ( x1 x2 ) 2
例7 f在(,)三阶可导,若f , f "'有界，
证明: f ', f "也有界.
证： 在x0 x处展开，分别计算x 1, x 1处值.
设 f ( x) M1, f "'( x) M2 .
f ( x 1) f ( x) f '( x) f "( x) f "'(1 )
2 f '(x)
1[ 3!
f "'(1 )
f "'(2 )]
f '(x)
M1
1 3
M
2
有界
二、 基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数)
(2) xdx x1 C ( 1); 1
(3)
dx x
ln | x | C
说明：
x 0, x 0,
dx x
ln
[ln( x)]
x 1
x2
f "(1 ) ( x1 x2 )2
2
2
f (x2 )
f ( x1
2
x2 )
f '( x1
2
x2 ) x2
2
x1
两式相加
f "(2 ) ( x2 x1 )2
2
2
f ( x1 ) f ( x2 )
2 f ( x1
2
x2 ) ( x1
8
x2
)2
[
f
"(1
)
f "(2 )]
n
20
lim
0
i xi
i 1
0, 其中i
Mi
mi为f在
[ xi1 , xi ]上的振幅; (i 1,2, , n)
令 F(x) [ 1(x)]
则
F ( x)
d dt dt dx
f [ (t)] (t) 1 (t)
例15 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t
2
,
2
x
1 2
a
2
dx
a
1 sec
t
a
sec2
tdt
sec tdt ln | sect tant | C
第四章 Taylor公式
二、微分的定义
定义： 设函数 y f ( x)在某区间内有定义 , x0及 x0 x在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数 ), 则称函数 y f ( x) 在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分,
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
例4 在(a,b)内f "( x) 0,求证：x1, x2 (a,b)
f ( x1
2
x2 )
1 2[ f ( x1 )
f ( x2 )].
证：在 x0
x1
2
x2
处展开,计算
x1 ,
x2 ( x1
x2 )处值.
f ( x1 )
f ( x1
2
x2 )
f '( x1
2
x2 ) x1
2
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C;
(21)
x2
1 a 2dx
1 ln 2a
x x
a a
C;
(22)
1 dx 1 ln a x C;
a2 x2
2a a x
(23)
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(24)
1 dx ln | x x2 a2 | C.
观察重点不同，所得结论不同.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 2
ln
|
u
|
C
1 2
ln
|
3
2
x
|
C
.
一般地
f
(ax b)dx
1 a
[
f
(u)du]uaxb
例4
求
x (1 x)3dx.
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
A2 ( x a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 , , Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例4 求积分 x3 ln xdx.
x2 a2
一、分部积分
问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)可导,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
问题 x5 1 x2dx ?
解决方法 将 x 看成中间变量
过程 令 x sin t dx cos tdt,
x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
sin5 t cos2 tdt
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法
定理2 设 x (t )是单调的、可导的函数， 并且 (t) 0，又设 f [ (t)] (t)具有原函数，
则有换元公式 f (x)dx f [ (t)] (t)dt t 1 ( x )
证 设 (t) 为f [ (t)] (t) 的原函数,
x2
e2
1
x2
1
(
x2 )2
o[(
x2 )2]
1
x2
x4
o( x4 )
2 2! 2
2
28
原式＝lim x0
x4 12
o( x4
x4
)
1 12
六 用Taylor公式证明问题的技巧
关键
x, x0的选择
① x0可选为端点、中点、驻点、极值点；
② x0取为x，计算f ( x h)，f ( x h).
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
四 Taylor公式
⑴ 设函数f在点x0有直到n阶的导数, 则：
f (x)
f (x0 )
f '( x0 )( x
x0 )
f "(x0 )(x 2!
x0 )2
f (n)(x0 )(x n!
x0 )n
o[( x
x0 )n ].
在x0的小邻域内,用Tn( x)逼近f ( x)
⑵ 误差：Rn ( x) f ( x) Tn ( x) o[( x x0 )n ]
1 cos2
x
dx
11
11
11
4 cos2 x d(cos x) 4 sin x dx 4 cos2 x dx
1 4cos
x
1 ln tan 4
x 2
1 tan 4
x
C.
三、可积的充分必要条件
定理 : 设函数f :[a,b] R有界,则以下
三个条件互相等价 :
10 f在[a, b]上可积;
x
dx
1 sin x 2sin 2x cos
x
dx
1 sin x 4sin x cos2
x
dx
1 4
sin
x
1 cos2
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 4
sin2 x cos2 sin x cos2 x
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 4
sin x cos2 x
dx
1 4
1 sin
x
dx
ห้องสมุดไป่ตู้
1 4