自旋-轨道耦合

自旋-轨道作用[编辑]

在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用（英语：Spin–orbit interaction），自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型（shell model）能级的位移。

半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。

目录

[隐藏]

1 电子的自旋-轨道作用

1.1 磁场

1.2 磁矩

1.3 哈密顿量微扰项目

1.4 能级位移

2 参阅

3 参考文献

4 外部链接

电子的自旋-轨道作用[编辑]

在这篇文章里，会以相当简单与公式化的方式，详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶微扰理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案，虽然与实验结果并不完全相同，但也相当的符合。更严峻的导引应该从狄拉克方程开始，也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案，则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。

磁场[编辑]

虽然在原子核的静止参考系 (rest frame) ，并没有磁场；在电子的静止参考系，有磁场存在。暂时忽略电子的静止参考系不是惯性参考系，则根据狭义相对论[1]，磁场是

；(1)

其中，是电子的速度，是电子运动经过的电场，是光速。

以质子的位置为原点，则从质子产生的电场是

；

其中，是质子数量（原子序数），是单位电荷量，是真空电容率，是径向单位矢量，是径向距离，径向矢量是电子的位置。

电子的动量是

；

其中，是电子的质量。

所以，作用于电子的磁场是

；(2)

其中，是角动量，。

是一个正值因子乘以，也就是说，磁场与电子的轨道角动量平行。

磁矩[编辑]

电子的磁矩是

；

其中，是回转磁比率 (gyromagnetic ratio) ，是自旋，是电子自旋g因数，是电荷量。

电子的g-因数（g-factor）是，电荷量是。所以，

。(3)

电子的磁矩与自旋反平行。

哈密顿量微扰项目[编辑]

自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目是

。

代入的公式(3) 和的公式(2)，经过一番运算，可以得到

一直到现在，都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession) 。因为这效应，必须添加因子在公式里。所以，

。

能级位移[编辑]

在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目以后，现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，想要找到的本征函数形成的基底，使能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符：

。

总角动量算符与自己的内积是

。

所以，

。

请注意与互相不对易，与互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。

由于这两个事实，与的共同本征函数不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移。与的共同本征函数也不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移。可是，、、、，这四个算符都互相对易。、、、，这四个算符也都互相对易。所以，、、、，这四个算符的共同本征函数可以被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移；其中，是主量子数，是总角量子数，是角量子数，是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是想要寻找的基底。这共同本征函数的的期望值是

；

其中，电子的自旋。

经过一番繁琐的运算[2]，可以得到的期望值

；

其中，是玻尔半径。

将这两个期望值的公式代入，能级位移是

。

经过一番运算，可以得到

；

其中，是主量子数为的零微扰能级。

特别注意，当时，这方程会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目也等于零。零除以零，仍旧无法计算这方程的值。

很幸运地，在精细结构能量微扰的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当时，电子的轨道运动是球对偁的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来，球谐函数是

，

由于完全跟角度无关，角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场，所以，电子的轨道没有自旋-轨道作用。