矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用

中图分类号： O151.2
本科生毕业论文（设计）
（申请学士学位）
论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用
作者姓名
专业名称数学与应用数学
指导教师
2011年5月1日
学号：
论文答辩日期：年月日
指导教师：（签字）
滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明
本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：
年月日
目录
摘要 (1)
Abstract (4)
绪论................................................................................................................... 错误!未定义书签。

1矩阵最小多项式与特征多项式.................................................................... 错误!未定义书签。

1.1相关符合及定义................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2矩阵最小多项式................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.1最小多项式的定义 ................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.2有关定理及推论 ....................................................................... 错误!未定义书签。

1.3矩阵特征多项式 (5)
1.3.1特征多项式定义 (5)
1.3.2特征多项式性质 (6)
1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6)
1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9)
1.5.1Frobenius块 (9)
1.5.2若挡块 (10)
2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11)
3定理应用 (13)
3.1相等情形下的三个推论................................................................. 错误!未定义书签。

3.2定理与推论的应用.......................................................................... 错误!未定义书签。

参考文献............................................................................................................ 错误!未定义书签。

致谢. (18)
矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用
摘要：本文首先从矩阵最小多项式与特征多项式的定义与性质出发，讨论它们的概念与定理，给出了一种由特征多项式求最小多项式的方法。

介绍了Frobenius块和若当块,其最小多项式与特征式相等。

重点讨论矩阵最小多项式与特征多项式在相等情形下的充分必要条件，并得出它们在相等条件下的一些等价命题，对这些命题进行了简单的证明。

最后给这些定理的实际应用，使我们加深了矩阵最小多项式与特征多项式相等情形时的理解和应用。

关键词：最小多项式；特征多项式；不变因子；初等因子
中图分类号：O151.2；O153
Equal Properties of Minimum Polynomial and Characteristic
Polynomial of Matrix and Applications
Abstract:This paper firstly from matrix minimum polynomial and characteristic polynomial of the definition and properties, discussed their concepts and theorem, given a method for minimum polynomial by characteristic polynomial, introduced Frobenius piece and Jordan piece, when its minimum polynomial and characteristic polynomial are equal. Mainly discussed the sufficient and necessary conditions when the minimum polynomials and characteristic polynomial matrix are equal. And draw equivalent propositions under the condition of the equal condition. Finally to the practical application of these theorems, we deepen the understanding and application of minimum polynomials and characteristic polynomial matrix when they equal.
Keywords: minimum polynomials; characteristic polynomial; invariant factor; elementary factor
绪 论
在先前学过的高等代数及参阅的一些文献中，对矩阵最小多项式及特征多项式的讲解比较笼统简单，对它们的性质及应用也是很少涉及，所参考的文献中对矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质研究非常有限，但它们在代数中又有着重要的应用价值，在这种情形下，对两者的研究就显得非常有必要。

因此本文从三个方面出发比较系统的讨论了矩阵最小多项式、特征多项式及矩阵最小多项式与特征多项式相等时的一些定理与性质，对其中一些定理给出了理论证明。

首先，本文对矩阵最小多项式、特征多项式进行了概述，参阅文献[1][2]中最小多项式及特征多项式的定义、定理，并对其中部分比较重要的定理予以证明，又给出一种由特征多项式求最小多项式的方法。

在这个过程当中，有助于我们进一步理解它们的性质与用处，为下面对矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的性质与应用探究做了些铺垫。

其次，引入了Frobenius 块(())C g x 和若当块，包括广义若当块(())k J p x 、k 阶若当块(())k J x c -，显然它们的最小多项式与特征多项式相等。

最后，也是本文的重点同时也是难点，这一部分比较系统的论证了矩阵最小多项式与特征多项式相等时的定理与应用，其中涉及到相等情形下的一些等价命题，主要有不变因子、初等因子、有理标准型、广义若单标准型和特征向量等，这些问题涉及到不同数域，这些等价命题间的理论推导，有一定的困难，但也是本文的亮点。

同时列举出一些实际例子，一般地，对()n A M F ∈,有()()A A m x f x 且两者根集相等，但实际问题中遇到()A m x 、()A f x 是否相等的问题，对这些问题的深入分析，弄清这些不是很常见的问题，有利于我们理解线性代数中的一些重要定理，能更好的学好高等代数。

总之，通过此次对上述三种情况的研究，不仅加深了对它们在理论上的理解，同时分清了它们在不同条件下的使用条件，将它们运用在实际的例子当中，体现了这些定理及性质实际应用性，也加深了我们对这些问题的认识，使我们从单一片面的理解矩阵最小多项式、特征多项式过度到能从整体的角度去把握它们。

1 矩阵最小多项式与特征多项式
1.1 相关符号及定义
[]C λ表示复数域C 上的一元多项式环；
()n M C 表示C 上的全体n 阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向量空间； ()A f λ表示方阵A 的特征多项式；
()A m λ表示方阵A 的最小多项式；
()g λ表示方阵A 的某一化零多项式；
0()r λ∂ 表示一元多项式()r λ的次数。

定义1.1 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环。

定义1.2 λ-矩阵()A λ的不变因子即标准形的主对角线上非零元素12(),(),,()n d d d λλλ （详见文献[1]）。

定义1.3 把矩阵A (或线性变换σ)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的 一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换σ)的初等因子。

1.2 矩阵最小多项式
1.2.1 最小多项式定义
定义1.4 设()n A M C ∈，()[]f C λλ∈，若()0f A =，则称()f λ为A 的零化多项式， 在A 的零化多项式中，次数最低的首1多项式称为A 的最小多项式，记作()A m λ。

最小多项式在n n ⨯矩阵多项式的计算中起着重要作用，这将在下节中具体阐述。

1.2.2 有关定理及性质
定理1.1 设()n A M C ∈，A 的最小多项式()A m λ具有以下性质：
（1）()A m λ存在并且唯一确定；
（2）()A m λ整除A 的任一零化多项式；
（3）()()A A m f λλ；
（4）相似矩阵的最小多项式相同；
（5）A 与T A 具有相同的最小多项式；
（6）若()()A f m λλ，则()f A 不可逆。

证明 （1）对()n A M C ∀∈，以()A f λ表示A 的特征多项式，由Hamilton Cayley -定理()0A f A =，并且对()()n g M λλ∀∈，只要()()A f g λλ，就有()0g A =,表明A 的零化多项式大量存在。

由于次数是非负整数，有最小数原理，A 的零化多项式必有一个是次数最低的，记为()k λ，设()k λ的首项系数为0a ≠，则1()A m k a
λ=，且唯一。

（2）设()g λ是的任一零花多项式，进行带余除法得：
()()()()A g m q r λλλλ=+，其中：()0r λ=或00()()A r m λλ∂≤∂.
若()0r λ≠，则()()()()A r g m q λλλλ=-。

将A 带入则有()()()()0A r g m q λλλλ=-=,与()A m λ的含义矛盾，所以()0r λ=，从而()()A m g λλ。

（3）由（2）直接推出
（4）设1B P AP -=,对任意正整数m ，1m m
B P A P -=，进而对[]()f
C x λ∀∈，有 1()()f B P f A P -=,显然，()0()0f B f A =⇔=,该式表明，A 、B 具有相同的零化多项式，由（1）的证明过程知，()()A B m m λλ=。

（5）对任意正整数m ，由转置的性质知，()()T m m T A A =，进而对[]()f x C x ∀∈，有
()(())T T f A f A =,显然，()0()0T f A f A =⇔=,该式表明，A 、T A 具有相同的零化多项式，由（1）
的证明过程知，()()T A A m m λλ=。

（6）因()()A f m λλ，所以()f λ的根全为A 的特征值，则()f A 不可逆。

定理1.2 设n n A C ⨯∈，()A f λ为A 的特征多项式，()A m λ表示方阵A 的最小多项式，()g λ表示方阵A 的某一化零多项式。

再设1M 为()A f λ的根集，2M 为()A m λ的根集，3M 为()g λ的根集。

则
（1）12M M =；
（2）13M M ⊆；
（3）当((),())1g g λλ'=时，A 可对角化。

证明（1）设()(1,2,,)i d i n λ=是A 的不变因子，则
12()()()
(),()()n n f d d d m d λλλλλλ== 1a M ∀∈,则120()()()n d a d a d a =，于是存在(1)k k n ≤≤，使得()0k d a =，因为()()k n d d λλ，所以()0n d a =，即2a M ∈。

反之2b M ∀∈，则0()()n m b d b ==，易知()0f a =，即1b M ∈,故12M M =。

（2）由于()g λ为A 的零化多项式，()A m λ为A 的最小多项式，所以()()m g λλ，于是23M M ∈,由（1）即得13M M ∈。

（3）当((),())1g g λλ'=时，则()g λ无重根，故A 可对角化。

1.3 矩阵特征多项式
1.3.1特征多项式定义
定义1.5 设A 是数域P 上一个n 级矩阵，λ是一个文字，矩阵E A λ-的行列式称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个n 次多项式。

上面的分析说明，如果0λ是线性变换σ的特征值，那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即
00E A λ-=，那么齐次线性方程组(3)就有非零解。

这时，如果01020()n x x x 是方程组(3)的一个非零解，那么非零向量
0110220n n x x x ξξξξ=+++
满足(1)，即0λ是线性变换σ的一个特征值，ξ就是属于特征值0λ的一个特征向量。

1.3.2特征多项式的性质
定理1.3 相似的矩阵有相同的特征多项式。

证明 设A 相似于B ,即有可逆矩阵X ,使1B X AX -=，于是
111()E B E X AX X E A X
X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的，因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了。

定理 1.4 （哈密顿-凯莱（Hamilton-Cayley ）定理） 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则
11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-=
这一定理在矩阵特征多项式中起着非常重要的作用，对其理论证明在文献[1]当中有详细的理论推导，在此不做论述。

推论1.1 设σ是有限维空间V 的线性变换，()f λ是σ的特征多项式，那么()f σο=。

1．4 特征多项式解最小多项式的一种方法
本节主要给出一种由特征多项式求最小多项式的一般方法，来加深对两者的理解，具体如下： 定理1.5 设A 是数域P 上一个n 级矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则()0f A =。

定理1.6 设A 是数域P 上一个n 级矩阵，A 的特征多项式为1()()i s
m i i f λλλ==-∏，其中的各
变量12,,,s λλλ是互不相同的，(1,2,,)i m i s =是正整数，且1s
i i m n ==∑，则A 的最小多项式为
11()()s
k i i g λλλ==-∏，
其中i k 是在1,2,,(1,2,)i m i s =中使()0g A =的最小正整数。

证明 因为()0(1,2,
,)i f i s λ==，且12,,,s λλλ是互不相同的，所以12,,,s λλλ是A 的互不相同的特征根，由矩阵最小多项式的根可以求得12,,,s λλλ都是A 的最小多项式的根，因此可
以设A 的最小多项式为
11
()()()s
k i i g λλλϕλ==-∏
其中(1,2,,)i i k m i s ≤=是正整数，()ϕλ的首项系数为1，且()0(1,2,
,)i i s ϕλ≠=，因为()
f λ是A 的特征多项式，由定理1，()0f A =，由矩阵最小多项式是特征多项式的一个因子知，
()()g f λλ即
()()()11
i
i
s s
k m i i
i i λλϕλλλ==--∏∏ 所以1
()
()
i
s
m i
i ϕλλλ=-∏，因为()0(1,2,
,)i i s ϕλ≠=，且()ϕλ的首项系数为1，所以()1ϕλ=，
从而11
()()s k i i g λλλ==-∏且(1,2,,)i i k m i s ≤=，又,(1,2,
,)i i k m i s =都是正整数，由最小多项式
定义可知，i k 是1,2,
,(1,2,
,)i m i s =中使()0g A =的最小正整数。

由上面的定理可知，矩阵A 的最小多项式是唯一的，因此，根据定理2，可以得到有矩阵的特征多项式求A 的最小多项式的一般方法如下：
设A 是数域P 上一个n 级矩阵，A 的特征多项式为1()()i s
m i i f λλλ==-∏其中，12,,
,s λλλ是
互不相同的，(1,2,
,)i m i s =是正整数，且1
s
i i m n ==∑由定理2，可设A 的最小多项式为
1
()(),1(1,2,
,)i s
k i i i i g k m i s λλλ==-≤≤=∏
然后依次取i k 是1,2,,(1,2,
,)i m i s =，计算是()g A ，直到找出使()0g A =的最小正整数
(1,2,
,)i k i s =为止。

下面列举出两个例子帮我们理解具体的解题过程，加深对上面定理的理解和
更好运用。

例1 设 111020002A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求A 的最小多项式。

解 A 的特征多项式为
21
11()02
(1)(2)0
2
f E A λλλλλλλ--=-=
-=---
设A 的最小多项式为
()(1)(2),(12)k g k λλλ=--≤≤
因为011111()(2)0100000001000A E A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
--== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
所以1k =，故所求A 的最小多项式为2()(1)(2)32g λλλλλ=--=-+
例2 设20000
20000110
001A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
,求A 的最小多项式。

解 A 的特征多项式为
22
2
0000200()00110001
(1)(2)f E A λλλλλλλλ--=-=
---=-- 设A 的最小多项式为
1212()(2)(1),(12,12)k k g k k λλλ=--≤≤≤≤
因为
010000
00
00
00001000
000(2)()000110
00100010
0010
0000000A E A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
⎪⎪ ⎪
--==≠ ⎪⎪ ⎪-- ⎪
⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以求得
2
2
00001
00000000100(2)()00110
0010
001000
000001
0000000000001000000000120
00100010
001000
0000
0A E A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪--= ⎪ ⎪- ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==≠ ⎪⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
200001
00000000100(2)()00110
0010
001000000001
00000000000000110
0000
0010
00
0A E A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎪--= ⎪⎪- ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎪== ⎪⎪- ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
所以121,2k k ==，因此，A 的最小多项式为
32()(2)(1)452g λλλλλλ=--=-+-
1.5 Frobenius 块和若当块的最小多项式与特征多项式
1.5.1 Frobenius 块
设()n M F 是数域F 上n 阶方阵的集合，[]F x 是F 上一元多项式的集合，()n A M F ∈的特征
多项式和最小多项式分别为()A f x ，()A m x ，设1
10()()n n g x x a x a F x -=++
+∈，则称n 阶方阵
121010
(())01n n a a C g x F a a --⎛⎫
⎪- ⎪
⎪== ⎪
- ⎪ ⎪-⎝
⎭
为()g x 的友阵，它是一个Frobenius 块。

不难验证Frobenius 块的最小多项式与特征多项式相等，且为
110()n n g x x a x a -=++
+。

1.5.2 若当块
如上面介绍，若首1多项式[]1(),,()r g x g x F x ∈，1()(),1,2,
,1i i g x g x i r +=-，则称准对
角阵1((()),,(()))r diag C g x C g x 为有理标准形，设()P x 为[]F x 中首1不可约多项式，则称分块
下三角形矩阵
(())(())(())(())k C p x E C p x J p x E
C p x ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭
为(())k
p x 的广义若当块，其中
0010000
0E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
特别地，当()p x x c =-时，
1(())1
k c c
J x c c ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝
⎭
为k 阶若当块，此时(())k
J x c -可简记为()k J c ，若1(),
,()r p x p x 是数域F 上首1不可约多
项式，则称准对角阵
11((()),
,(()))r k
k r J diag J p x J p x =
为广义若当标准形，特别地，当11(),,()r r p x x c p x x c =-=-时，
11((),,())r k k r J diag J c J c =为若当标准形。

不难验证，若当块的最小多项式与特征多项式相等，且为()k
x c -。

若()n A M F ∈在F 上的不变因子组和初等因子组分别为
11(),,()(()(),1,2,
,1)r i i g x g x g x g x i r +=-；
()11(),
,r k
k r p x p x (()11(),
,r k
k r p x p x 是F 上首1不可约多项式)，
则A 在数域F 上就会相似于有理标准形
11((()),
,(()))r k
k r diag C g x C g x
和广义若当标准形
11((()),,(()))r k k r diag J p x J p x ，
而且除了对角块的排列次序外两种标准形都是唯一的。

这些矩阵最小多项式与特征多项式相等的矩阵，在下文的应用将有很好的体现，其重要性不言而喻。

2 矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题
通过上面的介绍分析，我们大概了解了一下矩阵最小多项式、特征多项式以及一些两者相等情形下的简单矩阵，但对它们的分析还只是从孤立的角度去理解，因此有必要将两者相等下情况进行分析，这也是本节的主要内容。

定理2.1 设()n A M F ∈，则以下命题等价： （1）()()A A m x f x =； （2）A 的不变因子组为1,
,1,()A f x ；
（3）A 的有理标准形为(())A C f x ；
（4）A 对应的线性变换所作用的线性空间是一循环空间；
（5）A 对应的初等因子组是F 上两两互素的首1不可约多项式的幂：11(),,()s k k s p x p x ;
（6）A 的广义若当标准形为11((()),
,(()))r k
k r diag J p x J p x ，由上可知，式子当中的
11(),,()s k k s p x p x 是A 在F 上的初等因子组；
（7）在复数域C 上，A 的若当标准形为1((),,())s diag J c J c ，其中1,
,r c c 为A 的全部不同
特征值；
（8）在复数域C 上，A 属于每个特征值只有1个线性无关特征向量； （9）矩阵方程AX XA =的解空间的维数是n ； （10）与A 可换的矩阵均为A 的多项式。

由文献[5][6]中易证(1)、(2)、(3)、(4)等价，(2)、(5)、(6)、(7)、(8)等价，为证(7)与(9)、(10)等价，先证明以下引理。

引理2.1 设1((),
,())s A diag J c J c =为若当标准形，则矩阵方程AX XA =的解是
()ij s s X X ⨯=与A 的分块相同的分块矩阵，且
0c c i j ij i j c X c ≠⎧⎪
=⎨=⎪⎩
当任意下三角分块矩阵当,1,2,
,i j s =
其中下三角分层矩阵是指如下形状的矩阵：
1
21
2
1
00
0000
0m
a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12
1
2
1000n
a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121
2
1000000000n
a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
证明 方程AX XA =相当于()(),,1,2,,i ij ij j J c X X J c i j s ==。

当i j c c ≠时，()i J c 与()
j J c 无公共特征值，故0ij X =，当i j c c =时()()i ij ij j J c X X J c =相当于(0)(0)ij ij J X X J =，两边乘开比较元素可得ij X 为下三角分层矩阵。

下面证明(7)与(9)等价：若在复数域C 上A 的若当标准形为1((),
,())s J diag J c J c =，其中
1,,r c c 互不相同，设X 是任意与A 可换的矩阵且1J P AP -=,令1Y P XP -=,则方程AX XA =等
价于方程JY YJ =,由引理1得()ij s s Y
Y ⨯=，其中
0,,1,2,
,i j ij i j
c Y i j s c ≠⎧
==⎨=⎩当c 当c 任意下三角分层矩阵,
由于当1i j s ≤≠≤时，i j c c ≠，故0ij Y =，从而11(,
,)ss Y diag Y Y =且对角线上的小块均
为下三角分层矩阵，所以Y 中共有n 个自由参数，故1
X PYP -=中也有n 个自由参数，所以方程
AX XA =的解空间的维数是n 。

若在复数域 C 上,A 的若当标准形1((),,())s J diag J c J c =中1,,r c c 有相同的情形，不妨
设i j c c =，由引理1知，方程JY YJ =的解()ij s s Y
Y ⨯=中除对角线上的小块均为下三角分层矩阵
外，1221,Y Y 也是下三角分层矩阵，因此Y 中自由参数个数大于n ，可以得出原方程的解空间维数大于n 。

再证(7)与(10)等价：若在复数域C 上A 的若当标准形为1((),
,())s J diag J c J c =，其中
1,,r c c 互不相同，设X 是任意与A 可换的矩阵，1J P AP -=，1Y P XP -=，故JY YJ =.由上面
证明知，
11(,,)ss Y diag Y Y =且对角线上的小块均为下三角分层矩阵，取Lagrange Sylvedter -内
插多项式()p x ，可使()p J Y =。

()p x 的具体算法参见文献[5]，所以
111()()()X PYP Pp J P p PJP P A ---====
若在复数域C 上，A 的若当标准形1((),,())s J diag J c J c =中1,,r c c 有相同的情形，,X Y
同上所设，由上面证明知()ij s s Y
Y ⨯=可取到非准对角形0Y ，所以不存在任何多项式()p x 使得
0()p J Y =,从而也不存在任何多项式()g x 使100()g A X PY P -==。

(注1：由(4)知，()()
A A m x f x =等价于A 有一个循环向量，即存在列向量n
a F ∈，使1,,
,n a Aa A a -为n F 的一组基)。

由(7)知，()()A A m x f x =等价于A 的若当标准形中属于每个特征值的若当块只有一块，可见这样矩阵的若当标准形中的若当块没有“分裂”。

由(10)知当且仅当()()A A m x f x =时，A 的中心化子{}
()()n C A X M C AX XA =∈=等价于
[]{}()()g A g x C x ∈。

3 应用举例
3.1 相等下的三个推论
推论3.1 设1,,r c c 为()n A M F ∈ 的互不相同特征值，[]()g x F x ∈，若1(),
,()r g c g c 互
不相同且1(),
,()r g c g c ''均不为0，则
()()()()()()A A g A g A m x f x m x f x =⇔= 证明 （⇒）由(7)可设11((),,())r A Pdiag J c J c P -=，其中1,,r c c 为A 的全部不同特征值.
则11()((()),
,(()))r g A Pdiag g J c g J c P -=,其中
()
00()()(()),1,2,,0()()i i i i i i g c g c g c g J c i r g c g c ⎛⎫ ⎪' ⎪== ⎪ ⎪
'*⎝
⎭
因1(),
,()r g c g c ''均不为0，则(())i g J c 的若当标准形为
()
001()
01
()i i i i g c g c J g c ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
又由于1(),,()r g c g c 互不相同，所以()g A 的若当标准形中属于不同特征值的若当块只有一
块，由(7)得
()()()()g A g A m x f x =
(⇐) 假如()()()()g A g A m x f x ≠，由(7)知，A 的若当标准形中属于某一特征值的若当块至少有两块，从而()g A 的也是，再由(7)得()()()()g A g A m x f x ≠。

（注2 尽管A 的若当标准形中属于同一特征值若当块只有一个，但是()g A 的若当标准形中的同一特征值的若当块一般会发生两种情况的变化：一是原来属于不同特征值的几个若当块“整合”成了属于同一特征值的若干若当块，这是由于
()g x 将这些不同特征值变为相同；二是属于某特征值i c 的阶数大于1的若当块“分裂”成几个属于
同一特征值的若当块，这是由于()g x '将i c 变为0.推论1的条件1(),,()r g c g c 互不相同保证了A
的属于不同特征值若当块不会“整合”,条件1(),,()r g c g c ''均不为0保证了A 的属于同一特征值
的若当块不会“分裂”）。

推论3.2 设()n A M F ∈且()()A A m x f x =，则A 在数域F 上可对角化当且仅当A 在F 上有n 个不同特征值。

证明 （必要性）因A 在数域F 上可对角化，则A 在数域F 中有n 个特征值，假如有相同的特征值，则()()A A m x f x ≠，充分性显然。

由此不难推出，对复数域上正规矩阵A ，()()A A m x f x =当且仅当()A f x 无重根，故实对称矩阵A 的特征多项式如有重根，则()()A A m x f x ≠。

推论3.3 设()n A M F ∈在数域F 上有k 次方根B ,即k B A =，若()()A A m x f x =，则
()()B B m x f x =。

证明 （反证法）若()()B B m x f x ≠，由(7)知，B 的若当标准形中属于某一特征值的若当块至少有两块，则k A B =的也是，矛盾。

(注3 对实数域R 上的矩阵我们就能得到一个非常有用的结论，即11((),,())r A Pdiag J c J c P -=，若1,,r c c R ∈互不相同且A 在R 上有平方根B ，则B 的若当
标准形为11diag((),
,())r k k r J d J d ，其中1,
,r d d R ∈互不相同且2,1,
,i i d c i r ==，因此，当
1,
,r c c 出现0或负数时,A 在R 上没有平方根B )。

3.2 定理与推论的应用
由上面的介绍，我们了解了一些相等情形下的矩阵最小多项式与特征多项式的性质与定理，下面就参考文献[5][6]中的几个习题为例来说明定理1及推论的应用。

例1 证明：2
δ有循环向量，则δ也有循环向量，反过来对吗？
证明 化为矩阵问题是：2
A 有循环向量，则A 也有循环向量，因2
A 有循环向量，由(4)知，则
22()()A A m x f x =，再由推论3得()()A A m x f x =，再由(4)知A 也有循环向量。

010=1010A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
反之不成立取， 则A 有循环向量，但2
A 的若当标准形为
0000,1010diag ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由(7)知，2
A 没有循环向量。

例2
设δ是F 上n 维线性空间V 的线性变换，有循环向量，证明：与δ可换的线性变换τ
比为δ的多项式。

证明 化为矩阵问题是：A 有循环向量，则与A 可换的线性变换B 比为A 的多项式，这可直接由命题(4)(10)得。

例3 设δ是F 上n 维线性空间V 线性变换，证明：V 中有向量a 具有如下性质：对任意多项式()f x ，若()0f a σ=则()0f σ=(此种向量称为分离向量)。

再证明，若δ有循环向量，则循环向量是分离向量。

证明 仍化为矩阵问题，设δ对应的矩阵是A ，由A 的有理标准形知，n F 中存在向量a 以()A m x 为其最小零化因子，由题意知对任意多项式()f x ，若()f x 是a 的零化子，则可以得到有()A m f x ，从而()0f A =,故β是分离向量。

例4 设N 为域F 上n 阶方阵，1
0,0n
n N N
-=≠，证明：不存在n 阶方阵A 使2A N =。

证明 由题意知()(),1n
N N m x f x x n ==>，由(7)知N 的若当标准形为n 阶方阵(0)n J ，由注
3知N 无平方根。

参考文献
[1] 王萼芳,石生明. 高等代数[M]（第三版）.北京:高等教育出版社2003.
[2] 张禾瑞, 郝斌新. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社，1998
[3] 熊全淹,叶明训. 线性代数[M].北京:高等教育出版社,1987
[4] 程云鹏.矩阵论[M], 西安: 西北工业大学出版社,2000
[5] 王耕禄,史荣昌. 矩阵理论[M].北京:国防工业出版社,1988.
[6] 张贤科,许甫华. 高等代数学[M]. 北京:清华大学出版社,1998.
[7] 王品超.高等代数新方法[M]. 济南:山东教育出版社，1989.
[8] 杜志涛,宋兴军. 矩阵最小多项式的初等变换法[J].齐齐哈尔大学学报,2006,22(6):78-80.
[9]陈冠华,陈桂章. 强对合矩阵及其性质[J]. 河南大学学报（自然科学版），2008,38（6）45-49.
[10] Tian Y. Styan G.P. H.Rank. Equalities for Idempotent and Involutory Matrices[J].Linear Algebra
Appl.,2001(335):101-117.
[11]James R.C.,Orthogonality and Linear Functional in Normal Linear
Spaces[J],Trans.Amer.Math.Soc.,1947,61:265-292
致谢
本论文是在谭玉明老师的精心指导下完成的，从论文的选题、理论研究到论文定稿，自始至终都得到了谭老师的悉心指导，本文倾注了导师的一片心血。

在四年多的学习期间，得到了老师无微不至的关怀和照顾。

同时老师严谨的治学态度、兢兢业业的敬业精神、理论联系实际的工作作风，为人正直的优良品质，以及对我的严格要求，都将使我终身受益。

在此，谨向谭老师表示衷心的感谢和深深的敬意!
在四年的学习过程中，还得到了学院各位领导和老师的帮助，他们给予我提供了宝贵的资料和悉心的指导。

同时在论文完成过程中，我的同学给予了巨大的帮助和支持，从进校到毕业，学院的老师和同学们都给过我无微不至的关怀和帮助。

在此，我向多年来关心、帮助和教育我的领导、老师、同学致以深深的谢意。

衷心地感谢评阅论文的各位专家、教授!。