高考数学绝对值不等式

2＋ 5； 4
g(a)min ＝ g(1) ＝ x2 ＋x－ 1＝
1 x＋ 2
2－
5 4
.
∴－
54≤
g(a) ≤54，∴
|f(x)|
＝
|g(
a)|≤
5 4.
∴ C 项成立， A ，B ， D 项均不成立．
3．不等式 1＜|x＋ 1|＜ 3 的解集为 ( D )
A ． (0,2)
B ． (－ 2,0)∪ (2,4)
C．( －4,0)
D ． (－ 4，－ 2)∪ (0,2)
解析 1＜ |x＋ 1|＜ 3? 1＜ x＋ 1＜3 或－ 3＜ x＋ 1＜－ 1? 0＜ x＜ 2 或－ 4＜ x＜－ 2.
2．设 ab＜ 0， a， b∈ R，那么正确的是 ( C )
A ． |a＋ b|＞ |a－b|
B ． |a－ b|＜ |a|＋ |b|
C．|a＋ b|＜ |a－ b|
解析 由 ab＜ 0，得 a， b 异号，
D ． |a－ b|＜ ||a|－ |b||
易知 |a＋b|＜ |a－ b|， |a－b|＝ |a|＋ |b|， |a－ b|＞ ||a|－ |b||，
|f
(
x)|≤
5 .
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明 方法一 ∵－ 1≤ x≤1，∴ |x|≤ 1.
又∵ |a|≤1，∴ |f(x)|＝ |a(x2－ 1)＋ x|≤ |a(x2－ 1)|＋ |x|≤ |x2－ 1|＋ |x|＝ 1－ |x |2＋ |x|＝－
1 |x|－ 2
2
＋5≤ 4
5 4.
方法二
设 g(a)＝ f(x)＝ax2＋ x－ a＝ (x2－ 1)a＋ x.
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式 ||a|－ |b||≤ |a±b |≤ |a|＋ |b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
【例
2】
设 a∈R，函数
f( x)＝ ax2＋ x－a(－ 1≤ x≤ 1)，若 |a|≤ 1，求证：
∵－ 1≤ x≤ 1，
当 x＝ ±1，即 x2－ 1＝ 0 时， |f(x)|＝ |g(a)|＝1≤ 5； 4
当－ 1<x<1，即 x2－ 1<0 时， g(a)＝ ax2＋ x－a 是单调递减函数．
∵ |a|≤ 1，∴－ 1≤ a≤1，
∴ g(a)max＝ g(－ 1)＝－ x2＋x＋ 1＝－
1 x－2
4＋ 3
b≤
4
4≤ b＜ 7，
?
∴ 5＜b＜ 7.
5＜ b≤8，
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中
x 的系数为 1(或可化为 1)，可选用几何法或
图象法求解较为简单．若 x 的系数不全为 1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值
的取舍．
【例 1】 解不等式 |x－ 1|＋ |x＋ 2|≥ 5.
1．思维辨析 (在括内打“√”或打“×” )．
(1)对 |a＋ b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞ b＞ 0 时等号成立． ( × )
(2)对 |a|－ |b|≤ |a－ b|当且仅当 |a|＞|b|时等号成立． ( × )
(3)对 |a－ b|≤|a|＋|b|当且仅当 ab≤ 0 时等号成立． ( √ ) (4)|ax＋ b|≤ c 的解等价于－ c≤ ax＋ b≤c.( √ ) (5)不等式 |x－ 1|＋ |x＋ 2|＜ 2 的解集为 ?.( √ )
4．不等式 |2x－ 1|＜2－ 3x 的解集是 ( C )
1 A ． x|x＜ 2
B．
x|12≤
x＜
3 5
3 C． x|x＜ 5
D．
3 x|x＞ 5
3x－2＜ 2x－ 1，
解析 |2x－ 1|＜ 2－ 3x? 3x－ 2＜ 2x－ 1＜ 2－3x?
?
2x－ 1＜ 2－3x
x＜ 1， 3
x＜ 5
? x＜35.
考情分析 2017 ·全国卷Ⅰ，
23 2016 ·全国卷Ⅰ，
24 2016 ·全国卷Ⅲ，
24 2016 ·江苏卷，
21(D)
命题趋势
解绝对值不等式是本 部分在高考中的重点考查 内容，其中以解含有两个 绝对值的不等式为主 .
分值： 5～ 10 分
1． 绝对值三角不等式
定理 1：如果 a， b 是实数，那么 |a＋b|≤ |a|＋ |b|，当且仅当 __ab≥ 0__时，等号成立．
解析 将原不等式转化为 |x－1|＋ |x＋ 2|－ 5≥0，
令 f(x) ＝|x－ 1|＋ |x＋ 2|－ 5， － 2x－ 6， x≤ － 2，
则 f(x) ＝ － 2，－ 2＜ x＜ 1， 2x－ 4， x≥1.
作出函数的图象，如图所示． 由图可知，当 x∈ (－ ∞ ，－ 3]∪ [2，＋ ∞ )时， y≥ 0，∴原不等式的解集为 (－ ∞ ，－ 3] ∪[2 ，＋ ∞ )．
__?__
__ ?__
|x|
＞a
__{ x|x＞ a 或 x＜－ a}__
__{ x|x∈ R 且 x≠0}__
__R __
(2)|ax＋ b|≤ c(c＞ 0)和 |ax＋ b|≥ c(c＞ 0)型不等式的解法 ① |ax＋ b|≤ c? － c≤ ax＋ b≤ c；
② |ax＋ b|≥ c? ax＋ b≥c 或 ax＋ b≤－ c.
第十二章 不等式选讲 第 69 讲 绝对值不等式
考纲要求 1.理解绝对值的几何意义， 并能利用 含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式：
(1) |a＋ b|≤ |a|＋ |b|. (2) |a－ b|≤ |a－ c|＋ |c－ b|.
2．会利用绝对值的几何意义求解以 下类型的不等式：
|ax＋b|≤ c， |ax＋b|≥ c， |x－ a|＋ |x－ b|≥c.
5．若不等式 |3x－b|＜ 4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b 的取值范围为 __(5,7)__．
解析
由
|3x－ b|＜ 4
得－
4＜ 3x－ b＜ 4，即
－ 4＋ 3
b ＜
x＜4＋3
b，
∵不等式 |3x－ b|＜ 4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，
－ 4＋b
0≤
＜ 1， 3
则
3＜
定理 2：如果 a，b，c 是实数， 那么 |a－ b|≤ |a－ c|＋ |c－ b|，当且仅当 __(a－ c)(c－ b)≥ 0__
时，等号成立．
2． 含绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 |x|＜a， |x|＞ a 的解集
不 等式
a＞0
a＝ 0
a＜ 0
|x|
＜a
__{ x|－ a＜ x＜ a}__