曲线坐标及其变换关系

2、曲线坐标及其变换关系
在ζ-平面上，任一点ζ可表示为：
i
也可表示为：
(cos i sin ) ei
其中，ρ、θ为ζ点的极坐标。
显然，在ζ-平面上，ρ=const 表示一圆周线，θ=const 代表一根
径向线。
在 z-平面上，ρ=const 表示一曲 线，θ=const 表示另一曲线。
1
(3 1
)
1 ( z )
z1( z )
1(z)
（5-10）
B
1(z)
z1(z) 1(z)
s
i
(X
A
iY )ds
（5-12）
—— 应力边界条件的复变函数表示
3 1
1 ( z )
z1(
z
)
1
(
z
)
s
E(u iv)
1
（5-13）
—— 位移边界条件的复变函数表示
对无限大多连域问题：
平面
const
O
const
z 平面
z ( )
因此，ρ、θ可视为z-平面上一点 z 处
的曲线坐标。
const
const
由于变换的保角性， z-平面上的曲线坐
标总是正交的。且坐标轴ρ、θ的相对方向总
是与坐标轴 x、y 的相对方向相同。
曲线坐标与直角坐标间的变换关系：
z 平面
A iA Ax iAy e-i
ei 的计算：
（a）
z 平面
A
假想沿ρ方向给点 z 以位移 dz，因而对 const
应点ζ得到位移 d, 于是有
A
Ay const
Ax
dz dz (cos i sin ) ei dz
d d (cos i sin ) ei d
z ( ) ei
)
(
)
B
iA (X
iY
)ds
小结：
E(u iu
1
)
( (
) )
(3
1
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
) （5-22）
——曲线坐标中位移分量的复变函数表示
2Φ( ) Φ( ) 4 ReΦ( )
（5-23）
2i
2 2 2( )
( ) Φ( ) ( )Ψ( )
—— 曲线坐标中应力分量的复变函数表示
( )
（5-21）
由
A
iA
( (
) )
( Ax
iAy )
得
u
iu
( ) ( )
(u iv)
将上式代入式（5-21）得，位移矢量在曲线坐标ρ、θ轴上的投影：
位移矢量在曲线坐标ρ、θ轴上的投影：
E(u iu
1
)
( (
) )
(3
1
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
) （5-22）
设 z-平面上有一矢量A，其起点在点 z ( ) (ei )
用Ax、Ay分别表示它在 x、y 轴上的投影，
用 A 、A分别表示它在 ρ、θ轴上的投影。
A
const
A
Ay const
Ax
设 ρ轴与 x 轴成角λ，则有：
Ax A cos A sin Ay A sin A cos
z ( )
将此向量用复数表示，有
Ax iAy A cos A sin i A sin A cos
A cos i sin iA cos isin
A iA cos i sin A iA ei
从而有
A iA Ax iAy e-i
（a）
由应力分量的复变函数表示，有
2 1(z) 1(z) 4 Re1(z)
2i 2z1(z) 1( z) e2i
（e）
由
ei ( ) ( )
e2i
ei
2
2 2
( )2
( ) 2
2 2
( ) 2
( )( )
2 2
( ) ( )
（f）
将式（f）代入（e），并利用式（5-20），有
（5-19）
Φ( ) 1(z) 1( ) /( ) ( ) 1(z) 1( ) /( )
位移分量的变换
Φ( ) 1(z)) /( )
（5-20）
E(u iv)
1
(3 1
)
1 ( z )
z1( z )
1(z)
（5-10）
E(u iv) (3 ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 ( z )
1 8
(X
iY ) ln
z
Bz
10 (z)
1(z)
3 8
(X
iY
)
ln
z
(B
iC)z
10
(z)
其中：
10 (z)
a1 z
a2 z2
0 1
(
z
)
b1 z
b2 z2
（5-15） （5-16）
B 1 2
4
B iC (1 2 ) e2i （5-17）
2
m
m
X X k ,Y Yk 为m个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）
B
1(z)
z1(z) 1(z)
s
i
(X
A
iY )ds
（5-12）
—— 应力边界条件的复变函数表示
将式（5-19）、（5-20）代入，有
(
)
( (
) )
(
) ( )
s
i
B
(X
A
iY )ds
在边界上， ρ=1，因而 ei ei 引入记号： ei
上式可表示为：
(
)
( ) ( ( )
ei dz ( )d ei ( ) ( )
dz ( ) d
( ) ( )
（b）
e-i
( ) ( )
于是式（a）可表示为：
A
iA
( ) ( )
( Ax
iAy )
（c）
—— 曲线坐标与直角坐标中矢量的变换关系
3、一些基本函数与公式的变换
1(z),1(z)
z ( )
1( ) 1(z) 1( ) 1( ) 1(z) 1( )
应力分量的变换
——曲线坐标中位移分量的复变函数表示
, , ——表示弹性体在曲线坐标ρ、θ中的应力分量。
由应力坐标变换式：
xபைடு நூலகம்
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
x
y
2
sin
2 xy
cos 2
const
const
由此可得：
x y
2i y x 2i xy e2i
(
)
( ) ( ( )
)
(
)
B
iA (X
iY
)ds
其中记号： ei
—— 曲线坐标中应力边界条件的复变函数表示
平面问题复变函数求解公式小结：
（1）z-平面内求解：
x y 2 1(z) 1(z) 4Re1(z)
x y 2i xy 2z1(z) 1(z)
（5-8） （5-9）
E(u iv)
2Φ( ) Φ( ) 4 ReΦ( )
（5-23）
2i
2 2 2( )
( ) Φ( ) ( )Ψ( )
x y 2 1(z) 1(z) 4 Re1(z)
——
曲线坐标中应力分量的复变函数表示
x y 2i xy 2 z1(z)
1(
z)
应力边界条件的变换