薛定谔方程数值解

例：求解 f x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l )
迭代方程

k 1 n1
[2

d
2
fn

ad
2
|
k
(xn )
|2 ]
k 1 n

k 1 n1

bd 2
k 1 n
系数矩阵
ck 1

Ak

Bk

0
0
B
k
,
1 Bk
, n )
0
n
雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵
RK，逐步将 A 对角化，即选择 RK，令
AK RKT AK 1RK , K 1,2,3,
取 A0 A，使得当 K 时，AK diag(1, 2, , n)
本征值： 1, 2, , n

a
1 bN
a 4d 2 ,
bi
biN
2 bUik

2
2d
2
2
U
k i
,
U
k i

1 2
(U
k i

U
k i
1
)
√
含时方程的解法(5/10)
w
例：先将一个粒子用谐振子势束缚

在基态，然后放入无限深势阱的中
央，求其波函数 随时间的演化
初始态(即 k 0)：谐振子的基态 l
一维的单粒子
Hˆ


N n1
2
2n
n2
Uˆ

E
Hˆ ( 2 d2 Uˆ ) E 2 dx2
√
定态方程的矩阵解法(1/9)
实对称矩阵的对角化
定理：如果 A 是实对称矩阵，那么存在正交矩阵 R，使得
1
0
RT
AR





diag(1, 2 ,
n even
1
1 n (x)m (x)dx nm
2
哈密顿算符和矩阵元
Hˆ
Tˆ
Uˆ


2
2
d2 dx 2

Fx
2
2
(
d2 dx 2

f
)x,
f

2 F
2
Hnm
1
1 n
Hˆ m
dx

2
2

2
2
n2
2 nm
,
4
16mnf (1)(nm1)/ 2
(m2 n2 )2 2
,
(n, m) odd (n, m) even (n, m) (odd,even)
√
定态方程的矩阵解法(9/9)
对角化(以 2 / 2 为能量单位)，结果分析
(x) cnn (x), C {cn} 是 (x) 在{n} 表象的表述
a

A
a
1 2
a

2 1


a
1 2 1






a
1 2
1


a
1 2
4d 2
a
,

bi biN 2 bUik 2,
U 0,
2 w

√
含时方程的解法(7/10)
2 1
a

1 2 1
lx

e 2x2 2
1/ 2
0 1i N
2xi2 e 2 ,
1/ 2
0 0
N 1i2N
由 k 0 的差分方程组，求 k 1 时刻的波函数
方程
A X1 B X0
未知量
X1


1 1

1 2

1
1
N 1
t
单粒子
i
t
2 2 Uˆ , 2
2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
多粒子
i t
N

2
n1 2n
2n
Uˆ ,
2n

2 xn2

2 yn2

2 zn2
定态薛定谔方程(势能不显含时间)

(r,t) (r)eiE t /,
Jocobi矩阵
J


x1 x1
f1 f2
x2 f1 x2 f2
x3 x3
f1 f2



3 2 x1
x1 f3
x2 f3
n
步骤 选择适当的表象(即基矢)，推导哈密顿矩阵元 计算哈密顿矩阵，并对角化
√
含时方程的解法(1/10)
非本征态的时间演化
特点：初始态 系统的本征态 i Hˆ (Tˆ Uˆ ), Hˆ E t
解法1：有限差分方法解多维扩散方程
一维含时薛定谔方程的差分格式
√
非线性薛定谔方程解法(7/10)
多元非线性方程组 (关键：Jocobi矩阵 J ，初值接近解)
√
非线性薛定谔方程解法(8/10)
例：解非线性方程
3x1x218c1o(xs2(x2 x03.)1)20.5s
in
0 x3

1.06

0
ex1x2 20x3 9.47 0
bU
k i
)
k R ,i

k R ,i1

a
k I,i

k 1 I ,i 1

a
, k 1
R ,i
k 0,
,N ,K
1



k I ,i 1

(2

bU i k
)
k I,i

k I ,i 1

a
k R ,i
利用 k 时的 值，求 k1 时的 值
要求解线性方程组——隐式的
√
定态方程的矩阵解法(7/9)
波函数
有限差分法的步骤 将定态薛定谔方程转化为差分格式 写出差分方程的实对称矩阵，并对角化
√
定态方程的矩阵解法(8/9)
希耳伯特空间的方法
例：一维无限深线性势阱
希耳伯特空间的基矢
n
(
x)

scionsnn2xx
, ,
n odd ,
2l
cn l 1/ 2 1/ 2 1/ 4
l sin[ n (x l)]e 2x2 / 2dx,
l
2l
n odd
√
非线性薛定谔方程解法(1/10)
非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程)
含时的：i 2 f a | |2 , (r,t)
第9次
√
定态方程的矩阵解法(5/9)
久期方程方法
例：计算实对称矩阵的本征值问题 久期方程和本征值
2 1 0 A 1 2 1
0 1 2
本征向量
√
定态方程的矩阵解法(6/9)
定态薛定谔方程的矩阵解法
有限差分法 例：一维无限深势阱 定态薛定谔方程的差分格式 差分方程的实对称矩阵和本征值问题
√
含时方程的解法(2/10)
边界条件
束缚态： 0
非束缚态：假设初始态是束缚态， x 足够大，
在 T 内，x 左右边界处的 0
k R,0
k R,N 1


k I,0
k I,N 1
0
方程组的矩阵形式：
Ak 1 Xk 1 Bk Xk
Xk
R i I ,
a 4d 2 ,
b

2 d
2
2
k 1
R,i1
k1
I,i1

(2

bU
i
k
)
k 1 R ,i


k R ,i1

(2


(2

bU
k i
)
k 1 I,i

k 1 R ,i1

a
, k 1
I,i
i 1,
√
含时方程的解法(9/10)
解法2：(希耳伯特空间的方法)将初始态在基矢上展开 势能函数不含时(Q 表象，基矢是 un ) 写成矩阵形式， 和 H 都是矩阵
当 Q H 时，un 是哈密顿量的本征态，H 是对角阵
√
含时方程的解法(10/10)
当 Q H 时，un 不是哈密顿量的本征态，H 非对角
(d
2 x
x2
a |
|2 )
b
基矢：
n (x) (2 / l)1/2 sin(n x / l)
哈密顿矩阵元
√
非线性薛定谔方程解法(3/10)
l 5, a 5
√
非线性薛定谔方程解法(4/10)
有限差分的迭代法(一维定态)：非线性项线性化
√
非线性薛定谔方程解法(5/10)



1 bN 1 1
a


Ak1
a
1 bN b1 1
a

a
1 b2 1






a
1 bN 1
1


a
1 bN
a 4d 2 ,
bi
biN

2

bU
k i

2
2d 2
2
U
k i
,
由 k 1 的差分方程组，求 k 2 时刻的波函数
方程 A X2 B X1
未知量
X2

{
2 i
}
已知量 X1 { i1}, A , B
由 k 2 的差分方程组，求 k 3 时刻的波函数……
n 维含时薛定谔方程的差分格式：Nn Nn 的矩阵

本征向量：VK

R1T R2T
RKT
RT
1 K
√
定态方程的矩阵解法(2/9)
矩阵 RKT 对角化 22 实对称矩阵 A
√
定态方程的矩阵解法(3/9)
对角化 nn 实对称矩阵 A
本征向量
VK {vi(jK )}
vvii((qpKK
) )

v(K 1) ip
c os
a





1 2 1
a


1 2
a
B

a
2 1


a
1 2 1






a
1 2 1

a
1 2
4d 2
a
,

bi biN 2 bUik 2,
U 0,
2 w

√
含时方程的解法(8/10)

ck

1 1 ck
1

1 ck
ck 2 d 2 fn ad 2 | k (xn ) |2
√
非线性薛定谔方程解法(6/10)
有限差分法(一维含时)
二元非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化 (关键：Jocobi矩阵 J ，初值要接近解)
例：先将一个粒子用谐振子势束缚 在基态，然后放入无限深势阱的中
w
央，求其波函数 随时间的演化
初始态：谐振子的基态
I e 1/ 2 1/ 4 2x2 / 2
l
lx
基矢：无限深势阱的能量本征函数
n l 1/2 sin[ n (x l)]
常数 cn
N
1
1
N 1
N 2

1 2 N 1
1T 2N
已知量
X0 10

0 2

0
0
N 1
N
0
0
N 1
N 2

0 2N 1
0T 2N
√
含时方程的解法(6/10)
2 1
a


1
2 1
a





1 2 1
U
k i

1 2
(U
k i

U
k i
1
)
√
含时方程的解法(4/10)
b1 1
a

1 b2 1
a





1 bN 1 1
a


Bk


a
1 bN b1 1
a

a
1 b2 1






a
1 bN 1 1
t
定态的： 2 f a | |2 b ,
f f (r)
实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解
希耳伯特空间的迭代法(定态)：非线性项线性化
√
非线性薛定谔方程解法(2/10)
例：求解 f x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l )
方程：

v(K 1) ip
s in
vi(qK 1)
s in

v(K 1) iq
c os
√
定态方程的矩阵解法(4/9)
2 1 0

例：计算 33 实对称矩阵 的本征值和本征向量
A0 A，选 p 1, q 2
A
1 0
2 1
1 2
选 p 1, q 3
k R ,1
k R,2

k
k
R,N 1
R,N
k I,1
k I,2

k I,N 1
kT I,N


k 1

k 2

k
k
N 1
N
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
N 1
N 2

k 2 N 1
kT 2N
√
含时方程的解法(3/10)
b1 1
a


1
b2 1
a



计算物理
薛定谔方程数值解
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薛定谔方程数值解
薛定谔方程 定态方程的矩阵解法 含时方程的解法 非线性薛定谔方程解法 薛定谔方程的有限元方法
√
薛定谔方程(1/1)
薛定谔方程
i Hˆ Tˆ Uˆ