遗传模型

遗传模型
摘要
本文针对传染色体的分配规律，对其对后代的影响进行分析，并对其进行量化。

建立线性模型模型，探讨了理想状态下常染色体遗传情形，揭示下一代各情形的变化规律。

从而对许多植物(动物)遗传分布有一个具体的了解,同时模型的结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这也是之所以称它为显性的原因。

关键词：线性模型，常染色体遗传
问题重述
随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣。

无论是人，还是动物、植物都会在产生下一代的过程中，将自己的特征遗传给下一代，从而完成一种“生命的延续”。

在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对。

如果我们考虑的遗传特征是由两个基因如人类眼睛颜色，即是通过常染色体A 、a 控制的。

基因对是AA 和aa 的人，眼睛是棕色,基因对是aa 的人，眼睛为蓝色。

由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征，或认为基因A 支配a ，也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因，a 为隐性基因)。

试对由常染色体遗传控制的后代的问题进行讨论。

农场的植物园中某种植物的基因型为AA ,Aa 和aa 。

人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。

经过若干年后，这种植物的任一后代的三种基因型分布将出现什么情形?
模型的假设
1）假设,,(0,1,2,)n n n a b c n = 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令
()(,,)n n n n x a b c '=为第n 代植物的基因型分布,
),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布，显然有
0001a b c ++=
2）第1n -代与第n 代的基因型分布关系是通过下表1确定的。

表1 基因型的概率分布
模型的建立
根据假设2），先考虑第n 代中的AA 型。

由于第n 代要得到AA 型的情况为： 1°第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型； 2°第1-n 代的Aa 型与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为
2
1
； 3°第1n -代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。

因此，当1,2,n = 时，有
1111
102
n n n n a a b c ---=∙++∙------ ①
同理，有
111
2
n n n b b c --=
+ ------ ② 0n c = ------------- ③
将①，②，③式相加,得
111n n n n n n a b c a b c ---++=++---- ④
将④式递推，并由假设1），可得
0001n n n a b c a b c ++=++=
将①，②，③式联立，并用矩阵表示，则有
,2,1,)1()(==-n Mx x n n ---- ⑤
其中
110210
1200
0M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
由⑤式进行递推，得第n 代基因型分布的数学模型
()(1)2(1)(0)n n n n x Mx M x M x --==== ---⑥
它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M 确定。

模型求解
为了计算M ，对矩阵M 做相似变换，将其对角化，即求出可逆矩阵p 和对角阵D ，
使
1M PDP -=
因而有
1(1,2,)n n M PD P n -==
其中
1
122330000n
n n
n D λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦ 这里123,,λλλ是矩阵M 的三个特征值。

对于⑤式中的M ，易求得其特征值和特征向量分别为
1231
1,,02
λλλ==
=
1231110,1,2001e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此
10010
0200
0D ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
，123111(,,)012001P e e e ⎡⎤⎢⎥
==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 通过计算，得1
P P -=，因此有
1()(0)(0)1(0)()n n n n x M x PDP x PD P x --===
0001
001
111
1110120001220
010010
0n
a b c ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎛⎫
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
00000100111
2211220n n n n a b c b c b c --⎡⎤++--⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
最终有
001001
11122
11220n
n n n n n n a b c b b c c --⎧
=--⎪⎪
⎪=+⎨⎪
=⎪⎪⎩
-------⑦ 显然,当+∞→n 时,由上述三式,得到
.
0,0,1→→→n n n c b a
即在足够长的时间后，培育出的植物都是AA 型。

模型结论
通过本问题的讨论,可以对许多植物(动物)遗传分布有一个具体的了解,同时这个结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这也是之所以称它为显性的原因。

模型讨论
若在上述问题中，不选用基因型AA 的植物与每一种其它基因型植物相结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率由下表2 确定：
表2 相同基因型结合的后代基因型的概率分布
于是有
()(0)n n x M x =
其中
1
10410
021014
M ⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
M 的特征值为
12311,1,2
λλλ===
通过计算，可以解出与12,λλ相对的两个线性无关的特征向量1e 和2e ，以及与3
λ
相对应的特征向量3e ，即
1231010,0,2101e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此
1
00
10100
2D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
， 101002111P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，1
11021111002P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
于是
1()(0)(0)1(0)()n n n n x M x PDP x PD P x --===
00011010
1100200201011111
1110000
22n
a b c ⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭⎣
⎦ 11111022
1
002
11
0122n n n ++⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝
⎭
000a b c ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即得
00
1000
11
122121122n n n n
n n a a b b b c c b ++⎧⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎪
⎪=⎨⎪
⎪⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎩
其中1,2,n = 。

当+∞→n 时,102n
⎛⎫
→ ⎪⎝⎭
,所以
000011,0,22
n n n a a b b c c b →+
→→+ 因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在足够长的时间后，后代仅具有基因AA 型和Aa 型。

附录
求解程序如下：
>> syms n a0 b0 c0;
>> M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]'); >> [p,lamda]=eig(M);
>> x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]; x =
a0+(1-(1/2)^n)*b0+(1-2*(1/2)^n)*c0 (1/2)^n*b0+2*(1/2)^n*c0 0
>> x=simple(x) x =
a0+b0-b0*2^(-n)+c0-c0*2^(1-n) b0*2^(-n)+c0*2^(1-n) 0
参考文献
[1] 陈国梁,白永宏,任桂梅,贺晓龙,韩涛. 落叶栽培金针菇试验研究[J]. 安徽农业科学[C]2005,(08)
[2] 孙伯筠,于小英. 不同基质对一品红生长势的影响[A]. 2007自然科学学术论文[C], 2007
[3] 孙伯筠,于小英. 不同基质对一品红生长势的影响[A]. 2007自然科学学术论文（土壤肥料与农业可持续发展）[C], 2007
[4] 香,高遐虹,沈漫,王志忠,姚允聪. 部分观赏海棠实生单株植株形态比较[A]. 中国观赏园艺研究进展 2009[C], 2009 .。