高中物理中的极值问题

中学物理中的极值问题

盐城市盐阜中学秦立华

江苏盐城224001

[摘要] 中学物理中的极值问题，是把物理学的思想方法和数学的求解手段相结合，即用物理方法分析物理量达到极值的条件，再从这个条件出发，运用物理规律和数学手段列方程，求出极值。物理方法求极值的思维方向——物理量达极值时是平衡状态；物理量达极值时，另一物理量为零；瞬时速度相等时，物理量达极值；物理量达极值时出现临界状态等。用数学手段求极值的方法——三角函数法；不等式法；二次函数法等。

[关键词] 高中物理极值思想方法数学手段

在中学物理的教学中，在一些较难的物理问题中经常遇到极值问题，而求解物理量的极值时，经常是把物理学的思想方法和数学的求解手段相结合，即用物理方法分析物理量达到极值的条件，再从这个条件出发，运用物理规律和数学手段列方程，求出极值。

用物理方法求极值，在思维的方向上要重点思考以下几点：第一，物理量达极值时是平衡状态。如汽车以恒定功率起动最后达到最大速度；雨滴下落最终达到收尾速度。第二，物理量达极值时，另一物理量为零。如从高处下落的小球掉在竖直放置的弹簧上，当加速度为零时，速度最大，而速度为零时，加速度又最大；带电粒子在电场、磁场的综合场中运动，也有类似的情况。第三，瞬时速度相等时，物理量达极值。如在水平面一物体撞上中间有弹簧的另一物体时，当速度相等时弹簧的弹性势能最大；追击的问题，当速度相等时两物体相距最远。第四，物理量达极值时出现临界状态。如光的折射中，入射角变化达到全反射的情况；凸透镜成像中，物与像间的距离达最小值的情况。

用数学手段求极值，常用的有以下几种方法：第一，三角函数法，即利用三角函数的有界性，︱sinθ∣≤1或∣cosθ∣≤1求解；第二，不等式法，即利用（a－b）2≥0或者a ＋b≥2√ab求解；第三，用二次函数求极值，即对y＝ax2＋bx＋c,在x＝－b/2a时,有极值y m＝(4ac－b2)/4a。

1、用三角函数求极值

1-1、物体的质量为m，在光滑的底边长为L的斜面上由静止开始下滑，当斜面倾角α为多大时，物体下滑的时间最短？

分析：斜面倾角α较小时斜面较短，但同时加速度也较小；当斜面倾角α较大时，斜面较长，此时加速度也较大，究竟在α为多大时下滑时间t为最短呢？

解：F合＝mgsinα＝ma a＝gsinα

S＝gt2/2 L/cosα＝gsinαt2/2

t＝√2L/gsinαcosα＝√4L/gsin2α

∴当α＝45°时t→t min＝√4L/g

1-2、物体的质量为m，在动摩擦因数为μ的平面上，现在使物体在水平面上作匀速直线运动，其最小拉力为多大？

分析：对此题学生经常会不加深究地认为F＝μF N＝μmg 。其实当F与水平方向成θ角时，尽管F的水平分量F x减小了，但此时由于正压力F N减小了，滑动摩擦力F f也减小了，则要使物体作匀速直线运动所需要的拉力也减小了。具体解法：

解：ΣF x ＝Fcosθ－F f＝0 F

ΣF y＝Fsinθ＋F N－mg＝0 整理可得m

又F f＝μF N

Fcosθ－μ(mg－Fsinθ)＝0

F＝μmg/(cosθ＋μsinθ)

＝μmg/［√1＋μ2 sin （θ＋θ0）］ 其中sin θ0＝1/√1＋μ2

讨论：当θ＝900－θ0＝900－arcsin(1/√1＋μ2 )时，F →F min

∴ F min ＝μmg /√1＋μ2 ＜μmg

2、 利用数学上a ＋b ≥2√ ab ，即“两个数的和为定值，当这两个数相等时积为最大”求极值。

2-1、两个带电小球相距r ，其带电量分别为q 1、q 2，且q 1＞q 2，现把两个小球接触后再放回原处，问两球的电荷如何分配才能使其作用力为最大？（与2004年上海高考第19题类似）

分析：此题的关键是要考虑到两球带同种电荷？还是带异种电荷？

解一：当两电荷为同种电荷时，设接触后其中一个小球的带电量为q x1

则 F 1＝kq x1(q 1＋q 2－q x1) / r 2

因 q x1＋(q 1＋q 2－q x1)＝q 1＋q 2 （定值） 则当q x1＝q 1＋q 2－q x1时

即 q x1＝(q 1＋q 2) / 2 时 F 1→F max1

F max1＝k(q 1＋q 2)2 / (4r 2)

解二：当两电荷为异种电荷时，接触后中和了一部分电荷，其总净电荷为q 1－q 2，再重新分配，设其中一个小球的带电量为q x2，同理可得

F 2＝kq x2(q 1－q 2－q x2) / r 2

因 q x2＋(q 1－q 2－q x2)＝q 1－q 2 （定值） 则当q x2＝q 1－q 2－q x2时

即 q x2＝(q 1－q 2) / 2 时 F 2→F max2

F max2＝k(q 1－q 2)2 / (4r 2)

2-2、三个阻值都为R 的电阻连成如图所示的电路，当滑动变阻器的滑动触头P 在何处时，A 、B 间的电阻最大？

解：设aP 间的电阻为R x ，则R 1＝R ＋R x ，R 2＝2R －R x

R AB ＝2121R R R R +＝R

R R R R x x 3)2)((-+ 因R 1＋R 2＝3R （定值），当R ＋R x ＝2R －R x ，即 R x =R/2时，R AB 取最大值 ∴ 当P 在a 、b 中点时，A 、B 间电阻最大，R ABmax ＝3R/4

3、 用二次函数求极值

3-1、某电源电动势为E 、内电阻为r ，与外电阻R x 构成闭合电路，当R x 为多大时，电源有最大输出功率？

解：由闭合电路欧姆定律 U ＝ E －Ir

输出功率 P 出＝ UI ＝ (E －Ir)I ＝－rI 2＋EI

当 I ＝－E / 2(－r) ＝ E/2r 时， 电源有最大输出功率，

对照 I ＝E/(R x ＋r) ， 可知当R x = r 时，P 出→P 出max

则 P 出max ＝ E 2 /(4r)

3-2、物体通过凸透镜f 成实像时，物体与实像之间的距离L 在什么情况下最短？ 解：由透镜成像公式 1/u ＋1/v ＝1/f

又 L ＝u ＋v

代入有 1/u ＋1/(L －u) ＝1/f u 2－Lu ＋Lf ＝0

当Δ＝L 2－4Lf ≥0 ， 即L ≥ 4f 时 ， u 才有实数解

∴ 当u ＝v ＝2f 时 ， L ＝u ＋v ＝2f ＋2f ＝4f 为最小值。