种群生态模型

单ห้องสมุดไป่ตู้种群
3. 讨论: 适用性: 局限性: Allee 效应, 补偿效应, 自残现象等 . 参数估计: 三个参数, 非线性函数 .
单个种群
§9.2 种群的离散动态 关心生物种群在离散时间点上的动 态 ( 修改假设 20 )
一. Malthus 模型
dN = rN dt
N
−1
dN = rdt
∫
k +1
k
N dN = ∫ rdt
−1 k
k +1
ln N(k+1) – ln N(k) = r N(k+1) = e r N(k) = λ N(k) λ = er 种群单位时间的增长率
单个种群
二. Logistic 模型 N’ = r ( 1 – N / K ) N 1. 离散的 logistic 模型
3 < μ < 1 + 6 = 3.449时是稳定的
单个种群
5. 还有 3.449 < μ<3.544 有稳定的四周期点 . 3.544 < μ<3.564 有稳定的八周期点 . 3.564 < μ<3.571 有稳定的2n周期点 . 3.571 < μ<4.000 若似随机—混沌
N (t + Δ t ) − N (t ) = r (t , N ) Δ t N (t )
dN = rN dt
3. 分析
N (t ) = N 0 e r (t − t0 )
r =
r–内禀增长率intrinsic growth rate
瞬时相对增长率
N (t + Δ t ) − N (t ) 1 dN 1 = lim N dt N Δt→ 0 Δt
t→∞
t →∞ * 1 0
N0* 不稳定，N1* 稳定。
单个种群
40. 相空间的动态行为分析 自治系统：方程不明显地依赖与时间 t。 相空间：因变量的变化空间（Phace space） 自治系统变量N的动态完全可以由它在 相空间中的位置所确定。 相轨线: N(t) 在相空间中随时间变化的轨迹 模型的相空间为半直线 N>0, N 的轨线由速度曲 线给出 .
N ( k + 1) = exp{r − r
N (k ) } N ( k ) = λ e − βN ( k ) N ( k ) K
令
X (k ) = βN (k ) , X (k +1) = λe− X (k ) X (k )
单个种群
3. 二次映射模型 N’ = r ( 1 – N / K ) N 设: 群体的变化只在离散的时间点上发生. 种群在 [k, k+1) 内的瞬时增长率依赖于 时刻 k 的种群数 N(k): r (1–N(t)/K)N = r(1–N(k)/K)N(K), k ≤t< k+1
单个种群
3. 当 1< μ 时, 平衡态满足F(X*) =μ [1–X*]X* = X* 关于平衡态 X*有两个解 X0*=0, X1*=(μ-1)/ μ 在X0*附近, 有 X(k+1)=[dF/dX]*X(k)+o(X)≈ μX(k) 平衡态 X0* 是不稳定的. 在X1*附近, 有 X(k+1)-X1*=[dF/dX]*[X(k)-X1*]+o(X)≈(2-μ)[X(k)X1*] 当 | 2-μ |<1, 即 1< μ <3 时, X1* 是稳定的.
单个种群
2. 分析 N’ = r ( 1 – N / K ) N 10. 模型的参数: N > K, N’< 0; N = K, N’ = 0; N < K, N’>0. K : 环境承载力或饱和水平. K→ ∞ 时，模型退化为 Malthus 模型， r ：内禀增长率 20. 模型的解：分离变量法
单个种群
2. Ricker 模型 N’/N = r ( 1 – N / K ) 设: 群体的变化只在离散的时间点上发生. 种群在 [k, k+1) 内的瞬时相对增长率依 赖于时刻 k 的种群数 N(k): r (1–N(t)/K) = r ( 1–N(k)/K ), k ≤t< k+1
K +1 N ( k + 1) N (k ) N (k ) ln = r ∫ (1 − ) dt = r (1 − ) K N (k ) K K
N ( k + 1) − N ( k ) = r (1 − N (k ) ) N (k ) K
N (k ) N ( k + 1) = [( r + 1) − r ]N (k ) K
令
X (k ) =
r N (k ) , X (k + 1) = μ[1 − X (k )]X (k ) (r + 1) K
KdN = rdt N (K − N )
dN dN + = rdt N K−N
ln
N ( k + 1) K − N ( k + 1) =r + ln N (k ) K − N (k )
1+
N ( k + 1) =
λN ( k ) ( λ − 1) N ( k )
K
令
X (k ) =
(λ −1) N (k ) λ , X (k + 1) = X (k ) K 1 + X (k )
K N (t ) = 1 + Ce
− rt
,
K − N0 C = N0
递增，有极限 K，依赖于三个参数。
单个种群
30. 模型的动态特征 平衡解：模型不依赖于时间的解 N0*=0，N1*=K。 平衡解的稳定性：
lim N (lim)N=) =K= N , NN1*>,0 ∀ N 0 > 0 t (t K = ∀
第九章 种群生态学的 数学模型
§9.1 单个种群的动态行 为
单个种群
一. Malthus 模型 1. 假设： 10. 个体同质。 20. 群体很大，充分光滑。 30. 种群封闭。 40. 生育死亡的大群体平均效应。 50. 环境定常。 60. 增长独立。
单个种群
2. 模型 N (t + Δt ) − N (t ) = r (t , N (t ))ΔtN (t ) + o(Δt )
单位时间的相对增长率 = er −1 种群的倍增期：T2= (ln 2)/r
单个种群
二. Logistic 模型 1. 模型: 在有限的资源内生物种群不可能无限 增长. 存在有饱和水平, 种群增加接近饱和水平 时增长速度减慢而趋于零. 假设 60 需要修改: r = r(N), r’(N)<0 且存在K, r(K) = 0 . 假设: r为 N的线性减函数, 有零点 K . 则有r(N) = r (1 – N / K) 模型: N’ = r (1 – N / K) N – logistic 模型
单个种群
4. 3< μ, X0*, X1* 不在稳定, 考虑复合映射 F(2)(X)=F[F(X)] 的平衡态, 有四个 X0*, X1* , X3**, X4**
X
∗∗ i
=
( μ + 1) ±
( μ − 3 )( μ + 1 ) 2μ
有关系 F(X3**)= X4**, F(X4**)= X3**, X3**, X4**为模型的二周期点. 还可以证明 X0*, X1* 不再稳定, 而且
单个种群
三. 二次映射模型的动态行为 X(t+1) = μ [1 - X(t) ] X(t) = F(X) 1. 当 0≤ μ ≤ 4 , 0 ≤ X(0) ≤ 1 时, 有 0 ≤ X(t) ≤ 1 2. 当 μ < 1 时, X(t+1) < μ X(t) , X(t) → 0 = X0* 平衡态 X0* 是稳定的.