高中数学解题方法谈三次函数与导数

三次函数与导数

高中教材增加导数及应用这一新内容后，高考试题中自然形成了新的知识热点，围绕三次函数这一知识点来命题．主要有以下几类．

一、与三次函数图象上某点的切线相关的数学问题

例１ 曲线3231y x x =-+在点（1，－1）处的切线方程为（ ）．

A ．34y x =-

B ．32y x =-+

C ．43y x =-+

D ．45y x =-

分析：先求此处的导数值，即切线的斜率，再由点斜式得出直线的方程．答案选B ．．

二、与三次函数有关的单调性问题

例2 若函数3211()(1)132

f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间 （6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围．

分析：本小题主要考查导数的概念、应用导数研究函数单调性的基本方法及综合运用数学知识解题的能力．

解：函数()f x 的导数2

()1f x x ax a '=-+-．

令()0f x '=，解得x =1或1x a =-．

当11a -≤，即a ≤2时，函数()f x 在（1，+∞）上是增函数，不合题意．

当11a ->，即a ＞2时，函数()f x 在（-∞，1）上为增函数，在（1，a -1）内为减函数，在（a -1，+∞）为增函数．

依题意应有当(14)()0x f x '∈<，，；

当(6)()0x f x '∈+∞>，，

则416a -≤≤．

解得5≤a ≤7．

所以a 的取值范围是［5，7］．

三、与三次函数有关的极值、最值问题

例3 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．

（1）求导数()f x '；

（2）若(1)0f '-=，求()f x 在［-2，2］上的最大值和最小值；

（3）若()f x 在（-∞，-2］和［2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围． 解：（1）由原式，得32()44f x x ax x a =--+，

∴2()324f x x ax '=--．

（2）由(1)0f '-=，得 12a =． 此时有221()(4)()342f x x x f x x x ⎛⎫'=--

=-- ⎪⎝⎭，． 令()0f x '=，得43x =

或1x =-． 又4509(1)(2)0(2)03272f f f f ⎛⎫=--=-== ⎪⎝⎭

，，，， 所以()f x 在［-2，2］上的最大值为92，最小值为5027

-． （3）解法1：因为2()324f x x ax '=--的图象是开口向上且过点（0，-4）的抛物线，

由条件，得(2)0(2)0f f ''-，≥≥，即480840.

a a +⎧⎨

-⎩，≥≥． 所以-2≤a ≤2．

所以a 的取值范围为［-2，2］． 解法2：令()0f x '=，即23240x ax --=，

由求根公式得2121212()a a x x x ±+=<，， 所以2()324f x x ax '=--在（1x -∞，］和［2x +∞，

）上非负． 由题意可知，1222x x -，≥≤，即22126126.

a a a a ⎧++⎪⎨+-⎪⎩，≤≤．

解不等式组，得 22a -≤≤．

所以a 的取值范围是［22-，］

． 四、不求导借助函数方程知识求解

值得注意的是，并非所有三次函数都必须用到导数．例4借助图形特征，用方程知识求解更好！

例4 已知函数32

()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，

则（ ）． A ．(0)b ∈-∞，

B ．(01)b ∈，

C ．(12)b ∈，

D ．(2)b ∈+∞， 解析：观察图象，你能够看到什么？联想到什么？

①图象过原点，由(0)0f =，可求得3220()()d f x ax bx cx x ax bx c ==++=++，； ②图象通过（1，0）、（2，0）两点，

显然有08420a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，

，即620a b +=，

∴3b a =-；

③ a 是什么数？是正还是负？联想当x →+∞时，()f x →+∞，所以有a ＞0． ∴0(0)b b <∈-∞，，，故选A ．