近地表地形曲面重构算法研究

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1、引言

在地震勘探中，野外作业的目的是收集原始数据，即进行地震数据的收集。这是地震勘探中获取地下地质信息的根本环节，所得数据是处理及解释等后续任务所依据的最根本的资料。因而，野外作业的质量直接影响到勘探的效果。野外收集数据作业中的差错可能会导致勘探的处理解释成果与地下实际情况全然不同。所以，有必要特别的重视地震数据采集。

地震勘探的最终目的是有效地处理地质难题。在一个工区能否使用地震勘探处理难题，很大程度上决定于该工区的地震地质条件。尤其是表层的地震地质条件，对采集数据的质量影响很大。近地表地层由于地质风化效果变得疏松，地震波在该地层传播的速度，通常比深部微风化的基岩中的速度要低得多。低速带的疏松性对地震波有很强的吸收效果。所以在地震勘探时，通常穿过低降速带在基岩中进行炸药震源的激发。这就要求有精细的近地表模型来指导井位和井深的确定。

野外采集的数据可以通过拟合算法来建立近地表模型，从而指导打井和静校正。薄板样条、三角剖分和B 样条是较常见的曲面插值拟合方法，本文通过实验对三种算法的优劣进行分析评价。

2、薄板样条法

薄板样条法的特点在于它是一种利用最小能量的函数来刻画不规则平面的插值方法。该方法的特点在于它的求解控制方程，用到的方程为：

W (x )=∑i =1N

αi |x -x i |2

log |x -x i |

2

其中W (x )指x 处的形变，

αi 是待定系数。薄板样条法同样是无限平板样条方法，采用薄板样条法进行计算时，已知位移点的数目不受限制，但为了保证计算的精度，要求至少有三个已知位移点。

薄板样条在工程地质学上描绘如下：关于一阶问题，单元的三次样条能够被认为是处于平衡状态下的曲折变形梁；关于二阶问题，这种样条能够经过薄板的最小曲折变形来断定。它所确定的插值函数，不会受到被插值布局的转动和平移的影响，在对变化的曲面和弹性曲面进行插值时，显得更有用。

3、Delaunay 三角剖分

四面体是三维空间三角剖分的最小单元，它包含了许多其它单元没有的优势。而三角形是二维空间三角剖分的最小单元，它也包含了许多其它单元无法替代的优势；Delaunay 三角剖分算法是运用得最多的三角剖分算法。它具有“空外接圆”和“最小内角最大”两大特色，能够减少畸形三角单元的生成，从而保证了整个三角剖分质量达到最优。Delaunay 三角剖分算法是所有的三角剖分算法中一种比较常用、高效的三角剖分算法。

4、二次均匀B 样条曲线法

空间n+1个顶点的位置矢量P i （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2，n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i (u )（i=1，…，n －1），其定义表达为：

P i (u )=12[]

u 2u 1éëêêùûúú1-21-2201

10éëêêùûúúP i -1P i P i +1i =1,...,n -1; 0≤u ≤1=12!(1-2u +u 2)P i -1+12!(1+2u -2u 2)P i +12!

u 2P i +

1图1二次B 样条曲线

如图1所示，端点位置矢量：P i (0)=0.5(P i -1+P i )，P i (1)=

0.5(P i +P i +1)，

即曲线起点和终点分别在控制多边形P i -1P i 和P i P i +1的中点。若P i -1、P i 、P i +1三个顶点位于同一条直线上，P i (u )蜕化成P i -1P i P i +1直线边上的一段直线。

端点一阶导数矢量：P i (0)=P i -P i -1，P i (1)=P i +1-P i ，P ′i (0)=

P i +1-P i ，P ′i (1)=P i +2-P i +1，

即曲线的起点的切向量和终点的切向量分别和两个边重合，并且相邻的两曲线在节点处具有一阶导数连续。

二阶导数矢量：P ″

i (0)=P i -1-2P i +P i +1=P ″i (1)=P ″i (t )，

即曲线内的所有点处的二阶导数相等，并且临近的两条曲线在节点处的二阶导数不连续。

5、实例分析5.1速度比较

本文对一组理论生成的函数数据和两组某工区实测数据，按照控制点个数进行三种方法的插值拟合。计算速度见表1。

表1三种算法的耗时比较

数据函数数据1函数数据2函数数据3工区数据1工区数据2

控制点个数N

6252500100003525984

耗时/s

薄板样条

2493∞1∞

三角剖分

1∞∞1∞

B 样条12214

从表1可以看出，随着控制点个数的增大，三种拟合算法对应的插

值速度变得越来越慢。其中薄板样条算法最慢，而且当数据量较大时会占用将近全部内存，导致不能计算出结果。B 样条插值速度最快，其次是三角剖分插值方法，薄板样条最慢。因此在稠密控制点和海量数据点的情况下，本文采用B 样条插值法重构近地表模型。

5.2精度比较

野外测量数据存在误差，而且小折射和微测井解释会受初至波拾取的影响，所以重构近地表模型时需要综合考虑到模型精度和光滑

度。插值法的精度可用平均相对误差ε来表示，ε=∑i =1N |v i -f (x i ,y i

)f (x i ,y i )|/N ，其中N 为控制点个数，v i 为拟合值，f (x i ,y i )为真实值。

表2三种算法的误差比较

数据函数数据1函数数据2函数数据3工区数据1工区数据2

控制点个数N

6252500100003525984

误差ε

薄板样条0.2384122840.598707063

0.002943122三角剖分

0.893974868B 样条0.0874910230.1028944690.107028292

0.00380291

0.002070894

对三种算法拟合精度进行分析。首先对其中工区一拟合效果进行分析，其中三角剖分插值拟合算法精度很低，误差高达89%，从图2中可以看出，拟合效果图光滑性和连续性很差。在数据量较少且稀疏的情况下，三角剖分插值方法并不适用。薄板样条插值拟合效果最好，曲面平滑连续。误差小，精度高。B 样条拟合速度快，但是在图2中明显看出，B 样条插值拟合的效果有明显的样条痕迹，近地表地形曲面重构算法研究

中国地质大学（北京）地球物理与信息技术学院张雨飞

［摘要］

在地震资料的野外采集过程中，为了尽可能地消除近地表低速带、降速带对地震波的吸收衰减作用，要求穿过低降速带，将炸药放入高速层引爆。所以要求高精度的近地表模型来指导设计激发井深，然后确保高质量的单炮记录。地表曲面重构技术是近地表模型建立的首要关键环节，对于野外数据的采集和后续的处理解释工作有着重要的含义。本文重点研究薄板样条、三角剖分和B 样条的拟合方法，并通过具体工区实例分析其拟合效率。

［关键词］

曲面拟合薄板样条三角剖分B 样条近地表建模（下转第132页）

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