(完整版)李雅普诺夫直接法
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§6.5 李雅普诺夫直接法
• 李雅普诺夫直接法是一种不需要对方程进行求解就可以判定平衡点 稳定与否的的定性方法。用李雅普诺夫直接法进行判断所确定的稳定 性称为李雅普诺夫意义下的稳定性。
• 1、适用情形
• 当非线性电路的平衡点是非双曲平衡点，即其对应线性化后的矩阵A 的特征值至少有一个是零实部时，平衡点的稳定性可以采用李雅普诺 夫直接法（Liapunov direct methord）判定。
衡点。研究充电的线性电容通过线性电阻和电感的串联组合进行放电
的电路，其任意时刻的能量函数表示为
W vc,iL 1 Cvc2 1 LiL2
2
2
若以 vc ， iL为两个直角坐标轴 x1 ，x 2，以Wvc,iL为V，画出图形，如
下图示。
V
V V3 V V2 V V1
V V3 V V2 V V1
0
x2
• 2、平衡点按李雅普诺夫意义稳定的定义
•
设描述电路的微分方程为
•
x
f
x，其中
x
是一个列向量，xs
0
是其平衡
点，xt 是偏离平衡点 xs 的任一轨道，而且轨道上的起始点xt0与平衡
点的偏离非常微小，并用 x(t0) xs 代表起始点 xt0 到平衡点的距离。
• 如果对于任意给定的 0 ，存在 0，使得对任何起始点 ，只 x0 xt0
以列出n个动态变量的状态方程。可以设 总储能为 Wx1, x2......, xn 。电路中除了动态元件
外，还会有吸收或发出能量的正负电阻元
件。
在这样的情况下，状态变量空间中
的任一条轨道上点的移动时，相应的能
量函数应是趋于减小或增加的。能量函数趋于减小时，直到到达轨
• 上的一个能量极小点为止。这个能量极小点便是电路的一个稳定的平
V3 V2 V1 x1
x2 V1 V2 V3
0
x1
• 曲面与 V const（等势面）的平面相交的部分是闭曲线。把对应于
V1，V2,V3的闭曲线投影到 x1 -x2 平面上得到三条闭曲线，称为等值
线。电路中的总储能会随着时间的推移不断地减少，最终到达电路的
• 唯一平衡点—原点。
通过以上事实，可以用下述方法来证明一个平衡点是渐近稳定的；若
能找到一个标量函数W，使在所研究的平衡点具有一个局部最小值，
而且随着时间的增加在沿该平衡点附近的所有轨道移动时，W总是减
小的，那么该平衡点就是渐近稳定的。
如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数W x 沿着状态方程
•
x fห้องสมุดไป่ตู้x
的解轨道的时间的导数是非正的，即
dW (x) W (x) dx W (x) f (x) 0
要距离 x0 xs ，且对所有的t都有 xt xs 成立，就称平衡点是按李雅
普诺夫意义稳定的。若还有 limxt xs 成立，则称平衡点是按李雅普诺 t
夫意义渐近稳定的。如果不存在 ，称平衡点为不稳定的。
• 二阶系统稳定的几何意义如图所示，粗黑线代表平衡点位置，始终有
• ， xt 0 曲线x x(x0,t) 为在平衡点邻域内从起始点 x0 出发的轨道。圆柱体
半径 0，在相平面上的投影为圆；若原点是稳定的，则从 内开始的 轨道不会到达圆柱的柱面上，更不会穿过圆柱面；若原点为渐近稳定， 则当t 时，xx0,t 0；若不稳定，则当 t 时，将到达柱面或穿过柱面 跑到外面去，其中 是一个有限的时间。
• 李雅普诺夫直接法判断平衡点的稳定性在于 了一个具有能量的一般性质的标量函数 Wx1, x2......, xn，对于一个动态非线性电路，总可
dt
x dt x
则平衡点是稳定的，如果
-
dW x
dt
是正定函数，则平衡点是渐近稳定
的 。注意：李雅普诺夫直接法判定平衡点是否未定仅是一个充分条件。
因此要给出能确定平衡点 不稳定的定理。
平衡点不稳定定理：设原点是平衡点且在其邻域中存在一个标量函数
W x，当x=0时有W0 0 。若函数
W x 沿着状态方程
•
x
f x的解轨道的
时间导数是 dWx 是正定函数，而且在任意接近平衡点处至少有一点 x1
，使得Wx1 >0,d则t 原点是不稳定平衡点。
例题6.4（课本p165-p167）
谢谢大家！
• 李雅普诺夫直接法是一种不需要对方程进行求解就可以判定平衡点 稳定与否的的定性方法。用李雅普诺夫直接法进行判断所确定的稳定 性称为李雅普诺夫意义下的稳定性。
• 1、适用情形
• 当非线性电路的平衡点是非双曲平衡点，即其对应线性化后的矩阵A 的特征值至少有一个是零实部时，平衡点的稳定性可以采用李雅普诺 夫直接法（Liapunov direct methord）判定。
衡点。研究充电的线性电容通过线性电阻和电感的串联组合进行放电
的电路，其任意时刻的能量函数表示为
W vc,iL 1 Cvc2 1 LiL2
2
2
若以 vc ， iL为两个直角坐标轴 x1 ，x 2，以Wvc,iL为V，画出图形，如
下图示。
V
V V3 V V2 V V1
V V3 V V2 V V1
0
x2
• 2、平衡点按李雅普诺夫意义稳定的定义
•
设描述电路的微分方程为
•
x
f
x，其中
x
是一个列向量，xs
0
是其平衡
点，xt 是偏离平衡点 xs 的任一轨道，而且轨道上的起始点xt0与平衡
点的偏离非常微小，并用 x(t0) xs 代表起始点 xt0 到平衡点的距离。
• 如果对于任意给定的 0 ，存在 0，使得对任何起始点 ，只 x0 xt0
以列出n个动态变量的状态方程。可以设 总储能为 Wx1, x2......, xn 。电路中除了动态元件
外，还会有吸收或发出能量的正负电阻元
件。
在这样的情况下，状态变量空间中
的任一条轨道上点的移动时，相应的能
量函数应是趋于减小或增加的。能量函数趋于减小时，直到到达轨
• 上的一个能量极小点为止。这个能量极小点便是电路的一个稳定的平
V3 V2 V1 x1
x2 V1 V2 V3
0
x1
• 曲面与 V const（等势面）的平面相交的部分是闭曲线。把对应于
V1，V2,V3的闭曲线投影到 x1 -x2 平面上得到三条闭曲线，称为等值
线。电路中的总储能会随着时间的推移不断地减少，最终到达电路的
• 唯一平衡点—原点。
通过以上事实，可以用下述方法来证明一个平衡点是渐近稳定的；若
能找到一个标量函数W，使在所研究的平衡点具有一个局部最小值，
而且随着时间的增加在沿该平衡点附近的所有轨道移动时，W总是减
小的，那么该平衡点就是渐近稳定的。
如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数W x 沿着状态方程
•
x fห้องสมุดไป่ตู้x
的解轨道的时间的导数是非正的，即
dW (x) W (x) dx W (x) f (x) 0
要距离 x0 xs ，且对所有的t都有 xt xs 成立，就称平衡点是按李雅
普诺夫意义稳定的。若还有 limxt xs 成立，则称平衡点是按李雅普诺 t
夫意义渐近稳定的。如果不存在 ，称平衡点为不稳定的。
• 二阶系统稳定的几何意义如图所示，粗黑线代表平衡点位置，始终有
• ， xt 0 曲线x x(x0,t) 为在平衡点邻域内从起始点 x0 出发的轨道。圆柱体
半径 0，在相平面上的投影为圆；若原点是稳定的，则从 内开始的 轨道不会到达圆柱的柱面上，更不会穿过圆柱面；若原点为渐近稳定， 则当t 时，xx0,t 0；若不稳定，则当 t 时，将到达柱面或穿过柱面 跑到外面去，其中 是一个有限的时间。
• 李雅普诺夫直接法判断平衡点的稳定性在于 了一个具有能量的一般性质的标量函数 Wx1, x2......, xn，对于一个动态非线性电路，总可
dt
x dt x
则平衡点是稳定的，如果
-
dW x
dt
是正定函数，则平衡点是渐近稳定
的 。注意：李雅普诺夫直接法判定平衡点是否未定仅是一个充分条件。
因此要给出能确定平衡点 不稳定的定理。
平衡点不稳定定理：设原点是平衡点且在其邻域中存在一个标量函数
W x，当x=0时有W0 0 。若函数
W x 沿着状态方程
•
x
f x的解轨道的
时间导数是 dWx 是正定函数，而且在任意接近平衡点处至少有一点 x1
，使得Wx1 >0,d则t 原点是不稳定平衡点。
例题6.4（课本p165-p167）
谢谢大家！