《机械优化设计》课件

优化问题的分类
3.5 优化问题几何解释
起作用约束 不起作用约束
3.6 优化设计问题建模
例1.把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆 柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个设计变量：圆柱体底 面半径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重 相等。即
没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为 极值点在无穷远处。
多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极 （小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别） 的值，才能确定极（小）值点。
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问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min 则得原问题的数学模型：
某车间生产甲、乙两种产品。
产品 甲
材料重量 （kg） 9
用工 （工时）
3
用电 （kW）
4
利润 （元）
60
乙
4
10
5
120
每天可 供资源
360
300
200
问每天生产甲、乙两种产品各多少件， 才能够获得最大利润。
设每天生产的甲、乙两种产品分别为：x1 、x2，则此问题的数学模型如下：
已知：2F=3*105 N
人字架跨度2B=152cm， 钢管壁厚T=0.25cm，材 料的弹性模量
材料的密度
许用压应力
人字架的受力图
2.2强度、稳定条件
根据以上所述，可以把人字架的优
化设计问题归结为求
，使结构质
量
，但应满足强度约束条件
和稳定约束条件：
每根钢管所受压力和压应力：
由材料力学得两端铰支的压杆失稳的临界力和 相应的应力分别为 ：
绪论
1.4 优化设计运用于各领域 土木工程、水利工程、城市规划、化工系统、电气系统、电 子产品、机械产品…… 优化运用于机械产品的设计，称机械优化设计。
二 人字架的优化设计案例
2.1 问题
如图人字架由两根钢管构成，求在钢管压应力不 超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，人字架的
高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m最小。
优化设计概述
一 优化设计内涵 二 优化设计基本过程——人字架的 优化设计 三 优化设计问题的描述——数学模型
学习时间
房间 布局
采购流程优化
中兴通讯供应链优化
安全 视野
车室
气动
容积
阻力
通过性
…
绪论
1.1 优化
f f(x)
优化就是为了在完成某一任
务时所作的努力最少、付出
最小，而使其收益最大、效
果最好。
当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。
当f(x)是二维时， 获得一族等值线族；
当f(x)是三维时，获 得一族等值面族；
当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
第二章 优化设计的数学基础
等值线的“心” （以二维为例）
一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值 点。
强度约束条件和稳定约束条件可以写成：
2.3 求解 （一）解析法
设计变量： ；两个约束条件。可用解析法求解。
人字架总质量： 假设质量最小时刚好满足强度条件，即：
从而利用等式消元，并将 带入目标函数中，得：
根据极值必要条件：
得
把所得参数代入稳定条件，可以证明：
即
这两个参数是满足强度约束和稳定约束，
且使结构最轻的最佳参数。
等式约束
不等式约束
可行设计点在n维设计空间中约束曲面
的
一侧（包括曲面本身）。
3.3 目标函数
将所有可行设计中能最好地反映该项设计所要追求 的某些特定目标表示成设计变量的数学函数称为目标函 数，记作：
标准形式：优化问题的数学表达式一律采用目标
函数极小化形式。
转化为
分类：单目标函数，多目标函数。
3.4 最优化问题的数学模型
优化问题的数学模型是实际优化问题的数学抽象。在
明确设计变量、约束条件和目标函数之后，优化设计问
题可以表示成一般的数学形式。
求设计变量向量
使
且满足约束条件
或可写成
min f ( X ) f (x1, x2, , xn )
s.t.
gu ( X ) gu (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, m) hk ( X ) hk (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, k)
（二）、作图法
三 优化设计问题的数学模型
三个基本要素 3.1设计变量
在优化设计过程中需要不断进行 修改、调整，一直处于变化状态 的基本设计参数称为设计变量， 又叫优化参数。 设计变量的全体实际上是一组变 量，可用一个列向量表示：
x x1 x2 xn T
称作设计变量向量
由n个设计变量为坐标轴所组成的实空间
习 题1
• 某厂生产一个容积为8000cm3的平 底，无盖的圆柱形容器，要求设 计此容器消耗原材料最少，试写 出这一优化问题的数学模型。
第二章 优化设计的数学基础
一、等值（线）面
对于可计算的函数 f(x)，给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), …,xn (k))， f(x)总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲面， 称为等值面。
称作n维设计Biblioteka Baidu间；
具有n个分量的一个设计向量就对应着n
维设计空间的一个设计点，即代表一个设
计方案；
设计空间是所有设计方案的集合，可用集
合概念表示为
。
设 为第一个设计方案，经过一次设计
修改 ，得到第二个设计方案为：
3.2 约束条件
约束条件：一个可行设计方案必须满足的某些设计限 制条件。
根据约束的性质可区分为两大类：性能约束（针对性能要求提出 的限制条件）和侧面（也称边界）约束（对变量取值范围加以限制 的约束）。 按数学表达形式可分成：等式约束、不等式约束两种类型。
成本最低、 利润最大、 效率最高、 能耗最低、 综合性能最好
f(x*)
0
x*
x
在规定的范围内（或条件下），
寻找给定函数取得的最大值（或最
小值）的条件。
………
绪论
1.2 优化设计 优化设计是使某项设计在规定的各种设计限制条件下，
优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。
1.3 传统设计与优化设计 传统设计：求得 可行解，人工计算。 优化设计：解得 最优解，计算机计算。
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第二章 优化设计的数学基础
等值线的分布规律： 等值线越内层其函数值越小（对于求目标函数的极小化来说） 沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变