利用最小二乘法的曲线拟合PPT课件
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得
Awb
上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 AT ATAw ATb
即
.
13
例题
7
280
11228
280 11228 451360
11228
451360
18188996
aa10 a2
16.63
661.2
26368.2
解得
a0 268.010, a1 13.171, a2 0.163
1
x6
x62
y0
y
y1
y3
w
aa10
a2
.
21
其法方程为 即
例题
ATAwATy
7
0.0
5.6957
0.0 4.3090
0.0
5.6957a0 16.6300
0.0
a1
1.6980
4.8090a2 12.9064
.
22
例题
解出
a0 5.289 , a1 0.394 , a2 3.581
1 43 43 2
2.90
.
11
例题
得到的方程组称为矛盾方程组。令
1 37 372
1
38
382
1 39 392
A 1
40
402
,
1 41 412
1
42
422
1 43 432
a0
w
a1
,
a2
.
3.40 3.00 2.10
b 1.53
1.80 1.90 2.90 12
例题
.
5
偏差
设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记
ei (xi ) yi (i 0,1,2,, n),
并称ei为偏差。
.
6
最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和 最小为标准
n
n
E ei2 w(xi )[(xi ) yi ]2 min
i0
i0
m
(x) a j j (x) j0
于是所求拟合曲线为
p2 (x) 268.010 13.171x 0.163x2
.
14
线性矛盾方程组
方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程 组，一般形式为
a11
x1
a12 x2 a1m xm
b1
an1x1 an2 x2 anm xm bn
即
.
15
线性矛盾方程组（续）
Ax＝b
p2 (x) a0 a1x a2x2
.
9
例题
a 0 37 a 1 37 2 a 2 3.40
a 0 38 a 1 38 2 a 2 3.00
a 0 3 9 a 1 39 2 a 2 2.10
a 0 40 a 1 40 2 a 2 1.53
a 0 41 a 1 41 2 a 2 1.80
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
3
数据图
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
.
4
曲线拟合
已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是 通过观测而得到的，经常带有观测误差。
曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映 结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较 大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函 数(x)与被逼近函数f(x)在区间[a,b]上的偏差满 足其种要求即可。
.
17
线性矛盾方程组（续）
AT Ax AT b 0
AT Ax AT b
(3.13)
该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾
方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。
.
18
例题
例3.2 对例3.2中的数据，试求形如
(x)
a0
a1
sin
5
x
a2
cos
10
x
的拟合函数。
解：按题意，得矛盾方程组，
3.40
3.00
a a a
0 1 2
2.10
1.53
1.80
1.90
1
sin( 42)
cos(
42)
2.90
1
5 sin( 43)
cos(
10
43)
5
. 10
20
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
1
A
1
x0
x1
x02 x12
.
7
例题
例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有 如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲 线y=P(x)。
i 0123 456 x 37 38 39 40 41 42 43 y 3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90
.
8
例题
解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取
a 0 42 a 1 42 2 a 2 1.90
a 0 43 a 1 4.3 2 a 2 2.90
10
例题
1 37 37 2
3.40
1
38
38
2
3.00
1 39
1 40
1
41
1 42
39 40
2 2
a a
0 1
2.10
1.53
41
2
a
2
42 2
1.80 1.90
a0
a1
sin(
5
xi
)
a2
cos(
10
xi
)
yi
.
i 0,1,2,6
19
例题
1
1
sin( 37) 5
sin( 38)
5
1
sin( 39) 5
wenku.baidu.com
1
sin( 40)
5
1
sin( 41) 5
cos( cos( cos( cos( cos(
10
10
10
10
10
37) 38) 39) 40) 41)
1
1.9
2
2.0
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4.0
10
4.0
11
4.5
12
4.6
强度 kg/mm2
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
.
拉伸倍数
5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
（3.11）
A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维
的列向量, b是 n维的列向量,
剩余向量 e b Ax
eT e
e 2 b Ax 2 min
2
2
（3.12）
.
16
线性矛盾方程组（续）
eTe (b Ax)T (b Ax) d (eTe) 2AT (b Ax) 0
dx AT (b Ax) 0
第3章 函数逼近 §3.1 曲线拟合的最小二乘法
.
1
§3.1 曲线拟合的最小二乘法
问题的提出
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应 拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标 纸上标出各点，可以发现什么?
.
2
数据表格
编号 拉伸倍数
Awb
上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 AT ATAw ATb
即
.
13
例题
7
280
11228
280 11228 451360
11228
451360
18188996
aa10 a2
16.63
661.2
26368.2
解得
a0 268.010, a1 13.171, a2 0.163
1
x6
x62
y0
y
y1
y3
w
aa10
a2
.
21
其法方程为 即
例题
ATAwATy
7
0.0
5.6957
0.0 4.3090
0.0
5.6957a0 16.6300
0.0
a1
1.6980
4.8090a2 12.9064
.
22
例题
解出
a0 5.289 , a1 0.394 , a2 3.581
1 43 43 2
2.90
.
11
例题
得到的方程组称为矛盾方程组。令
1 37 372
1
38
382
1 39 392
A 1
40
402
,
1 41 412
1
42
422
1 43 432
a0
w
a1
,
a2
.
3.40 3.00 2.10
b 1.53
1.80 1.90 2.90 12
例题
.
5
偏差
设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记
ei (xi ) yi (i 0,1,2,, n),
并称ei为偏差。
.
6
最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和 最小为标准
n
n
E ei2 w(xi )[(xi ) yi ]2 min
i0
i0
m
(x) a j j (x) j0
于是所求拟合曲线为
p2 (x) 268.010 13.171x 0.163x2
.
14
线性矛盾方程组
方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程 组，一般形式为
a11
x1
a12 x2 a1m xm
b1
an1x1 an2 x2 anm xm bn
即
.
15
线性矛盾方程组（续）
Ax＝b
p2 (x) a0 a1x a2x2
.
9
例题
a 0 37 a 1 37 2 a 2 3.40
a 0 38 a 1 38 2 a 2 3.00
a 0 3 9 a 1 39 2 a 2 2.10
a 0 40 a 1 40 2 a 2 1.53
a 0 41 a 1 41 2 a 2 1.80
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
3
数据图
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
.
4
曲线拟合
已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是 通过观测而得到的，经常带有观测误差。
曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映 结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较 大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函 数(x)与被逼近函数f(x)在区间[a,b]上的偏差满 足其种要求即可。
.
17
线性矛盾方程组（续）
AT Ax AT b 0
AT Ax AT b
(3.13)
该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾
方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。
.
18
例题
例3.2 对例3.2中的数据，试求形如
(x)
a0
a1
sin
5
x
a2
cos
10
x
的拟合函数。
解：按题意，得矛盾方程组，
3.40
3.00
a a a
0 1 2
2.10
1.53
1.80
1.90
1
sin( 42)
cos(
42)
2.90
1
5 sin( 43)
cos(
10
43)
5
. 10
20
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
1
A
1
x0
x1
x02 x12
.
7
例题
例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有 如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲 线y=P(x)。
i 0123 456 x 37 38 39 40 41 42 43 y 3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90
.
8
例题
解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取
a 0 42 a 1 42 2 a 2 1.90
a 0 43 a 1 4.3 2 a 2 2.90
10
例题
1 37 37 2
3.40
1
38
38
2
3.00
1 39
1 40
1
41
1 42
39 40
2 2
a a
0 1
2.10
1.53
41
2
a
2
42 2
1.80 1.90
a0
a1
sin(
5
xi
)
a2
cos(
10
xi
)
yi
.
i 0,1,2,6
19
例题
1
1
sin( 37) 5
sin( 38)
5
1
sin( 39) 5
wenku.baidu.com
1
sin( 40)
5
1
sin( 41) 5
cos( cos( cos( cos( cos(
10
10
10
10
10
37) 38) 39) 40) 41)
1
1.9
2
2.0
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4.0
10
4.0
11
4.5
12
4.6
强度 kg/mm2
1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
编号
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
.
拉伸倍数
5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0
（3.11）
A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维
的列向量, b是 n维的列向量,
剩余向量 e b Ax
eT e
e 2 b Ax 2 min
2
2
（3.12）
.
16
线性矛盾方程组（续）
eTe (b Ax)T (b Ax) d (eTe) 2AT (b Ax) 0
dx AT (b Ax) 0
第3章 函数逼近 §3.1 曲线拟合的最小二乘法
.
1
§3.1 曲线拟合的最小二乘法
问题的提出
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应 拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标 纸上标出各点，可以发现什么?
.
2
数据表格
编号 拉伸倍数