第四章 杆件的变形计算

0
例4-4 等直悬臂梁受均布载荷如图所示，试建立该梁 的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。
y
A EI x q
解 （1）弯矩方程 q 2 M ( x ) (l x ) 2 （2）列挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) q 2 (l x ) 2
q 2
TA=120Nm TB=200Nm TC=80Nm AB段 BC段
M x1 120 N m
M x 2 80N m
A
B
C
0.3m
0.3m
（2）变形分析
AB
M x1 l AB GI p 120 0.3 80 10
9

32
rad 1.12 10 3 rad
max 2

0.0263rad/ m 1.5 /m
TB
A
TC B
TA C
0.4m
0.4m
已知: n = 200r/min， PA = 60 kW， PB = 150kW， PC = 90kW， G=200GPa, dAB=0.06m， dBC= 0.04m。 试求: (1)轴两端截面相对转角 (2)最大单位长度扭转角
2l Fb
x1 C1
2
EIw1
Fb 6l
x13 C1 x1 D1
l Fb 2l Fb 6l
x2 F ( x2 a )
2
a x2 l
x2 x2
3
F 2 F 6
( x2 a ) 2 C 2 ( x 2 a ) 3 C 2 x 2 D2
（3）确定积分常数。
y
f (x)
C’ C x
θ
w x F
A
挠曲线与转角之间近似有 dy 挠曲线的斜率近似等 w' tan 于截面的转角 dx 符号规定：挠度：向上为正，向下为负。转角：截面 法线与轴夹角逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐 标系中挠曲线具有正斜率时转角为正。
二、 挠曲线近似微分方程 在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩 之间关系为 1 M 1 M ( x) EI z EI z 横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对 梁的变形影响可以忽略不计
y
a EI
F b
b l
Fb l
F
x1
FB
a l
F
A
FA
B C
x
0 x1 a
a x2 l
x1
x2 l
FB
M2
Fb l
x2 F ( x2 a )
（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。
EIw1' ' Fb l x1
0 x1 a
EI 1
Fb
EIw 2 ' ' EI 2 EIw 2
ql 4 24 D0
ql 3 6 C 0
分别代入前面的式子得
C ql 3 6
q 6 EI q 24 EI
D
ql 4 24
ql 3 6 EI ql 3 6 EI x ql 4 24 EI qx 2 24 EI ( x 2 6l 2 4lx )
（5）列出转角方程和挠曲线方程
由微分学可知，
1
( x)
当梁小变形时 可得

w '' (1 w '2 ) 3/ 2
(1 w 2 ) 3 / 2 1
1 / ( x ) w' '
w '' M ( x) EI z
代入前面的式子，得
按弯矩的符号规定，当M>0时，梁的上部受压，下部受拉， 挠曲线上凹，由微分学知，在图示坐标下，w”为正；当M<0， 梁下部受压，上部受拉，挠曲线下凹，w”为负 . 可去掉±号。
l1
l2
FNAB l AB EA1
FNBC l BC EA2


40 10 3 0.4 200 10 9 8 10 4
20 10 3 0.4 200 10 9 2.4 10 4
m 1 10 4 m 0.1mm
m 1.67 10 4 m 0.167mm
例4-1 阶梯形直杆受力如图所示，已知该杆AB段横截 面面积A1=800mm2，BC段, A2=240mm2，杆件材料的 弹性模量E=200GPa。试求该杆总变形量。 解 （1）求AB、BC段轴力 60kN FNAB= 40kN（拉） 40kN 20kN FNBC= -20kN（压） A B C 0.4m 0.4m （2）求AB、BC段伸长量
0.045 4
BC
M x 2 l BC GI p

80 0.4 80 10
9

32
rad 9.9412 10 4 rad
0.045 4
AC AB BC ( 1.12 10 3 9.94 10 4 ) rad 1.26 10 4 rad
第三节 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程
一、 梁的变形 当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿轴方向的 直线变成一条在平面内的连续、光滑的曲线，该曲线称 为梁的挠曲线。 横截面形心沿竖向位移w，称为该截面的挠度; 而截面法向方向与轴的夹角θ 称为该截面的转角。 截面形心C点的竖向位移w,一般可表为x的函数， 这一关系式称为挠曲线方程
第四章 杆件的变形计算
第一节 拉（压）杆的轴向变形
F
l l1
F
b b1
l l1 l

l
l

FN A
E
l l
FN l EA
EA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度
b b1 b
泊松比
' b / b
'
'
G
E 2( 1 )
EI z w ( M ( x ) dx ) dx Cx D
y A
q x
w0
y A a
F b
B
x1 0, x 2 l
x
w1 w2 0 x1 a , x 2 a w1 w2 , 1 2
x0
若a b l / 2 x l / 2, 0
TB
TC
TA C 0.5m 6.7kNm
TD A 0.5m
B 0.4m
4.3kNm B + C
D
+
A 2.9kNm
D
解: 1.求外力扭矩; 2.求内力扭矩, 画内力图; 3.各段变形及总变形； 4.求最大单位长度扭转角。
已知: n = 200r/min， PA = 200 kW， PB = 90kW， 练习 PC = 50kW， PD =60kW, G=200GPa, dAC=0.06m， dBC= dAD =0.04m。 试求: (1)轴两端截面相对转角 (2)最大单位长度扭转角

w (l x ) 3 (l x )
4
（6） 求自由端挠度和转角
wB ql 4 8 EI
B
ql 3 6 EI
例4-5 一简支梁上点C处作用力F，设EI为常数。试建 立转角方程和挠曲线方程，并求梁内最大挠度及转角。
解 （1）求支反力和列弯矩方程。
FA
M1
（3）AC杆总伸长 l l1 l2 (0.1 0.167)mm 0.067mm
图示桁架，钢杆AC横截面面积A1=960mm2 ， 弹性模量E=200GPa 。木杆BC横截面A2=25000mm2 ， 杨氏模量E=10GPa 。求铰节点C的位移。 解（1）求AC、CB两杆的轴力。
max 1
M xBC GI p M xCA GI p 4 .297 10 3 200 10 9 0 .04 4 / 32 6 .68 10 3 200 10 9 0 .06 4 / 32
0.0855rad/ m 4.9 /m
max 4.9 /m
解 答
BC

M BC BC GI P M CA CA GI P M AD AD GI P

4 .3 10 3 0 .4 200 10 9 0 .04 4 / 32 6 .68 10 3 0 .5 200 10 9 0 .06 4 / 32 2 .86 10 3 0 .5 200 10 9 0 .04 4 / 32
3 .42 10 2 rad 1 .31 10 2 rad 2 .84 10 2 rad
CA AD

BD BC CA AD (3 .42 1 .31 - 2.84) 10 2 1 .89 10 2 rad
l AC
FNAC l AC E1 A1

80 10 3 1 / cos 30 200 10 9.6 10
9 4
m
A 拉杆 F=40kN 压杆 30 1m C2
4.81 10 4 m
l BC
FNBC l BC E 2 A2

40 3 10 3 1 10 10 250 10
FNBC FNAC cos 30 o 0 FNAC sin 30 o F 0
FNAC 80 kN( 拉 ) FNBC 40 3kN( 压 )
FAC FBC B A 拉杆 F=40kN 压杆 30 1m C2 C C1 C3 F=40kN
例4-2
（2）求AC、BC两杆的变形。
d Mx GI p dx

d dx

Mx GI p
上式称为单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小， 其单位是rad/m。
当GIP越大，则θ越小，故称GIP为圆轴的抗扭刚度。
两端相对扭转角

l Mx 0 dx GI p
当Mx/GIP为常量时，上式为

M xl GI p
例4-3 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变 模量G=80GPa ，轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间 相对扭转角, 最大单位长度扭转角。 解 （1）内力分析
w ''
M ( x) EI z
梁的挠曲线近似微分方程
第四节 用积分法求梁的弯曲变形
w '' M ( x) EI z
将上式梁的挠曲线近似微分方程积分 一次，就得到转角方程，再积分一次 得到挠曲线方程。对等直梁，EIZ为常 量，有 积分常数C、D ，可由 梁的边界条件来确定
EI z EI z w ' M ( x ) dx C
9 4
B
m
C C1
2.77 10 4 m
C3
C2 C
l BC
l AC
（3）求C点位移。
cx l BC 2.77 10 4 m
cy l AC / sin 30 l BC cot30
o o
C1
Cy
30
14.4 10 4 m
CC3 cx cy
w1
x1 0
w2
2
x2 l
0
D1 D 2 0
C1 C 2 bF 6l (b2 l 2 )
1
w1
x1 a
x2 a
x1 a
w2
x2 a
（4）列转角方程和挠曲线方程。
EI 1 EIw1 EI 2 Fb 6l Fb 6l Fb ( 3 x1 b l )
max
M x max GI p

120
80 10 0.045 4 32
9
3.726 10 3 rad/m 0.213 /m
当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为

M xl G hb
3

M xl
GI p G hb 3为轴的抗扭强度
GI p 为与比值h/b有关的系数，可
（3）积分
EI EIw '
(l x) dx C
2
q 6
(l x ) 3 C
EIw
q 6
(l x ) Cx D
q 24
(l x ) 4 Cx D
（4）确定积分常数
由边界条件，当 x=0， A 0 w A 0
2
2
C3
Cx
1.47 10 3 m 1.47mm
练 习
已知拉杆CD: l=2m，d=40mm，E=200GPa AB为刚性梁，求B点位移。
D C A 1m 1m F=40kN B
第二节 圆轴的扭转变形与相对扭转角
在圆轴扭转时，各横截面绕轴线作相对转动，相距 为dx的两个相邻截面间有相对转角dφ