第4章连续系统按环节离散化的数字仿真
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计算机仿真技术与CAD——基于MATLAB的控制系统(第2版)[李国勇]第4章连续系统按环节离散化的数字仿真
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u(kT 1)T
) ]
u[(k T
1)T ] (k
(t T
k t
T) (k
1)T
(4-5)
)
当t=(k+1)T时
uh[(k 1)T ] u(kT)
u[(k
1)T ]
u(kT)
u[(k T
1)T ]
(4-6)
13
今对典型环节中系数a,b,c,d的不同情况，求离散
状态变量式输出量的解。
1．当a≠0,b=0(相应有比例、微分和比例微分等环节) 时，由式（4-4）可得
A a 0, B c
b
b
（4-13）
代入式（4-10）后可得
z[(k 1)] z(kT) cT u(kT) cT u[(k 1)T ]
2b
2b
同样由式（4-8）和式（4-6）两式可得
x[(k 1)T ] z[(k 1)T ] d u(kT) （4-14）
b
17
今将以上三种情况下的典型环节的仿真模 型归纳为一个统一公式
2
4.1 连续系统的离散化
设连续系统的状态空间表达式为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t
)
Cx(t)
Du(t)
其状态方程的解为
(4-1)
t
x(t) e At x(0) e A(t ) Bu ( )d
0
3
对于kT及（k＋1）T两个相邻的采样时 刻，状态变量的值分别为
kT
x(kT) e A(kT ) x(0) e A(kT ) Bu ( )d
if (u>u1)
if ((u-s)>=x1) x=u-s;else x=x1;end
连续系统的数字仿真
第4章 连续系统的数字仿真——数值积分法上一章从仿真原理方面讨论了连续系统的仿真方法。
本章将从构造积分器的角度再对仿真方法做进一步的讨论。
4.1 欧拉法数值积分法是把微分方程化成积分运算，再进一步化成代数运算的过程，主要解决如何构造一个积分器，然后求出积分器的差分方程的问题。
有了积分器就能很容易地对系统进行仿真了。
数值积分法最初是从数值计算[56]的角度得到的。
但是为了和第3章所讨论的方法统一起来，我们用插入离散再现环节的方法，以状态空间描述为基础，推出线性系统数值积分法的仿真模型[9]。
仍假设线性系统的状态空间描述为BU AX X += （4-1） DU CX Y += （4-2）式中 X ——1⨯n 维状态向量；U ——1⨯r 维输入向量； A ——n n ⨯维系统矩阵； B ——r n ⨯维输入矩阵； Y ——1⨯m 维输出向量； C ——m n ⨯维输出矩阵； D ——m r ⨯维传递矩阵。
此系统的方框图如图4.1所示。
在系统积分器入口e 处加入离散再现环节，则可得到连续系统的另一离散相似系统，如图4.1所示图4.1 线性定常系统的另一种离散相似系统框图 从图4.1中，可得到⎰+=thdt t eX t X 0)()0()( （4-3）当 KT t = 时，⎰+=kTh dt t e X kT X 0)()0()( （4-4）当 T K t )1(+= 时，⎰++=+Tk h dt t e X T k X )1(0)()0(])1[( （4-5）用式（4-5）减式（4-4）可得到⎰++=+Tk kTh dt t e kT X T k X )1()()(])1[((4-6)当取1)(,1)(=-=-s c se s H sT时，即 )(kT e e h = T k t kT )1(+≤≤ （4-7）把式（4-7）代入式（4-6）得)()(])1[(kT Te kT X T k X +=+简记为 )()()1(k Te k X k X +=+ （4-8）式（4-8）被称为欧拉公式。
控制系统仿真及MATLAB语言--第四章 连续系统的离散化方法
t2 0.2, y2 y1 1 0.1y1 0.9 0.91 0.819 t10 1.0, y10 y9 1 0.1y9 0.4628
t3 0.3, y3 y2 1 0.1y2 0.8191 0.1 0.819 0.7519
状态方程的四阶龙格-库塔公式如下：
h xk +1 xk (K 1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 K 1 Axk Bu (tk ) K 2 A(xk h K 1 ) Bu (tk h ) 2 2 K A (x h K ) Bu (t h ) k 2 k 3 2 2 K A(x hK ) Bu (t h) k 3 k 4 y k +1 Cxk +1
41常微分方程的数值解法数值求解的基本概念设微分方程为则求解方程中函数xt问题的常微分方程初值问题所谓数值求解就是要在时间区间ab中取若干离散点求出微分方程在这些时刻的近似值这种方法的几何意义就是把ftx在区间tk1内的曲边面积用矩形面积近似代替
第四章 连续系统的离散化方法
4.1
常微分方程的数值解法
h xk 1 xk h f k ( ftk ' f xk ' f k ) 2!
f 'tk f 'xk 等各阶导数不易计算，用下式中 ki的线性组合代替
xk 1 xk h ai ki
i 1
r
线性组合
r为精度阶次，ai为待定系数，由精度确定；ki用下 式表示 i 1
ki f (tk b1h, xk hb2 k j ) , i 2,3
将 f tk b1h,xk hb2k1 在点 tk , xk 展成Taylor级数
4.离散事件仿真
计算机仿真技
接受服务的顾客 服务员
顾客离开
临时实体
排队活动
永久实体
接受服务活动
顾客到达事件
顾客开始接受 服务事件
顾客服务完毕 离去
4. 进程(Process)
顾客超市结帐服务进 程
进程是由若干个事件和若干个活动组成，它描述了事件及活动之 间的相互逻辑关系及时序关系。
排队论方法 网络图或事件图法
形式语言与自动机法 随机过程描述法（如Markov过程和CSMP过程） 抽象代数法（如双子代数、极小代数、极大代数）
计算机仿真技术基础 15
离散事件建模的步骤
1. 明确仿真目的 建模之前，必须根据仿真目的，确定所需要获取的某一事 件或系统的信息、模型类型、资料及数据。目的不同，所 建立的模型也不同，衡量仿真结果的逼真性准则也就不同。 甚至对某一仿真目的，模型是有效的，而对另一仿真目的， 模型可能就是无效的。 比如，[例4.2]中的船闸运行系统中，如果仿真目的是了解 船闸服务时间长短对船闸利用率的影响，这种情况属于排 队论模型。如果还要分析闸门的开关控制和动力学特性， 以及注水放水过程特性，系统应视为连续-离散混合型系统。
对于离散事件构成的离散事件系统或连续-离散混合系统的研究， 逐渐成为仿真技术应用的一个重要分支领域。
计算机仿真技术基础 5
4.1.1 离散事件系统的基本要素
离散事件系统的一些基本要素包括：实体、活动、事件等. 以超市购物系统为例：
[例4.1] 华联超市济南大学分店，共有10个服务台供顾客结帐， 营业时间为9：00 – 21：00，顾客选购完商品到服务台结帐的 时间是随机的，而且各自独立，每位顾客接受服务的时间长短 也是随机的。描述该系统的状态，可以是：
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续系统的数字仿真.
第四章 连续系统的数字仿真连续系统是最常见的系统，它的仿真方法是系统仿真技术中最基本、最常用和最成熟的。
进行数字仿真首先要建立被仿真系统的数学模型，并将此模型转换成计算机可接受的、与原模型等价的仿真模型，然后编制仿真程序，使模型在计算机上运转。
如何将连续系统的数学模型转换成计算机可接受的等价仿真模型，采用何种方法在计算机上解此模型，这是连续系统数字仿真算法要解决的问题。
本章介绍了连续系统数字仿真常用的数值积分法和离散相似法。
4.1 连续系统仿真的数值积分法4.1.1 数值积分法原理考察一阶微分方程，形如0)( , ))(,()(y t y b t a t y t f t y =≤≤= （4.1） 设式（4.1）的解)(t y 在区间],[b a 上是连续变化的。
我们将区间],[b a 分成若干个小区间，时间间隔为h ，在一个区间],[1+=k k t t t 内积分，则有⎰++=+11),(k k t t k k dt y t f y y （4.2）在],[b a t ∈，对应于每个离散时间点k ，均可求出对应的k y ，并将这些离散的),2 ,1( =k y k 作为解)(t y 的在离散点上的近似值，如图4.1所示。
式（4.2）中的积分项很难求得。
但由于泰勒公式，存在,2 ,1 ,0 ! 31! 21321=+'''+''+'+=+k h y h y h y y y k k k k k（4.3） 式中，h 为积分步长。
图4.1 数值积分计算示意图这是一个递推公式，借助计算机按一定算法可以依次求出 ,,21y y 各点的值。
当h 足够时，这些点的y 值可作为方程（4.1）的近似解，由式（4.2）我们可以引出多种数值积分方法。
以下介绍几种常用的数值积分法。
1．欧拉（Euler ）法已知一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy （4.4） 式（4.3）右边取两项，则hy t f y y hy t f y y h y t f y h y y y k k k k y y t t ),( ),(),(111120000100+=+=+=+=+==（4.5）很明显，由上式可以求出各点的k y 值。
计算机与CAD仿真第4章连续系统按环节离散化的数字仿真
xk 1 Gxk Hu k uk yk 1 c x d uk 1
a T b Ge T a a (T ) c T c d (1 e b ) H e b b a 0 T a a (T ) c T c d 2 (aT b be b ) e b b a 0 ad c 1 cb d d b
表4-2 非线性环节标志
标 志 FZ=0
FZ=1 FZ=2
说 明 典型环节前后均无非线性环节
典型环节前有饱和非线性环节，应修正其输入u 典型环节前有死区非线性环节，应修正其输入u
FZ=3
FZ=4 FZ=5
典型环节前有滞环非线性环节，应修正其输入u 典型环节前有继电器非线性环节，应修正其输 入u 典型环节后有饱和非线性环节，应修正其输出x 典型环节后有死区非线性环节，应修正其输出x
sX(s) X(0) AX(s) BU(s)
或者：
( sI A) X( s) X(0) BU( s)
sI A1
1
上式两边左乘
，可得
1
X(s) (sI A) X(0) (sI A) BU(s)
令： L1[(sI A) 1 ] Φ(t ) ，称为系统状态转移矩阵。
x[(k 1)T ] Gx(kT ) Hu (kT ) u(kT )
G e AT
T
式中：
H
e A(T t ) Bdt
0
T
te A(T t ) Bdt
0
2. 关于离散相似法的几点说明及结论
1. 它是一个递推算法（但不是数值积分法）。
2.G, H ,
[工学]第四章 面向结构图的数字仿真法精品资料
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(4.1.2)
根据(2.4.9)式可得
(T ) e At 1
u
a0
x
1y sx
m (T )
T e A(T t) Bd
0
T
0a0d a0T
ˆm (T )
T e A(T t) Bd
0
T
Bd
0
a0T 2
图4.1.1 积分环节结构图
三、仿真算例及分析
用该程序求某四阶系统（结构图见图4.2.3）在阶 跃函数作用下的过渡过程。
y0
u1 s b1 y1 u2 1 y2 u3 a3 y3 u4 a4
y4
s a1
s
s a3
s a4
图4.2.3 四阶系统结构图
首先，确定典型环节类型和环节编号，本例从左到 右顺序排号 ，第一块类型号 H (1) 3，第二块类型 号H(2) 0，第三块类型号 H(3) 2，第四块类型号H(4) 2 根据图4.2.3所示可写出连接矩阵为
递函数，则很容易将其离散化，各个环节的输入―输
出关系为
u1 1
u2
0
u3 0
u4
0
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 0 0
0
1
0
0
y0
y1
y2
y3
y4
(4.2.3)
U WY
(4.2.4)
4.2 结构图离散相似法仿真
由前述可知，对于H (I )
=0和H (I )=1两种典型环 节，计算状态变量的公
钱雪军-第4章 连续系统仿真——离散相似法2
◆本章将从连续系统离散化的角度出发，建立连续系统模型的等价离散化
模型，并用采样系统的理论和方法介绍另一种常用的仿真算法。这种算法 使得连续系统在进行（虚拟的）离散化处理后仍保持与原系统“相似”，故 称之为离散相似算法。
◆与数值积分算法相比，离散相似算法的每步计算量要小得多，允许采
用较大的计算步长。然而，它通常只适合线性定常系统的仿真，具有一 定的局限性。
U(s) s
系统微分方程为 dy(t) = u(t)
dt
将一阶导数用一阶前向差分近似 dy(t) = y[(k +1)T ] − y(kT ) = u(kT )
dt t=kT
T
或写成 y(k +1) − y(k) = Tu(k)
∫ 用积分:
(k +1)T
y[(k +1)T ] − y(kT ) =
u(t)dt ≈ Tu(kT )
T z = 1+ sT = 1+ σT + jωT , z 2 = (1+ σT )2 + (ωT )2
对于z平面上的单位圆（及稳定域）有 z 2 = 1 ，故
(1+ σT )2 + (ωT )2 = 1 jω [s]
(σ + 1 )2 + ω 2 = ( 1 )2
T
T
jω
[z]
−2
−1
0σ
T
T
−1
(4 + 0.4T + T 2 ) y(k + 2) + (2T 2 − 8) y(k +1) + (4 − 0.4 + T 2T ) y(k) = T 2u(k + 2) + 2T 2u(k +1) + T 2u(k)
连续系统与离散事件系统仿真
论)
一、连续系统模型与离散系统模型
z 连续系统——系统状态变化在时间上是连 续的，可以用方程式（常微分方程、偏微 分方程、差分方程）描述系统模型。
z 离散系统——系统的状态只是在离散时间 点上发生变化，而这些离散时间点一般是 不确定的。
二、连续系统模型描述
连续系统仿真中的数学模型有三类：
1）连续时间模型： 通常可用以下几种方式表示：常微分方 程、传递函数、权函数和状态空间描述。
快速性：仿真速度
每一步计算所需要的时间决定了仿真速度。
若第k步计算对应的系统时间间隔为hk，计算 机由y(tk)计算y(tk+1)需要的时间为Tk， 则
Tk = hk为实时仿真， Tk < hk 为超实时仿真， Tk >hk为离线仿真。
z 连续系统数字仿真的离散化方法有两类
数值积分方法：微分方程已知初值求解 离散相似方法：求连续系统的等价离散模型
理想的信号重构器
要完全恢复连续信号，理想信号重构器频 率特性如图：
T -ωs/2 0 ωs/2 ω 实际的信号重构器：零阶(一阶)信号重构器
第二章 离散事件系统仿真
1.2.1 离散事件系统仿真概述
一、离散事件系统 系统中的状态只是在离散时间点上发生变
化，而且这些离散时间点一般是不确定 的。
如理发馆系统、订票系统、库存系统、交通 控制系统等。
5
离散事件系统示例
例 单人理发馆系统, 设上午9:00开 门, 下午5:00关门
z 顾客到达时间一般是随机的, 为每个顾 客服务的时间长度也是随机的。
z 系统的状态：服务台的状态(忙或闲)、 顾客排队等待的队长。
z 状态量的变化也只能在离散的随机时间 点上发生。
一、连续系统模型与离散系统模型
z 连续系统——系统状态变化在时间上是连 续的，可以用方程式（常微分方程、偏微 分方程、差分方程）描述系统模型。
z 离散系统——系统的状态只是在离散时间 点上发生变化，而这些离散时间点一般是 不确定的。
二、连续系统模型描述
连续系统仿真中的数学模型有三类：
1）连续时间模型： 通常可用以下几种方式表示：常微分方 程、传递函数、权函数和状态空间描述。
快速性：仿真速度
每一步计算所需要的时间决定了仿真速度。
若第k步计算对应的系统时间间隔为hk，计算 机由y(tk)计算y(tk+1)需要的时间为Tk， 则
Tk = hk为实时仿真， Tk < hk 为超实时仿真， Tk >hk为离线仿真。
z 连续系统数字仿真的离散化方法有两类
数值积分方法：微分方程已知初值求解 离散相似方法：求连续系统的等价离散模型
理想的信号重构器
要完全恢复连续信号，理想信号重构器频 率特性如图：
T -ωs/2 0 ωs/2 ω 实际的信号重构器：零阶(一阶)信号重构器
第二章 离散事件系统仿真
1.2.1 离散事件系统仿真概述
一、离散事件系统 系统中的状态只是在离散时间点上发生变
化，而且这些离散时间点一般是不确定 的。
如理发馆系统、订票系统、库存系统、交通 控制系统等。
5
离散事件系统示例
例 单人理发馆系统, 设上午9:00开 门, 下午5:00关门
z 顾客到达时间一般是随机的, 为每个顾 客服务的时间长度也是随机的。
z 系统的状态：服务台的状态(忙或闲)、 顾客排队等待的队长。
z 状态量的变化也只能在离散的随机时间 点上发生。
连续系统离散化
连续系统的数字仿真
离散相似法
连续系统的离散化
首先要得到一个与被仿真系统等价的离散 模型。这个模型可以通过对连续系统的离 散化过程来获得。它分成以下五步：
① 首先对输入信号u(t)进行采样，即在输入 端加一个采样开关S1，其采样周期为T。
② 连续变化的信号u(t)经过采样开关后，变 成了一个离散信号u(kT)。为保证模型的等 价性，首先要求信号等价，因此它不能直 接进入原来的连续系统，而必须加上一只 信号重构器，它使信号u(k)重新变成一个 连续信号uh(t)， uh(t)u(t)。
环节2是一阶惯性环节，其传递函数为
X (s) k0 k0 T1 U (s) T1s 1 s 1 T1 x(k 1) eT T1 x(k ) k0 (1 eT T1 )u(k )
连续系统按结构图的离散相似法仿真
环节3也是一阶惯性环节，其传递函数为
Y (s) 1 1 T2 X (s) T2s 1 s 1 T2
对上式进行拉氏反变换，求得方程的解为
t
X (t) (t) X (0) 0 (t )BU ( )d
时域解法求取离散系统差分方程
(t) L1 (sI A)1
X (t) eAt X (0) t eA(t )ΒU ( )d 0 t
X (t) (t)X (0) 0 (t )BU ( )d
采用一阶保持器描述系统的差分方程
x(k 1)T (T )x(kT) m (T ) n (T )u(kT) n (T )u(k 1)T
e(k 1) R(k 1) y(k 1)
e(k) R(k) y(k)
x1(k
1)
x1(k
)
3 4
Te(k
)
1 4
Te(k
离散相似法
连续系统的离散化
首先要得到一个与被仿真系统等价的离散 模型。这个模型可以通过对连续系统的离 散化过程来获得。它分成以下五步：
① 首先对输入信号u(t)进行采样，即在输入 端加一个采样开关S1，其采样周期为T。
② 连续变化的信号u(t)经过采样开关后，变 成了一个离散信号u(kT)。为保证模型的等 价性，首先要求信号等价，因此它不能直 接进入原来的连续系统，而必须加上一只 信号重构器，它使信号u(k)重新变成一个 连续信号uh(t)， uh(t)u(t)。
环节2是一阶惯性环节，其传递函数为
X (s) k0 k0 T1 U (s) T1s 1 s 1 T1 x(k 1) eT T1 x(k ) k0 (1 eT T1 )u(k )
连续系统按结构图的离散相似法仿真
环节3也是一阶惯性环节，其传递函数为
Y (s) 1 1 T2 X (s) T2s 1 s 1 T2
对上式进行拉氏反变换，求得方程的解为
t
X (t) (t) X (0) 0 (t )BU ( )d
时域解法求取离散系统差分方程
(t) L1 (sI A)1
X (t) eAt X (0) t eA(t )ΒU ( )d 0 t
X (t) (t)X (0) 0 (t )BU ( )d
采用一阶保持器描述系统的差分方程
x(k 1)T (T )x(kT) m (T ) n (T )u(kT) n (T )u(k 1)T
e(k 1) R(k 1) y(k 1)
e(k) R(k) y(k)
x1(k
1)
x1(k
)
3 4
Te(k
)
1 4
Te(k
计算机控制系统第4章计算机控制系统的离散化设计方法
由上述分析可知，产生振铃现象的原因是数字控制器u(k)在 Z平面上z=-1附近有极点或G(z)在Z平面上z=-1附近有零点。 当z=-1时，振铃现象最严重，在单位圆内离z=-1越远，振铃 现象越弱。
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2.振铃幅度RA
用振铃幅度RA来衡量振铃强弱的程度。
它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器D(z)的第0次输
e() lim e(k) lim (1 z 1)E(z)
k
z1
e (z)
E(z) R(z)
1
(z)
1
1 D(z)G(z)
一般控制系统有三种典型输入形式：
（1）单位阶跃输入：
R(
z)
1
1 z
1
（2）单位速度输入：
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（3）单位加速度输入：
R(z)
T
2 z1(1 z1) 2(1 z1)3
27
三、 Dahlin算法的设计步骤
(1)确定闭环系统的T0和振铃幅度RA指标； (2)确定RA与T的关系，尽量选择较大的T； (3)确定N=τ/T； (4)求G(z)和φ (z)； (5) 求D(z)。
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本章内容结束
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D(z) (z) G(z)[1 (z)]
将Φ(z)代入上式，便得到Dahlin控制器D(z)的基本形式
z (N1) (1 eT T0 ) D(z) G(z)[1 z 1eT T0 z (N1) (1 eT T0 )]
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2.振铃幅度RA
用振铃幅度RA来衡量振铃强弱的程度。
它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器D(z)的第0次输
e() lim e(k) lim (1 z 1)E(z)
k
z1
e (z)
E(z) R(z)
1
(z)
1
1 D(z)G(z)
一般控制系统有三种典型输入形式：
（1）单位阶跃输入：
R(
z)
1
1 z
1
（2）单位速度输入：
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（3）单位加速度输入：
R(z)
T
2 z1(1 z1) 2(1 z1)3
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三、 Dahlin算法的设计步骤
(1)确定闭环系统的T0和振铃幅度RA指标； (2)确定RA与T的关系，尽量选择较大的T； (3)确定N=τ/T； (4)求G(z)和φ (z)； (5) 求D(z)。
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D(z) (z) G(z)[1 (z)]
将Φ(z)代入上式，便得到Dahlin控制器D(z)的基本形式
z (N1) (1 eT T0 ) D(z) G(z)[1 z 1eT T0 z (N1) (1 eT T0 )]
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1．
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2．
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第4章 连续系统按环节离散化的数字仿真
数值积分法与离散相似法的对比
数值积分法：对已知初值的微分方程求数值解
计算公式的右端由两部分组成。一部分是上一步计算 的结果yk，后一部分是步长h乘上各点斜率f的加权 平均值（如RK-4）。 每计算一步，各点斜率都要计算一次，计算量大
离散相似法：通过加入虚拟的采样开关和保持器，
将系统的数学模型离散化，采样周期T选定，离散 化模型可以根据公式一次性确定。非常适用于线性 定常系统的离散化
0
0
4.3 非线性系统的数字仿真方法
四种非线性环节特性及MATLAB表示，假定
线性部分斜率为1 1、饱和非线性环节 function x=saturation(u,s)
x
if (abs(u)>=s)
if (u>0) x=s ;
-S S u
else
end else end
x=-s ;
x=u ;
2、死区非线性环节
%根据仿真模型求解 for j=1 : Tf/T u1=u; u=W*x+W0*R; ％求各典型环节输入 for i=1 : n z(i)=E(i)*z(i)+F(i)*u(i)+G(i)*u1(i); x(i)=H(i)*z(i)+L(i)*u(i)+Q(i)*u1(i); ％求各环节输出 end y=[y;Wc*x]; t=[t;t(j)+T]; end plot(t,y)
T (10 ~ 50 ) c
或T
r
或T
s
10
40
离散相似模型的精度分析
保持器的影响
零阶保持器可无失真地重构阶跃信号 一阶保持器可无失真地重构斜坡信号 但与理想保持器特性有差别
钱雪军-第4章 连续系统仿真——离散相似法2
4.2.2 保持器
系统辨识与仿真
通过保持器对采样后输入信号的重构，通常可采用三种类型的保持器。
◨ 零阶保持器
◨ 一阶保持器
◨ 三角保持器
▶三种保持器比较：零阶保持器最简单，但重构信号的误差较大； 三角保持器最复杂，恢复信号的失真最小。
▶常用的还是零阶或一阶保持器，特别是零阶。
零阶保持器
u(t)
t0
u(t)
u*(t)
保持器
T
uk(t) x(t) = Ax(t) + Bu(t) x(t)
x*(t)
T
图4.2 状态空间模型离散化原理结构图
4.2.1 采样定理
系统辨识与仿真
采样频率ωs大于或等于两倍的采样器输入连续信号e(t)频谱 中的最高频率ωmax。即ωs>=2ωmax，这就是香农采样定理。
抽样频率小于模拟信号最好频率的2倍会造成频谱混叠 。
比较G(z)与G(s)，可以得到置换关系 s ≈ 2 ( z −1) T (z +1)
映射关系
系统辨识与仿真
1+ Ts
考虑到
z
≈
1
−
2 Ts
将 s = σ + jω 代入上式，可得
2
1+ Ts 1+ T (σ + jω) 1+ T σ + j T ω
(1+ T σ )2 + (T ω)2
z
≈
2 1− Ts
◆为了使输入信号u(t)离散化后仍能保持原来的变化规律， 在输入采样开关后设置信号保持器（亦称为信号重构器）， 复现原输入信号u(t)，其结构如图4.1。
u(t)
u*(t) 保持器
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u (kT ) u[( k 1)T ] uh (t ) u[( k 1)T ] (t kT ) T (4-5) u (kT ) u[( k 1)T ] u h (t ) (kT t (k 1)T ) T
当t=(k+1)T时
T
d x[( k 1)T ] z[( k 1)T ] u (kT ) b
（ 4-11 ）
16
3．若a =0,b≠0时，由式（4-4）得 c d (t ) u (t ) u (t ) x b b 将 a c A 0, B b b 代入式（4-10）后可得
20
1. 饱和非线性特性 图4-2所示饱和非线性环节的数学描述为
x
s x u s
u s s u s us
图4-2 饱和非线性环节
21
-s
0
u
s
根据上述关系，由MATLAB编写的饱和非线性 函数saturation.m为 function x=saturation(u,s) if (abs(u)>=s) if (u>0) x= s; else x=-s; end else x= u; end
u (t )
T
u (t )
保持器
uh (t )
c ds a bs
x (t )
x(t )
图4-1 典型环节的离散性
下面推导典型环节加了虚拟的采样开关和滞后 一拍三角形保持器后的差分方程及其系数的确定。
12
假设采用滞后一拍的三角形保持器，则保持器的 输出（也即典型环节的输入）uh(t)为
(4-7) c d d x[( k 1)T ] ( )u (kT ) u[( k 1)T ] a aT aT 14
2．当a≠0,b≠0（相应有惯性、比例惯性、超前或 滞后等环节）时，由式(4-4)得
a c d (t ) x(t ) u (t ) u (t ) x 令 b b b （4-8） d z (t ) x(t ) u (t ) 则上式可变为 b
Bdt
6
2．令
.(0 t T )
u (kT ) u[( k 1)T ] (kT )t u (kT t ) u (kT ) t u (kT ) u T
这相当于在系统的输入端加了一个采样开关 和一阶保持器。 根据式（4-2）可得离散化后的状态方程
(kT ) x[( k 1)T ] e AT x(kT ) e A(T ) Bdt u (kT ) te A(T ) Bdt u
1 d/b 0
4.3 非线性系统的数字仿真方法
上节讨论的按环节离散化的仿真方 法，每一个计算步长，各环节的输入和 输出都要重新计算一次，因此，这种仿 真方法可以很方便的推广到具有非线性 环节的系统中。由于实际控制系统中的 非线性特性各种各样，无法用一个最基 本的环节来代表，因此，本节主要介绍 四种最常见的非线性环节的仿真模型。
3
对于kT及（k＋1）T两个相邻的采样时刻，状 态变量的值分别为 kT
x(kT ) e A( kT ) x(0)
A( kT ) e Bu ( )d 0
( k 1)T A[( k 1)T ] e Bu ( )d 0
x[( k 1)T ] e A[( k 1)T ] x(0)
24
3．滞环非线性特性 图4-4所示滞环非线性环节的数学描述为
u (kT ) s x(kT ) u (kT ) s x[( k 1)T ] 0且 x 0 u 0且x 0 u 其它
-s
0
x
u
s
图4-4 带环非线性环节
25
根据上述关系，由MATLAB编写的滞环非线性 函数backlash.m为
10
设典型环节的输入和输出分别为u(t)和x(t)，则拉 普拉斯变换之比为 X ( s) c ds
U (s)
s) (c ds)U ( s) bsX ( s) aX ( s) cU ( s) dsU ( s)
（ 4-13 ）
同样由式（4-8）和式（4-6）两式可得 （ 4-14 ） d x[( k 1)T ] z[( k 1)T ] u (kT ) b 17
cT cT z[( k 1)] z (kT ) u (kT ) u[( k 1)T ] 2b 2b
0
4
当系统输入u(t)给定时，便可根据式（42 ）求出系统离散化状态方程的解。由于u(t) 一般为时间t的函数，而且是未知的，故对于 两相邻采样时刻之间的输入 u(kT+t) 常用以下 两种方法近似处理。 1.令 u(kT t ) u(kT). (0 t T ) 这相当于在系统的输入端加了一个采样开关 和零阶保持器。．
22
2. 死区非线性特性 图4-3所示死区非线性环节的数学描述为
u s x 0 u s
u s s u s us
-s
x
u
0
s
图4-3 死区非线性环节
23
根据上述关系，由MATLAB编写的死区非线性 函数deadzone.m为 function x=deadzone(u,s) if (abs(u)>=s) if (u>0) x=u-s; else x= u+s;end else x=0; end
5
根据式（4-2）可得系统离散化后的状 态方程 或
x[( k 1)T ] e AT x(kT ) e A(T ) Bdt u (kT )
0 T
x[( k 1)T ] Gx(kT ) Hu (kT )
式中
AT
G e ,H e
0
T
A (T t )
令
则有
a c ad (t ) z (t ) ( 2 )u (t ) z b b b （4-9） a c ad A ,B 2 b b b
(t ) Az(t ) Bu (t ) z
15
其解为
z (t ) e At z (0) e A( t ) Bu ( )d
9
4.2 典型环节的离散系数及其差分方程
上节介绍了连续系统离散化的方法，此 方法尽管仿真精度较高，但对阶次较高的系 统，求取G, H和Ф阵并非易事，再加上它也 是按系统进行离散化的，不适用非线性系统。 故本节将讨论按典型环节建立离散模型，所 谓按典型环节离散化，就是将系统分成若干 个典型环节，在每个典型环节的入口处加一 个虚拟的采样开关，并立即跟一个信号重构 过程，以便使信号恢复为连续形式。
今将以上三种情况下的典型环节的仿真模 型归纳为一个统一公式
z[( k 1)T ] Ez(kT ) Fu(kT ) Gu[( k 1)T ] （4-15） x[(k 1)T ] Hz[( k 1)T ] Lu (kT ) Qu[(k 1)T ] 其中 E,F,G,H,L,Q是差分方程的系数，它们的 数值根据典型环节系数 a,b不同情况，可由表 4-2确定。
0 t
离散化后的解为
z[( k 1)T ] e AT z (kT ) e A(T t ) Bu h (kT t )dt (4-10) 0 将式（4-5）,(4-9)代入上式得
T d c b b z[( k 1)T ] e z (kT ) ( )[(1 e ) 1]u (kT ) b ）两式可得 a aT 由式（4-8）和式（4-6 a T b a
function [x,u1]=backlash(u1,u,x1,s)
if (u>u1) if ((u-s)>=x1) x=u-s;else x=x1;end else if (u<u1) if ((u+s)<=x1) x=u+s;else x=x1;end else x=x1; end end u1=u;
2
4.1 连续系统的离散化
设连续系统的状态空间表达式为 (t ) Ax(t ) Bu (t ) x y (t ) Cx(t ) Du (t ) 其状态方程的解为
(4-1)
x(t ) e x(0) e
At 0
t
A ( t )
Bu ( )d
对上式进行拉氏反变换得
(t ) ax(t ) cu (t ) du (t )(4-4) bx
为了把式 (4-4) 表示的微分方程转变为差分方程， 在典型环节前要加虚拟的采样开关和保持器进行离 散化，如图4-1所示。
11
由此可见，典型环节离散化后，环节的输入uh(t) 就与原来的输入u(t)不同，两者的相似程度与采样 时间T及保持器的特性有关。
(4-6)
uh [( k 1)T ] u (kT ) u (kT ) u[( k 1)T ] [( k 1)T ] u T
13
今对典型环节中系数 a,b,c,d 的不同情况，求离散 状态变量式输出量的解。 1．当a≠0,b=0(相应有比例、微分和比例微分等环节) 时，由式（4-4）可得
c d (t ) x(t ) u (t ) u a a
将t=(k+1)T , 代入上式，并考虑到典型环节离散化后， 输入由u(t) 变为uh(t) 故有