第4章连续系统按环节离散化的数字仿真

（ 4-13 ）
同样由式（4-8）和式（4-6）两式可得 （ 4-14 ） d x[( k 1)T ] z[( k 1)T ] u (kT ) b 17

cT cT z[( k 1)] z (kT ) u (kT ) u[( k 1)T ] 2b 2b

0
4
当系统输入u(t)给定时，便可根据式（42 ）求出系统离散化状态方程的解。由于u(t) 一般为时间t的函数，而且是未知的，故对于 两相邻采样时刻之间的输入 u(kT+t) 常用以下 两种方法近似处理。 1.令 u(kT t ) u(kT). (0 t T ) 这相当于在系统的输入端加了一个采样开关 和零阶保持器。．
22
2. 死区非线性特性 图4-3所示死区非线性环节的数学描述为
u s x 0 u s
u s s u s us
-s
x
u
0
s
图4-3 死区非线性环节
23



根据上述关系，由MATLAB编写的死区非线性 函数deadzone.m为 function x=deadzone(u,s) if (abs(u)>=s) if (u>0) x=u-s; else x= u+s;end else x=0; end
20
1. 饱和非线性特性 图4-2所示饱和非线性环节的数学描述为
x
s x u s
u s s u s us
图4-2 饱和非线性环节
21
-s
0
u
s
பைடு நூலகம்
根据上述关系，由MATLAB编写的饱和非线性 函数saturation.m为 function x=saturation(u,s) if (abs(u)>=s) if (u>0) x= s; else x=-s; end else x= u; end
令


则有
a c ad (t ) z (t ) ( 2 )u (t ) z b b b （4-9） a c ad A ,B 2 b b b
(t ) Az(t ) Bu (t ) z
15

其解为
z (t ) e At z (0) e A( t ) Bu ( )d

9
4.2 典型环节的离散系数及其差分方程

上节介绍了连续系统离散化的方法，此 方法尽管仿真精度较高，但对阶次较高的系 统，求取G, H和Ф阵并非易事，再加上它也 是按系统进行离散化的，不适用非线性系统。 故本节将讨论按典型环节建立离散模型，所 谓按典型环节离散化，就是将系统分成若干 个典型环节，在每个典型环节的入口处加一 个虚拟的采样开关，并立即跟一个信号重构 过程，以便使信号恢复为连续形式。

由以上两式可得
x[( k 1)T ] e AT x(kT )
( k 1)T


令τ =kT+t则上式可得
T
kT
A[( k 1)T ] e Bu ( )d
(4-2)
x[( k 1)T ] e AT x(kT ) e A(T ) Bu (kT t )dt
2
4.1 连续系统的离散化
设连续系统的状态空间表达式为 (t ) Ax(t ) Bu (t ) x y (t ) Cx(t ) Du (t ) 其状态方程的解为


(4-1)
x(t ) e x(0) e
At 0
t
A ( t )
Bu ( )d
function [x,u1]=backlash(u1,u,x1,s)

if (u>u1) if ((u-s)>=x1) x=u-s;else x=x1;end else if (u<u1) if ((u+s)<=x1) x=u+s;else x=x1;end else x=x1; end end u1=u;
0 t

离散化后的解为
z[( k 1)T ] e AT z (kT ) e A(T t ) Bu h (kT t )dt (4-10) 0 将式（4-5）,(4-9)代入上式得

T d c b b z[( k 1)T ] e z (kT ) ( )[(1 e ) 1]u (kT ) b ）两式可得 a aT 由式（4-8）和式（4-6 a T b a
0 0
7
T
T

或
(kT ) x[( k 1)T ] Gx(kT ) Hu (kT ) u
式中
Ge
T
AT
H e
0 T
A (T t )
Bdt Bdt
8
te
0
A (T t )
输出变量的差分方程，可由式（4-1）给出 的输出方程直接确定，即有 y(kT ) Cx(kT ) Du (kT ) （ 4-3 ） 对于以上差分方程，当系数矩阵G，H，C， D及Ф已知时，利用迭代法便可很容易地求得 系统的输出响应。 利用MATLAB 的相应函数，便可很容易地求 出系统离散化的系数矩阵 G ， H ， C ， D 和 Ф 。
u (t )
T
u (t )
保持器
uh (t )
c ds a bs
x (t )
x(t )
图4-1 典型环节的离散性

下面推导典型环节加了虚拟的采样开关和滞后 一拍三角形保持器后的差分方程及其系数的确定。
12

假设采用滞后一拍的三角形保持器，则保持器的 输出（也即典型环节的输入）uh(t)为

18
表4-1 E,F,G,H,L,Q的系数
a≠0,b＝0 E 0 a＝0,b≠0 1 a≠0,b≠0 exp[-(a/b)T]
F
G
0
0
cT/(2b)
F
(d/b-c/a)[(1-E)*b/(aT)-1]
(d/b-c/a)[1+ (E-1)(1+b/(aT))] 1 d/b 0
19
H L Q
0 (c+d/T)/a -d/(aT)

(4-6)
uh [( k 1)T ] u (kT ) u (kT ) u[( k 1)T ] [( k 1)T ] u T
13
今对典型环节中系数 a,b,c,d 的不同情况，求离散 状态变量式输出量的解。 1．当a≠0,b=0(相应有比例、微分和比例微分等环节) 时，由式（4-4）可得
第四章 连续系统按环节离散 化的数字仿真
本章内容
(1) 系统中各种典型环节的离散系数及其 差分方程的确定； (2) 典型非线性环节的MATLAB的描述； (3) 非线性连续系统的各连接矩阵和典型环 节 系数矩阵的确定； (4) 非线性连续系统的数字仿真方法。
1

上章所述的连续系统数学模型的离 散化，是通过数值积分法实现的，尽管 面向结构图的仿真方法是按环节给定参 数，但是在计算时还是按整个系统进行 离散化，这就不便于引进非线性环节以 进行非线性系统的仿真。在本章，连续 系统离散模型的建立，将用控制理论中 的采样和信号重构技术
Bdt
6

2．令
.(0 t T )
u (kT ) u[( k 1)T ] (kT )t u (kT t ) u (kT ) t u (kT ) u T

这相当于在系统的输入端加了一个采样开关 和一阶保持器。 根据式（4-2）可得离散化后的状态方程
(kT ) x[( k 1)T ] e AT x(kT ) e A(T ) Bdt u (kT ) te A(T ) Bdt u

c d (t ) x(t ) u (t ) u a a

将t=(k+1)T , 代入上式，并考虑到典型环节离散化后， 输入由u(t) 变为uh(t) 故有

将式(4-6)代入上式得
c d h [( k 1)T ] x[( k 1)T ] uh [( k 1)T ] u a a
(4-7) c d d x[( k 1)T ] ( )u (kT ) u[( k 1)T ] a aT aT 14

2．当a≠0,b≠0（相应有惯性、比例惯性、超前或 滞后等环节）时，由式(4-4)得
a c d (t ) x(t ) u (t ) u (t ) x 令 b b b （4-8） d z (t ) x(t ) u (t ) 则上式可变为 b
对上式进行拉氏反变换得
(t ) ax(t ) cu (t ) du (t )(4-4) bx
为了把式 (4-4) 表示的微分方程转变为差分方程， 在典型环节前要加虚拟的采样开关和保持器进行离 散化，如图4-1所示。
11

由此可见，典型环节离散化后，环节的输入uh(t) 就与原来的输入u(t)不同，两者的相似程度与采样 时间T及保持器的特性有关。
T

d x[( k 1)T ] z[( k 1)T ] u (kT ) b
（ 4-11 ）
16
3．若a =0,b≠0时，由式（4-4）得 c d (t ) u (t ) u (t ) x b b 将 a c A 0, B b b 代入式（4-10）后可得
10

设典型环节的输入和输出分别为u(t)和x(t)，则拉 普拉斯变换之比为 X ( s) c ds
U (s)


a bs
即
(a bs) X ( s) (c ds)U ( s) bsX ( s) aX ( s) cU ( s) dsU ( s)
3

对于kT及（k＋1）T两个相邻的采样时刻，状 态变量的值分别为 kT
x(kT ) e A( kT ) x(0)
A( kT ) e Bu ( )d 0
( k 1)T A[( k 1)T ] e Bu ( )d 0
x[( k 1)T ] e A[( k 1)T ] x(0)
u (kT ) u[( k 1)T ] uh (t ) u[( k 1)T ] (t kT ) T (4-5) u (kT ) u[( k 1)T ] u h (t ) (kT t (k 1)T ) T


当t=(k+1)T时
24
3．滞环非线性特性 图4-4所示滞环非线性环节的数学描述为
u (kT ) s x(kT ) u (kT ) s x[( k 1)T ] 0且 x 0 u 0且x 0 u 其它
-s
0
x
u
s
图4-4 带环非线性环节
25


根据上述关系，由MATLAB编写的滞环非线性 函数backlash.m为
今将以上三种情况下的典型环节的仿真模 型归纳为一个统一公式
z[( k 1)T ] Ez(kT ) Fu(kT ) Gu[( k 1)T ] （4-15） x[(k 1)T ] Hz[( k 1)T ] Lu (kT ) Qu[(k 1)T ] 其中 E,F,G,H,L,Q是差分方程的系数，它们的 数值根据典型环节系数 a,b不同情况，可由表 4-2确定。
1 d/b 0
4.3 非线性系统的数字仿真方法

上节讨论的按环节离散化的仿真方 法，每一个计算步长，各环节的输入和 输出都要重新计算一次，因此，这种仿 真方法可以很方便的推广到具有非线性 环节的系统中。由于实际控制系统中的 非线性特性各种各样，无法用一个最基 本的环节来代表，因此，本节主要介绍 四种最常见的非线性环节的仿真模型。

5

根据式（4-2）可得系统离散化后的状 态方程 或
x[( k 1)T ] e AT x(kT ) e A(T ) Bdt u (kT )
0 T

x[( k 1)T ] Gx(kT ) Hu (kT )

式中
AT
G e ,H e
0
T
A (T t )