一道概率竞赛试题的解法探讨

巧用 “ 定积分 ”证明不等式
田 萍
（ ） 湖北省安陆市第一高级中学 ， ４ ３ ２ ６ ０ ０
数学选修２－２中对定积分的教学着眼于解决 教材求曲边梯形面积是通 曲线围成的面 积 问 题 ． （ 过“ 四步曲 ” 分 割、 近 似 代 替、 求 和、 取 极 限 ）解 决 的． 定积分在处理数学问 题 中 有 着 独 特 的 功 能 ， 不 仅可以求 面 积 ， 还 能 利 用 面 积 比 较 大 小， 证明不 等式 ． ）设 函 数 ｆ（ 例 １ （ ２ ０ １ ４年陕西卷理科２ １ ｘ） （ ， ， 其中ｆ 是 ｎ １＋ｘ） ｘ） ′（ ｘ） ｘ ≥０， ′（ ｘ） ＝ｌ ＝ｘ ｇ（ ｆ ， ｘ） 的 导 函 数 ． ｘ） ＝ ｇ（ ｘ） ｘ） ＝ ｆ（ ｇ ｇ １（ ｎ １（ ＋ ） ， ｘ） ｎ ∈ Ｎ＋ ． ｇ（ ｇ ｎ（ （ ） ）＋ ｇ（ ）＋ … ＋ 比 较 ｇ（ １ ２ Ⅲ 设 ｎ ∈ Ｎ＋ ， 并加以证明 ． ｎ）与 ｎ－ｆ（ ｎ）的大小 ， ｇ（ 解 （ ｘ）＝ Ⅲ ）由 题 设 知 ｇ（
ｎ
ｘ ， （） ｇ１ ＋ ｘ ＋１
例 ２ 求证 ：
１ ２ ｎ ， ） ） ２ ３ ｎ） ＋ｇ（ ＋ … ＋ｇ（ ＝ ＋ ＋…＋ ｇ（ ２ ３ ｎ ＋１ （ ） ， 猜想 １ ＋ ２ ＋ … ＋ ｎ ｎ－ｆ（ ｎ） ｌ ｎ ｎ＋１ ＝ｎ－ ２ ３ ｎ ＋１
ｎ ｎ
ｉ＝２
ｉ
１
２
＜
ｎ－１ ． ｎ
证明 如 图 １ 是图中所 ２， ２ ｉ ｉ＝２ 示各矩形的面积 和， 而ｎ－１ 是由曲 ｎ
３ ； ０． ３ （ ）第 ５ ～ ７ 天连续下雨 ， 第 ４ 天未下雨 （ 第４ ５
雨， 第７天未下雨 ” 和“ 第２～７天下雨 ， 第１天未下 两种情形 ， 此时其概率为 Ｐ２ ＝０． 雨” ３ ×０． ７×２；
６
（ ）恰好连续 ５ 天 下 雨 ， 包括“ 第１～５天下 ３ 、 “ 雨， 第 ６ 天未下雨 ” 第 ３ ～ ７ 天下雨 ， 第 ２ 天未下 雨” 和“ 第２～６天下雨 ， 第１天 、 第７天未下雨 ” 三 种 情形 ， 此时其概率为 Ｐ３ ＝０． ３ ×０． ７×２＋０． ３
ｘ ， 而 ｘ ＝ ｎ 及ｘ 轴所围成的曲边梯形的面积 ， ｘ ＋１
１ ２ … ｎ 是图中所示各矩形的面积和 ， ＋ ＋ ＋ ２ ３ ｎ ＋１ 所以 １ ２ ＋ ＋ … ＋ ２ ３
ｎ ＞ ｎ ＋１
ｎ
０
ｄ ｘ ∫ｘ ＋１ １ ＝ － ∫（
ｎ
０
ｘ
图１
１ ） （ ） ， ｄ ｘ ＝ ｎ－ｌ ｎ ｎ＋１ ｘ ＋１ 结论即证 ．
（ ）恰好连续 ３ 天 下 雨 ， 包括“ 第１～３天下 ５ 、 “ 雨， 第 ４ 天未下雨 ” 第 ５ ～ ７ 天下雨 ， 第 ４ 天未下 、 雨 ”和 “ 第 ２ ～ ４ 天下雨 ， 第１天、 第 ５ 天未下雨 ” “ “ 第３～５天下雨 ， 第２天 、 第６天未下雨 ”、 第４～ 第３天 、 第７天未下雨 ” 五种情形 ， 其中前 ６天下雨 ， 两 种情形中都包含了 “ 第１～３天下雨 ， 第４天未下 雨， 第 ５ ～ ７ 天下雨 ”这种情形 ， 此时其概率为 Ｐ５
７
（ ）恰好连续 ４ 天 下 雨 ， 包括“ 第１～４天下 ４ 、 “ 雨， 第 ５ 天未下雨 ” 第 ４ ～ ７ 天下雨 ， 第 ３ 天未下 、 雨 ”和 “ 第 ２ ～ ５ 天下雨 ， 第１天、 第 ６ 天未下雨 ” “ 第 ３ ～ ６ 天下雨 ， 第２天、 第 ７ 天未下雨 ”四种情
４ ４ 此时其概率 为 Ｐ４ ＝ ０． 形， ３ ７×２＋０． ３ ×０． × ２ ０． ７ ×２；
５ ２ ； ７ ×０． ５
１ ６
— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ４ 年第 １ ０期（ · 辅教导学 ·
） （ ） （ ） （ ）中 ） ， 天下雨的情形已计在 （ 第１～３ １ ２ ３ ４ 天是否下雨不考虑 ， 且“ 第 １ ～ ３ 天下雨 ， 第 ４ 天未 ） 下雨 ， 第 ５ ～ ７ 天下雨 ” 这种情形已计在 （ 中， 此 １ 时其概率为 Ｐ５ ＝ ０． ７×０． ３ －０． ３ ×０． ７． 故一周中连续３天下雨的概率为 Ｐ ＝ Ｐ１ ＋Ｐ２
１ ０ ２ ０ ８ ９ ７． ＋Ｐ３ ＋Ｐ４ ＋Ｐ５ ＝ ０． 上面两 种 解 法 都 是 很 自 然 的 解 法 ， 其关键是 一周 中 连 续 ３ 天 下 雨 ”的 情 况 合 理 分 类 ， 做到 将“ “ 由 此 可 见， 使用古典概型的方法来求 不重不漏 ． 解 ”此题并非命题者认为的 “ 非常困难 ” ． 我们可 以 将 此 题 做 进 一 步 的 改 进 ， 以期更贴 下面两个练习留给读者 ． 近实际情况 ， 练习１ 你计划在下一周假期去某地旅游 ， 当
３ ３ ２ ６ ３ ７×２＋０． ３ ７ ３ ７． ＝ ０． ×０． ×０． ×３－０． ×０．
故一周中连续３天下雨的概率为 Ｐ ＝ Ｐ１ ＋Ｐ２ １ ０ ２ ０ ８ ９ ７． ＋Ｐ３ ＋Ｐ４ ＋Ｐ５ ＝ ０． 思路 ２ 一周中连续 ３ 天下雨 ， 包含第 １ ～ ３ 天， 第 ２ ～ ４天 ， 第３～５天 ， 第４～６天 ， 第５～７ 天下雨的情况 ， 这也是一个很自然的想法 ． 解法 ２ 一周中连续 ３ 天 下 雨 的 情 况 可 以 分 为以下几类 ： （ ） 第１～３天连续下雨 ， 第４～７天是否下雨 １ ３ ， ； 不考虑 此时其概率为 Ｐ１ ＝ ０． ３ （ ）第 ２ ～ ４ 天连续下雨 ， 第 １ 天未下雨 （ 第１ ２ ） ） ， 天 下雨的情形已计在 （ 中 第 天是否下雨 １ ５～７
图２
（ ）＝ ｎ ｎ＋１ ＞ ｎ－ｌ
ｄ ｘ． ∫ｘ ＋１ ｘ 证明 如 图 １， ｄ ｘ 是 由 曲 线ｙ ＝ ∫ｘ ＋１
０
ｘ
ｎຫໍສະໝຸດ Baidu
０
· 辅教导学 · 数学通讯 — — —２ 上半月 ） ０ １ ４ 年第 １ ０期（
１ ５
一道概率竞赛试题的解法探讨
梅 磊
（ ） 湖北省武汉市黄陂六中 ， ４ ３ ０ ３ ０ ０
第十七届北京高中 数 学 知 识 应 用 竞 赛 初 赛 第 四题如下 ： “ 在上届复赛中有一道 题 ： 你计划在下一周假 期去某地旅游 ， 当地气象预报告诉你下一周每天 有５ 为了简单起见 ， 假设每天是否 ０％ 的可能下雨 ． 下雨与前几天 的 天 气 情 况 无 关 ． 估计一下在下周 ”同学们 旅游时遇到连续 ３ 天下雨的可能性多大 ？ 采用古典概型方法得到 在 一 周 中 连 续 ３ 天 下 雨 的 概率为 ０ ． ３ ６ ７ ２． 显然 ， 这道问题的假设与实际情况不相符合 ， 而探索实际问 题 往 往 从 这 样 的 简 单 情 形 开 始 ． 现 在尝试做些改 进 ． 如果气象预报说下一周每天有 ） 下雨 ， 假设和待求的问题都 ３ ０％ 的可能 （ ３ ｐ ＝０． 不变 ， 会发现 使 用 古 典 概 型 的 方 法 来 求 解 非 常 困 难． 而通过仿真模拟则是可行的 ． 请你利用蒙特卡洛 方 法 写 出 在 计 算 机 上 进 行 仿真模拟求解的程序框图和相应的计算机编程 ． 命题者认 为 此 题 “ 使用古典概型的方法来求 ， 解非常困 难 ” 果 真 如 此 吗？ 下面笔者尝试用古典 概型的方法来求解此题 ． 思路 １ 一周中连续 ３ 天下雨 ， 包含恰好连续 这是一个很 ３天， ４天， ５天， ６天， ７ 天下雨的情况 ， 自然的想法 ． 解法 １ 一周中连续 ３ 天下雨的情况可以分 为以下几类 ： ）恰好连续 ７ 天 下 雨 ， （ 只 有 一 种 情 形， 此时 １ 其概率为 Ｐ１ ＝ ０． ３； ）恰好连续 ６ 天 下 雨 ， （ 包括“ 第１～６天下 ２
３ ６
地气象预报 告 诉 你 下 一 周 每 天 有 ４ ０％ 的 可 能 下 雨． 为了简单起见 ， 假设 每 天 是 否 下 雨 与 前 几 天 的 天气情况无关 ． 估计一下在下周旅游时遇到连续 ３ 天下雨的可能性多大 ？ 如果下一周每天有６ ０％ 的 结果会这样变化 ？ 可能下雨 ， 练习 ２ 假 设 ： 如 果 今 天 是 雨 天， 则明天有 同 样 地， 如果今天是晴天（ 为 ７ ５％ 的可能是 雨 天 ， ，则 明 天 有 了简单 起 见 ，没 有 下 雨 的 统 称 晴 天 ） 估计一下未来一周遇到连续３ ７ ５％ 的可能是晴天 ． 天下雨的可能性多大 ？ （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ４－０ ７－１ ８
３ ； 不考虑 ， 此时其概率为 Ｐ２ ＝ ０． ７×０． ３ （ ）第 ３ ～ ５ 天连续下雨 ， 第 ２ 天未下雨 （ 第２ ３
） （ ） ， 天 下雨的情形已计在 （ 中） 第１天和第６～７ １ ２ 天是 否 下 雨 不 考 虑 ， 此 时 其 概 率 为 Ｐ３ ＝ ０． ７× ３ ； ０． ３ （ ）第 ４ ～ ６ 天连续下雨 ， 第 ３ 天未下雨 （ 第３ ４ ） （ ） （ ） ， 天 下雨的情形已计在 （ 中） 第１～２天和 １ ２ ３ 第７天是否下雨不考虑 ， 此时其概率为 Ｐ４ ＝０． ７×