数学物理方程的导出

因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 ，弦中张力不随 x 而变， 可记为
T T2 T1 故有
T (ux
xdx
ux
)
x

utt dx
(7.1.5)
变化量 dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
ux
xdx
ux
x

ux x
dx
uxxdx
这样， ABC 段的运动方程(7.1.5)就成为
数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多 物理现象和普遍规律。
数学物理方法
在科学技术和生产实际中，经常要研究空 间连续分布的各种物理场的状态和物理过程， 例如电磁波在空间和时间中的变化，半导体扩 散工艺中杂质浓度在硅片中的分布和随时间变 化关系等等。总之，是研究某个物理量在空间 某个区域的分布以及它怎样随时间变化。其中 的自变数不仅仅是时间，而且还必须包括空间 坐标。
横截面积所受纵向外力
数学物理方法
杆的纵振动和弦的横振动机理并不相同，但是它们满
足的微分方程形式一样，这样的方程统称波动方程。
更一般的，三维的波动方程为
2u a22u 0 t 2
其中 2

2 x2

2 y 2

2 z 2
称为拉普拉斯算符。
注：书本上的拉普拉斯算符用 表示
热传导问题中研究的是温度在空间中的分布和随 时间的变化，由于热传导的起源是温度的不均匀，而
温度的不均匀程度可以用温度梯度 u 来表示。热传 导的强弱可用热流强度 q ，即单位时间通过单位横截
面积的热量表示。
根据实验结果，热传导遵从热传导定律：
q ku （7.1.20）
比例系数 k 叫作热传导系数。
数学物理方法
陈尚达 材料与光电物理学院
数学物理方法
本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立 和求解
重点：数学物理方程求解方法中的分离变量 法。
特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍， 以便充分了解模型的物理意义，有利于根 据数学物理模型建立数学物理方程。
数学物理思想
第二篇绪论
数学物理方法
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学 及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函 数方程，主要指偏微分方程和积分方程。
ux

u x

tan

sin
故由图7.1得
ux x tan1 sin1, ux xdx tan2 sin2
这样，(7.1.1)和(7.1.2)简化为
T2ux xdx T1ux x utt dx
T2 T1 0
(7.1.3) (7.1.4)
数学物理方法
ut a22u 0 （7.1.22）
其中 a2 k
C0
如果物体中存在热源，热源强度（单位时间内在单位体积
中产生的热量）为 F(x, y, z,t) ，热传导方程要修改为：
C0 ut
[ x
(kux )

y
(kuy )

z
(kuz
)]

F (x,
y,
z, t)
对于均匀物体，则化为：
1、数学物理方程的导出 2、定解条件 3、数学物理方程的分类 4、达朗贝尔公式
数学物理方法
7.1 数学物理方程的导出
7.1.1波动方程的建立 1、 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
数学物理方法
注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假
设才能使方程简化。 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所
遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端 点之外的任何位置作为考察点。
解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量 在空间中的分布规律和时间中的变化规律，这 就是物理课题中所研究并加以讨论的物理规律。 物理规律反映同一物理现象的共同规律，即普 遍性，亦即共性。
数学物理方法
个性：同一类物理现象中，各个具体问题又 各有其特殊性，即个性。物理规律不反映这 种个性。
例如，半导体扩散工艺中，有“恒定表面浓度 扩散”和“限定源扩散”。前者是表面杂质浓度一 定，后者是杂质总量一定，虽扩散规律一样，但其 结果显然不同。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F(x,t)
作用，则式(7.1.7)应该改写为
utt a2uxx f (x, t)
(7.1.9)
式中 f (x,t) F(x,t)
称为力密度 ，为 t
时刻作用于
x 处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程。
数学物理方法
2、 均匀杆的纵振动
又如，不同初始浓度的硅片杂质扩散，在相同 的工艺条件下，其扩散结果也是不一样的。
故还必须考虑研究对象特定“历史”， 即初始时刻的状态——初始条件。
数学物理方法
边界条件和初始条件反映了具体问题的 特定环境和历史，即问题的特殊性。在数学 上，边界条件和初始条件合称为定解条件。
物理规律用数学的语言“翻译”出来， 往往是偏微分方程——数学物理方程。数学 物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟 具体条件无关。在数学上，数学物理方程本 身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
数学物理方法
7.1.3 静电场的电势方程
由电磁学可知，静电场为有源无旋常，可以根据高斯
定理和其电场的无旋性导出其数学物理方程。首先由高斯
[ x
(k
u x
)

y
(k
u y
)

z
(k
u z
)]dtdxdydz

C0
u t
dtdxdydz
或写成
[ x
(k
u x
)

y
(k
u y
)

z
(k
u z
)]

C0
u t
(7.1.21)
数学物理方法
对于均匀物体， k, C0 , 是常数，则上式还可一写成
3*、传输线方程（电报方程）
数学物理方法
2v x2

LC
2v t 2
(RC GL) v t
GRv
（7.1.13）
同理可得：
图7.3
2i x2

LC
2i t 2
(RC GL) i t
GRi
(7.1.14)
式（7.1.13）及（7.1.14）即为一般的传输线方程。
振动与波（振动波，电磁波）传 播满足波动方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方 程
静电场和引力势满足拉普拉斯方 程或泊松方程
数学物理方法
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
数学物理方法
第七章 数学物理定解问题
这就是杆的纵振动方程。
数学物理方法
讨论
(1) 对于均匀杆，Y 和 是常数，(7.１.11）可以改写成
utt a2uxx
（7.１.12）
其中 a 2 Y

这与弦振动方程（7.１.8）具有完全相同的形式．
（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（7.１.9） 完全一样， 只是其中 f (x,t) 应是杆的单位长度上单位
数学物理方法
把上式写成分量形式
qx

k
u x
， qy

k
u y
， qz

k
u z
y
下面利用热传导定律和能量守恒来推导
B F 考虑左图的六面体，首先考察单位时间内 x
C
G
n
A
n
E
方向的热流：左表面流入为 qxdydz ，右表
D dx H o x x + dx
z
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图图79..23
面流出： qxdxdydz ，则单位时间内净流入 x 量 (qxdx qx )dydz
数学物理方法
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
数学物理方法
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为 正向问题和逆向问题.
正向问题，即 为已知源求场
逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容。
数学物理方法
数学物理方程的类型和所描述的物理规律
多数为二 阶线性偏 微分方程
12
,
2 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos1

1
12
2!

sin 1

1

13
3!

1, cos2 1
1 tan1, sin2 2 tan2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2dx dx
数学物理方法
注意到:
又如电磁波在空间的传播。
因此，为解决具体问题，必须考虑“环 境”的影响，即边界所处的物理状况——边 界条件。
数学物理方法
同时，研究问题还不能割断历史。
例如同一根琴弦，用不同的东西去敲，发出 的声音是不一样的。虽然其振动是按照同一规律进 行，但是由于所谓“初始”时刻的振动是不一样的， 故后来振动也不一样。
u
T2
B
α2 C
A α1
T1
图7.1
x x+dx
x
数学物理方法
根据牛顿第二定律 F ma
u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin2 T1 sin1 (ds)utt （7.1.1）
作用于小段 ABC 的纵向合力应该为零：
T2 cos2 T1 cos1 0
(7.1.2)
仅考虑微小的横振动，夹角 1,2 为很小的量，忽略
数学物理方法
(1)无失真线
2i x2

1 a2
2i t 2

2
a
i t
2i
(7.1.15)
其中
a2 1 , 2 RG
LC
(2)无损耗线
2v LC 2v
x 2
t 2
（7.1.16）
2i LC 2i
x 2
t 2
(7.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
上述方程与热传导方程具有完全类似的形式
数学物理方法
若外界有扩散源，且扩散源的强度为 f (x, y, z,t) 这时，扩散方程应为
u a2[2u 2u 2u ] f (x, y, z,t) （7.1.26）
t
x2 y2 z2
从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述。
utt Tuxx 0
(7.1.6)
数学物理方法
即为
utt a2uxx 0 （7.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论： （1）设弦的重量不能忽略不计，则弦振动方程为怎样形式？
utt a2uxx g （7.1.8）
数学物理方法
数学物理方法
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i x 2
RC i t
（7.1.18） (7.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
数学物理方法
7.1.2 热传导类型方程的建立
1、热传导方程
由于温度分布不均匀，热量要从温度高的地方向 温度低的地方转移，这种现象叫热传导。
qx dxdydz
x
(k u )dxdydz x x
数学物理方法
同理，可得到沿 y 和 z 方向的净流入量分别为
(k u )dxdydz (k u )dxdydz
y y
y y
从 t 到 t dt 时刻体元内温度变化 u dt ，设物质
t
的密度和比热分别为 ，C0 ，则根据能量守恒有：
ut a22u f (x, y, z, t) （7.1.23）
数学物理方法
2、 扩散方程
u t

a2
2u x2

0
(t 0)
其中 a2 D.
将一维推广到三维，即得到
u t

a
2
[
2u x2

2u y 2

2u z 2
]

0
(t 0)
(7.1.24) (7.1.25)
从图容易得到B段的伸长为
u(x dx,t) u(x,t) du
而相对伸长则为
du
t
dx

t
ux
确切的说，相对伸长随地点而异， B的两端相对伸长不一样。根据胡克 定理，B段的运动方程为：
图7.2
YS
ux
xdx
YS
ux
x

YS
ux x
dx

(Sdx)utt
（7.1.10）
可得 utt Yu xx 0 （7.1.11）