第四章 级数(答案)
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复变函数练习题 第四章 级数
系 专业 班 姓名 学号
§1 复数项级数 §2 幂级数
23521
24221
1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()
2!4!2!1()
2!!
n n n n n
n z
z z z z z
z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数
一、选择题：
1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]
（Ａ）11(1)n i
n
n ∞
=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞
=-∑ 2．若幂级数
n
n n c z
∞
=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]
（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定
()
122i Abel +=
>，由定理易得
3．幂级数1
(1)1n n n z n ∞
+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln
1z + （D ） 1
ln 1z
- '
100
'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n
n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪
--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭
∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：
1．设(1)2
n
n i α-=+，则lim n n α→∞
= 0 。
2．设幂级数
n
n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0
(21)n n n n c z ∞
=-∑的收敛半径为
2
R
3．幂级数
0!
n n
n n z n
∞
=∑的收敛半径是 e 。
4．幂级数1n
p n z n
∞
=∑（p 为正整数）的收敛半径是 1 。
三、解答题：
1．判断下列数列是否收敛？如果有极限，求出它们的极限。
（1）2
11
n i
n i e n n πα-=++
(1)2,
221
(1)1lim lim 0221lim 0
k n k k k n n i
n k k k k k αα→∞→∞→∞
-==++-==+=当时，由知， 11(1)1
2,
21
(1)1lim 021lim 0
k n k k n n n k i k k αα++→∞→∞
-+=+=+-+=+=当时，由知， （2）12321(1)12n n
n n
i n
α-=+++
123211
lim lim(1)12lim n n n n n n n n e i
e
α-→∞→∞→∞=+=+=由可得，
2．判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。 判断绝对收敛的两种方法： （1）绝对级数是否收敛
（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛
（1）2
3
1,n
i i i i ++++++L L
lim n n i →∞
由不存在可知，级数发散
（级数收敛的必要条件）
（2）35
(5)(5)53!5!
i i i -++L 3521
555(53!5!(21)!
n i n +=++++++L L
21
05(21)!
n n n +∞
=+∑
由级数收敛可知，原级数绝对收敛. （3）
1
sin 3n
n n in
∞
=∑ ()()
11
sin ()32323322332n n n
n
n n n
n
n n n in n e e n n e e n n
e e -∞
∞==-==-
⋅⋅⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
⋅
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
∑
∑由级数及级数
收敛，可得原级数绝对收敛
（4）2
ln n
n i n ∞
=∑
2111
(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)
ln 2ln(21)n k k
n k k k
k k i i n k k k k ∞
∞
==∞∞==--=++--+∑∑∑
∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，
11
11
ln 2ln(21)k k k k ∞
∞
==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。又由和发散，
则原级数条件收敛。
3．求幂级数
1
(1)(3)
n n n z ∞
+=+-∑的收敛半径，收敛域及和函数，并计算
1
2∞
=∑n n n
之值。。 解：由2
lim
1 1.1
n n R n →∞+==+知，收敛半径
10
=2(1)(1)31n n z n z ∞+=+--<∑当时，原级数成为，为发散级数，
因而原级数的收敛域为.