3曲线的交点和函数的零点(文)

曲线的交点和函数的零点
例1.已知函数()2()x f x x bx c e =++在点()()0,0P f 处的切线方程为210x y +-=．
（1）求,b c 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若方程()f x m =恰有两个不等的实根，求m 的取值范围．
演变1.已知3=x 是函数2()ln 10f x a x x x =+-的一个极值点。

（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

演变2.已知函数x x f ln )(=，x a x g =
)(（0<a ），设)()()(x g x f x F +=。

（1）求)(x F 的单调区间；
（2）若以)(x F y =（]3,0(∈x ）图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值。

（3）是否存在实数m ，使得函数1)1
2(2-++=m x a g y 的图象与()y f x =的图象恰好有两个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。

例2.已知函数2()ln f x a x x x =--在12x =
处取得极值， （1）求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程()2f x x b =-+在区间(0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.
演变1.设函数2()2ln f x x x =-
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若当1[,]x e e
∈时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若关于x 的方程2()f x x x a =-+在区间[1,3]上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围。

例3.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）求证：对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有4)()(21≤-x f x f ；
（3）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．
演变1.已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．
演变2.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的取
值范围为(1,3)，求：
（1）()f x 的解析式；
（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
例4.已知函数.1ln )(),()(-=∈=x x g R a ax x f
（1）若函数x x f x x g x h 2)(2
1)()(--+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0a >时，试讨论这两个函数图象的交点个数．
演变1.已知函数()2
ln f x x a x =-在区间（1，2 ]上是增函数，()g x x =-（0，1）上为减函数.
（1）试求函数()(),f x g x 的解析式；
（2）当 x >0时，讨论方程()()2f x g x =+根的个数.
例 5.已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．
（1）求b a ,的值；
（2）若方程()0=+m x f 在1[,]e e
内有两个不等实根，求m 的取值范围
强化练习
1.函数()ln 26f x x x =+-的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．多于两个
2.函数2()ln(1)f x x x =+-
的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,)e
D ．(3,4) 3.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c =（ ）
A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1 4.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5.设函数1()ln 3
f x x x =
-（0x >），则()y f x =（ ） A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e
内有零点，在区间(1,)e 内无零点 C ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点 6.设函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有（ ）
A ．分别位于区间（1，2）、（2，3）、（3，4）内的三个根
B ．四个根)4,3,2,1(=i x i
C ．分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）、（3，4）内的四个根
D ．分别位于区间（0，1）、（1，2）、（2，3）内的三个根
7.设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当
[]0,x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π
≠时 ，()()02x f x π
'->，则函数
()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8 8.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x 、2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程
23[()]2()0f x a f x b +⋅+=的不同实根个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9.若函数()2x f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________.
10.设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x
=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ．
11.设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数.
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论.
12.已知函数2
()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；
（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围
13.设函数22()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数）. （1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.
答案：B 、B 、A 、B 、D 、A 、B 、A 、22ln 2a >-、21(,]e e -∞+
11.（1）a 的取值范围为),(+∞e ；
（2）当0≤a 时，)(x f 的零点个数为1；当10a e
<<时，)(x f 的零点个数为2 12.（1）min 11,,21()22ln(2),,222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩
（2）(2,1)e - 13.（1）(0,2)减，(2,)+∞增；（2）2
(,)2e e。