123.15.比例式、等积式的常见证明方法

∴∠CDF＝∠E
A
B
∴△DCF∽△EAD E
∴ DC CF AE AD
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长
线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME.
D
证明：
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝∠B＝90°－∠C ∴∠1＝∠D
A
M为BC的中点
计 P P T 模 版
，陌 长芦 门殇 清， 宫半
古 韵 一
问胜 卿逝 ，一 忆江 解秋
古 韵 二
千三丝 落千三 何落千 处满落 ？地腰
古 韵 三
人是
难水
，间
不残
寒
烦，
唤花
，
丝风
，香
莫
三尘
人茫杯如惆一谁殇入，若一世
已然独流怅壶痴。窗罂笑杯繁
…… ……
……
去又醉年
月红谁，粟醉？华
， 余 生 茫 茫 。
又∵∠2＝∠2
E1
∴MA＝MB
∴△EAM∽△ADM
2
∴∠B＝∠1
∴AM∶MD＝ME∶AM
B
M
C ∵∠BAC＝90°，DM⊥BC ∴AM2＝MD·ME
方法总结
证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中 ，再证明所属的两个三角形相似。
类型二：利用等线段代换
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生 头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花 瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多 等积式的证明也是有规律可循的。
类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明
苍 茫 ， 罂 粟 纷 纷
不 若 笑 醉 一 回 。
一 杯 ？ 前 尘 旧 梦
繁 华 ， 怎 敌 我 浊
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
开离留去不念倾一为夜 古
始，不别成，了丝何静 去，终下离双道天纠泪谧 ；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
韵 风 味
离绵别，不思思谁，人
A
F E
P
B
D
C
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC
A
∵AB＝AC，AD是中线
∴AD垂直平分BC
F ∴BP＝CP
E
∴∠1＝∠2
P
3Baidu Nhomakorabea
4
∵AB＝AC
1
2
B
D
C
∴∠1+∠3＝∠2＋∠4
∴∠3＝∠4
…… …… ……
余
飞
恰惆壶红拾夜飘忆，酒世
生 茫 茫 。
只 叹 伊 人 已 去 ，
雪 ， 茫 然 又 一 岁
举 杯 独 醉 ， 饮 罢
如 流 年 负 了 青 春
怅 泪 溶 了 雪 ，
月 光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮 一
弹 指 雪 花 ？ 谁 痴
无 月 亦 无 殇 。 谁
香 。 雪 入 窗 ， 今
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
如图，□ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证：
DC CF . AE AD
D
C
F
A
B
E
如图，□ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证：
DC CF . AE AD
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，∠A＝∠C
F
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
XXX X
古 X
X X X
风 设
A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA