3-1运输问题模型与性质

的运输量，得到下列运输量表：
1.运输问题模型及有关概念
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 , , x1n ; x21, x22 , x2n , , , , , xm1 , xm2 , xmn
m行 n行
1 1 1
11 1
1 1 1
1
1
2.运输问题的基变量总数是m + n -1
写出增广矩阵
x11, x12 , , x1n ; x21, x22 , x2n , , , , , xm1 , xm2 , xmn
1 1 1
a1
11 1
a2
A
1
1
1 1
1 1 1 am
1
b1
1
b2
1
1
1 bn
证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1 前m行相加之和减去后n行相加之和结果是 零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此
第三章 特殊的线性规划 ——运输问题
& 模型及其特点 & 求解思路及相关理论 & 求解方法——表上作业法 & 运输问题的推广
产销不平衡的运输问题 转运问题
1.运输问题模型及有关概念
问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种 产品从若干个产地调运到若干个销地， 在每个产地的供应量与每个销地的需求 量已知，并知道各地之间的运输单价的 前提下，如何确定一个使得总的运输费 用最小的方案。
销地
运费
1 2
产地
1
w11 w12
2
w21 w22
m
wm1 wm2
n
w1n w2n
wmn
20
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法
– 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 – xij 的分配公式
xij
min
(ai (b j
i j
行已分配的总量 列已分配的总量
) )
i 行尚余物资量 j 列待分物资量
例3.2.1
销地
产量
运费
1 2 3 4 ai
产地
1 20 11 3 6 5
2 5 9 10 2 10
3 18 7 4 1 15
销量 bj 3 3 12 12
21
例3.2.1 西北角法
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
x212
5
x122 x923
10
x333 x1323 15
1
1
1
1
1
1
1
❖ 矩阵的元素均为1或0；
❖ 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
❖ 列向量Pij =(0,…，0，1，0，…,0,1,0,…0)T， 其中两个元素1分别处于第i行和第m+j行。
❖ 将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个 m×n阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素 全为1，其余元素全为0（k=1，…，m）；后n 行构成m个n阶单位阵。
3、运费差额法
• 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之
间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 3
5
I
5 9 10 2 3 3
10
18 7 4 1 3
15
13 2 1 1
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 3
i 1
总运费为：
mn
z
cij xij
i1 j1
运输问题的数学模型
mn
MinZ
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai
i 1, , m （3-6）
j 1
s.t. m xij b j
j 1, , n
i 1
xij 0, i 1, m; j 1, , n
m
n
ai bj
25
min w11x11 w12 x12 w13 x13 w21x21 w22 x22 w23 x23
x11 x12 x13
a1
u1
x11
x21 x22 x23 a2
u2
x21
b1
v1
x12
x22
b2
v2
x13
x23 b3
v3
max a1u1 a2 u2 b1v1 b2v2 b3v3
1.运输问题模型及有关概念
例4.1:某公司从两个产地A1、A2将 物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
1.运输问题模型及有关概念
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj
1.运输问题模型及有关概念
系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1
1.运输问题模型及有关概念
模型系数矩阵特征 1.共有m+n行，分别表示各产地和销地； mn列，分别表示各决策变量； 2.每列只有两个 1，其余为 0，分别表 示只有一个产地和一个销地被使用。
单位 运价 销 或运距 地
产地
A1 A2 ┆ Am
表3-1 有关信息
B1 B2 … Bn
c11 c12 … c1 n c21 c22 … c2n
… …… cm1 cm2 … cm n
销量
b1 b2 … bn
单位根据具体问题选择确定。
产量
a1 a2 ┆
am
m
n
ai bj
i 1
j 1
2、运输问题的数学模型
5
II
5 9 10 2 7 3
7 10
18 7 4 1 3
15
13 2 1 1
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 3
5
III 5 9 10 2 7 3
7 10
18 7 4 1 3
5 15
13 4 1 5
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 8
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
d1
d2 … dn
产量
s1 s2
┇
sm
3.1 运输问题模型与性质
一、运输问题的数学模型
• 1、 运输问题的一般提法： 某种物资有若 干产地和销地，现在需要把这种物资从各个 产地运到各个销地，产量总数等于销量总数。 已知各产地的产量和各销地的销量以及各产 地到各销地的单位运价（或运距），问应如 何组织调运，才能使总运费（或总运输量） 最省？
27
3.2.3 踏石法
1、找入变量
– 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路
– 该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量； 因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路中每行每列只 有两个变量
• 设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量 （i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai运出 的物资总量应等于Ai的产量ai，因此xij应满 足：
•
n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
同理，运到Bj的物资总量应该等于Bj 的销量bj，所以xij还应满足：
m
xij bj
j 1, , n
mn
min f ( x) wijxij
i1 j1
ijmn11xxiijj
ai bj
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
xij 0
m
n
max g(u,v) aiui bjv j
i 1
j 1
ui v j wij ui ,v j 不限 i 1,2, ,m, j 1, 2, ,n
3、求入变量 xi*j* 的最大值及新基变量的解
– 从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“”和“+”， 表示“”和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡
– 标有“”的变量中最小者就是出变量xi*j* ，对应 xi*j*的值就是所求 入变量 xij 的最大值
– 标有“”的变量减去 xi*j*，标有“+”的变量加上 xi*j*
3 12 12
m n 7 有6个基变量
34
f (x) wijxij 205
i1 j1
22
2、最低费用法
• 采用最小费用优先分配的原则，看一步
编号
运费表{wij}
20 11 (3) 6
I 5 9 10 2
分配表{xij}
x13
5
10
18 7 4 1
12 15
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个产 地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； si表示产地 Ai 的产量；dj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果
cm1
cm2 … cmn
d1
d2 … dn
产量
s1 s2
┇
sm
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表（表 4-4）。
1.运输问题模型及有关概念
表4-4 运输问题变量表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
x11
x12 … x1n
s1 + s2 + … + sm = d1 + d2 + … + dn
则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
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┇ ┇ ┇┇
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31, , xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
3.2 运输问题的求解方法
• 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 • 基变量的个数远小于决策变量的个数 • 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 • 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
4、用位势法求新基变量的检验数
– 若所有 zij wij 0，则达到最优，算法停止；否则返回 1
28
例3.2.1 踏石法，以最低费用法所得初始解开始
编号
运费表{zij / wij}
ui
分配表{xij}
-2 / 20 2 / 11 3 0 / 6 3
5
5
I 5 9 10 7 / 2 10 3 3 4 x24 10
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
II 5 9 10 2
10
18 7 (4) 1
x33 12 15
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
20 11 3 6
分配表{xij}
5
III 5 9 (10) 2 3 3 4
5 10
f(x)=121，比 西北角法低
18 7 4 1
3 12 15 84
3 3 12 12 23
5
5
IV 5 9 10 2 7 3
7 10
18 7 4 1 3
3 7 5 15
13 - - 5
3 3 12 12
f(x)=98，比 最低费用法 又低了23
24
3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优
• 不采用单纯型法，如何获得xij的检验数 • 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出
对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原 问题的解不是最优解；否则，达到最优解
u1 u1
v1 v2
w11 w12
u1
u2
v1
v3 w13 w21
u2
v2
w22
u2
v3 w23
u1 , u2 , v1 , v2 , v3 不 限
26
位势法的原理
• 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij0， 则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0
-1 / 18 3 / 7 4 1 4
3+ 12 15
vj 5 1 0 3
编号
运费表{ zij / wij}
• 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij • m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 • 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 • 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 • 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量