混沌理论开题报告

理学院

学士学位论文开题报告

《混沌理论初步及其数值求解》

专业：信息与计算科学

*名：**

班级： 0901112

学号： 09

时间： 2013年05月

指导教师：***

混沌理论初步及其数值求解

一、本课题的研究目的和意义

19世纪末，20世纪初，在天体力学的研究中，法国数学家J.H. Poincaré发现三体间的引力作用与两体间的不同，三体间的相互作用能产生出惊人的复杂行为，其动力学方程的解具有不可预测性，是无法求出精确解的。其实，这是保守系统中的一种混沌，从而使J.H.Poincaré成为最早了解混沌可能存在的第一人。混沌是指发生在确定性系统中的随机过程。一个确定性的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。大自然中混沌的现象无处不在：河流的漩涡；烟囱发出的滚滚浓烟；天气的变化；虫口的增长；心脏搏动的不规则性等等这些都是混沌现象。在混沌理论的研究中，各种混沌现象不断被发现，它几乎存在于一切科学领域，尤其是在物理学、数学、天体力学、流体力学、生物学等方面。如今，混沌理论在信息科学、医学、生物、工程等领域具有非常广泛的应用价值。因此，在科学研究领域中，混沌理论被认为是20世纪人类在认识世界和改造世界中富有创造性的一次大革命。

二、国内外研究现状

混沌是在确定的系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，在非线性动力学系统中属于一种特有的运动形式。混沌学是近几十年发展起来的一门十分活跃的前沿学科，它是非线性科学的一个重要分支，与量子物理和相对论一起被称为二十世纪三项重要科学发现

[2]。如果说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦。”那么“混沌就是消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。”1963年，美国气象学家E.N.Lorenz的“蝴蝶效应”问世以来，混沌的研究得到了广泛的关注。混沌系统对初始条件和混沌参数的微小变化非常的敏感，是一种高度复杂的非线性动态系统，正是混沌运动的这些奇异特性，在很长的一段时间内，人们的头脑中形成了这样一种错误的观念，即混沌是不可控制的、不可靠的，同样重构完全相同的混沌系统也是不切实际的。直到1988年，A.Hubler发表了控制混沌的第一篇文章[3]，开创了研究混沌控制的先驱。中国学者郝柏林、郑伟谋在莫斯科国立大学将符号动力学应用于混沌研究的基础上，开始将符号动力学从一维系统推广到二维系统的研究。

近年来，混沌理论的应用得到了迅速发展，在许多方面都取得了一定的成果。如通信技术方面，混沌信号的类随机性以及产生方式简单等特点，使其在保密通信方面显示出得天独厚的优越性。混沌遮掩利用混沌波作为载波，对信号源进行加密和混沌同步实现掩盖通信，但是这种方法要求混沌信号的带宽要能够掩盖信息信号，如果不能满足这个条件，被加密的信息信号很容易通过线性滤波被提取出来。混沌理论在医学方面也得到应用，现有研究表明，心动周期信号具有混沌特征，研究发现对估计某些疾病的严重性来说，混沌特征参数是现有的功率谱参数更敏感的指标。国内外将混沌理论用于医学研究的报导主要限于脑电、心电方面的研究，以及在心脑血管学流动力学方面的应用。我国学者近年的一些在医学上研究成果指出人们大脑处于积极状况时，脑电图的波形是混沌的，当人们睡眠或不思考问题时，脑电图显示周期性波形，由此进一步研究可以构成了神经元动作的模型。在模式识别方面，可利用混沌轨迹对初始条件的敏感依赖性这一特点，通过混沌动力学系统构成模式识别系统。在图象数据压缩方面，把复杂的模式作为简单的混沌动力学系统的吸引子再现出来。把复杂的图象数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替。此时只需要记忆存贮这组动力学方程组的参数，相对于原始图象数据，数据量大大地减少了，从而实现了图象数据压缩。近年来关于混沌应用的报道大量涌现表明人们已从单纯研究混沌现象转向开发和驾驭混沌的种种特性以解决一些实际工程技术问题。

三、主要研究内容及要求

混沌理论是目前非线性科研的前沿问题。利用映射、导数、稠密性等基本数学理论，学习混沌的定义和等价判据，并进一步研究混沌

现象的数值计算方法。基于上述理论，讨论应用研究中经常用到的Logistic映射等的混沌存在性，以及研究作为发现混沌现象的洛伦茨模型的混沌数值解。

具体要求：

1、熟练掌握数学分析中的相关知识；

2、初步掌握符号动力系统及混沌的定义和等价判据；

3、掌握使用Matlab软件对混沌进行数值模拟；

4、开题报告需给出国内外研究现状，研究方案和技术路线，进度

安排等；查阅国内外近几年的文献，仔细阅读至少12篇，了解目前的研究现状，文献综述全面，并列出相关的参考文献；外文翻译中专业词汇必须翻译准确，语法语意基本正确；

5、论文完成题目内容，字数要求在10000—15000字，格式符合长

春理工大学本科生毕业设计(论文)规范化要求。

四、进度安排

第1-2周，完成开题报告，初步理解论文；

第3-4周，撰写综述，整理，总结相关文献并翻译英文文献；

第5-10周，钻研相关文献，撰写绪论并完成论文初稿；

第11-15周，修改论文，定稿；

第16周，准备论文答辩

参考资料与来源：

[1] 卢侃，孙建华，欧阳容百，黄来友（译），混沌动力学，上海翻译出版社，1992.

[2] 王树禾，微分方程模型与混沌，中国科学技术大学出版社，1999.