第1讲 直线与圆

D2＋E2－4F
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4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d<r 相交；d＝r 相切； d>r 相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关 系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离.
大时，则直线 l1 的方程是________.
17Baidu Nhomakorabea
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解析 (1)易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1， 又直线l3的方程为2x－my＝3， 由题意得 1×2＋4×(－m)＝0，所以 m＝12.
(2)当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.
∵A(1，1)，B(0，－1)，∴kAB＝－01－－11＝2. ∴两平行直线的斜率 k＝－12. ∴直线 l1 的方程是 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 答案 (1)D (2)x＋2y－3＝0
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【训练 2】 (1)(2019·成都诊断)一个圆经过椭圆1x62 ＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴 的正半轴上，则该圆的标准方程为________. (2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y ＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为________.
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3.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为 r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2 ，－E2，半径为
r＝
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4.(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x ＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径. (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由. 解 (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y ＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a). 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO| ＝2.
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3.(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相 切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
解析 法一 设过点 A(－2，－1)且与直线 2x－y＋3＝0 垂直的直线方程为 l：x＋2y＋t ＝0，所以－2－2＋t＝0，所以 t＝4，所以 l：x＋2y＋4＝0.令 x＝0，得 y＝－2，即 m＝ －2，则 r＝ （－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5. 法二 因为直线 2x－y＋3＝0 与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为 A(－2，－1)，所 以0－m（＋－12）×2＝－1，所以 m＝－2，r＝ （－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5. 答案 －2 5
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解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径 r＝ 2，圆心到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d＝ |21＋＋21| ＝2 2，所以圆上的点到直线的最大距离是 d＋r＝3 2，最小距离是 d－r＝ 2.易 知 A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2 2，所以 2≤S△ABP≤6. 答案 A
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－3＝0 的距离 d＝|2a－2 3|，
∴d2＋

262＝r2，即（2a－2 3）2＋32＝2a2，解得
a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案 (1)x2＋y2－2x＝0 (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
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(2)由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)， 直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)， 注意到kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，M又是两条直线的交点， 则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
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热点一 直线的方程
【例1】 (1)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝
－7”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：kx－y＋4＝0与直线l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点A，B，又l1， l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为________.
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考点整合
1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2
＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB22| . (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
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(2)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).
又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径 r＝2|a2|＝ 2|a|. 又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到直线 x－y
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真题感悟
1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2 ＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2，6] C.[ 2，3 2]
B.[4，8] D .[2 2，3 2]
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解 析 (1) 法 一 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F>0) ， 则 F＝0， 1＋1＋D＋E＋F＝0，解得 D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为 x2＋y2－2x＝0. 4＋2D＋F＝0， 法二 设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以 kOA＝1，kAB＝11－ －02＝－1，所以 kOA·kAB＝－1， 所以 OA⊥AB.所以 OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为 OB 的中点(1，0)，半径为 1. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即 x2＋y2－2x＝0.
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第1讲 直线与圆
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高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆 的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的 形式出现.
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解析 (1)由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0， 得m＝－1或m＝－7. 但m＝－1时，直线l1与l2重合. 当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13， 直线l2的方程为2x－2y＝8，此时l1∥l2. ∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件.
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2.(2019·北京卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方 程为________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线l为直线x＝－1， 所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2. 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 答案 (x－1)2＋y2＝4
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又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2 ＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP| ＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
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【训练1】 (1)(2019·长沙一中月考)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－ my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是( )
A.－8
B.－12
1
C.8
D.2
(2)已知 l1，l2 是分别经过 A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最
探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程. 2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知 条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E， F的方程组，进而求出D，E，F的值. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
故|MA|·|MB|≤225(当且仅当|MA|＝|MB|＝5 2 2时取“＝”).
答案
(1)B
25 (2) 2
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探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数 的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑 直线斜率不存在的情况是否符合题意.
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解析 (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心 在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2， 则m（24＋－4m＝）r22，＝r2，解得mr2＝＝23245，， 所以圆的标准方程为x－322＋y2＝245.
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热点二 圆的方程 【例2】 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为
________________. (2)(2019·安徽“江南十校”联考)已知圆 C 的圆心在直线 x＋y＝0 上，圆 C 与直线 x－y ＝0 相切，且在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为________.