固体物理第一章

3、 晶格分类
① 简单晶格：
性质：每个原胞有一个原子 → 所有原子完全“等价 ” 举例：具有体心立方晶格的碱金属具有面心立方结构 的 Au, Ag,Cu 晶体
② 复式晶格：
性质：每个原胞包含两个或更多的原子 → 实际上表示 晶格包含两种或更多种等价的原子或离子
结构：每一种等价原子形成一个简单晶格; 不同等价原子形成的简单晶格是相同的
3· 注意：复式晶格的原胞 = 相应的简单晶格的原胞 原胞中包含每种等价原子各一个 4· 原胞：B 原子组成的面心立方原胞 + 一个A原子
金刚石晶格的原胞
六、氯化钠(NaCl)结构
1· 特点：NaCl 结构的布拉伐格子是 fcc 格子 基元 = Na+ + Cl- (相距半个晶格常数) 2· 堆积方式: Na+ + 和 Cl-本身构成面心立方晶格 NaCl晶格 → Na 和 Cl- 的面心立方晶格穿套而成
非晶体
第二节 一些晶格的举例
学习内容：
定义 一、简单立方晶格（SC格子） 二、面心立方晶格 三、体心立方晶格 四、六角密排晶格 五、金刚石晶体结构 六、氯化钠结构
七、氯化铯晶格
了解几个定义：
1· 配位数：原子的最近邻（原子）数目 2· 致密度：晶胞中原子所占体积与晶胞体积之比 注：配位数和致密度 ↑→ 原子堆积成晶格时愈紧密 3· 密排面：原子球在一个平面内最紧密排列的方式 把密排面叠起来可以形成原子球最紧密堆积的晶格。
: 原胞内各种等价原子之间的相对位移 ra
1,2,.....,i
面心立方位置的原子 B 表示为：l1a1 l2a2 l3a3
立方单元体内对角线上的原子 A 表示为: l1a1 l2a2 l3a3
其中 为 1/4 体对角线
构成：由面心立方单元的中心到顶角
由若干个相同的 简单晶格 相对错位套构而成
Cs+
ClCsCl 结构
NaCl晶格结构的典型单元
举例：
★NaCl，CsCl — 包含两种等价离子 六角密排晶格结构 Be,Mg,Zn 金刚石晶格结构 C,Si,Ge
A
a
★所有原子都是一样的
包含两种等价原子
复式晶格的原胞：就是相应的 简单晶格的原胞，在原胞中包 含了每种等价原子各一个。
简单斜方
简单长方 中心长方 简单正方
b
ɤ
a
b
a
简单六角
b
a
b
a
底 简 面 底心 简单 体 心 单 心 正交 六方 心 单 三 正 立 斜 斜 交 方
简 简 简单 简 体 简 体 面 单 单 四方 单 心 单 心 单 正 菱 正 立 四 立 斜 交 方 交 方 方 方
二 、原胞
所有晶格的共同特点 — 具有周期性（平移对称性）
引8条对角线，在其中互不相邻的4 条对角线的中点，各加一个原子 — 得到金刚石晶格结构！
特点：每个原子有4个最近邻，它们正
B A
τ
金刚石晶格结 构的典型单元
好在正四面体的顶角位置！
三、 晶胞(单胞)
晶胞：为反映晶格的对称性，在结晶学中选择较大 的周期单元 → 称为晶体学原胞
晶胞的基矢：沿晶胞的三个棱所作的三个矢量，常 用 表示。
单个原子或离子或若干个原子的集团
① 格点：代表基元中空间位置的点称为格点 一切格点是等价的 — 每个格点的周围环 境相同 → 因为一切基元的组成，位相和取 向都相同!
② 布拉伐（Bravais）格子： 用一个点 来代表基元中的空间位置（例如：基元的 重心），这些呈周期性无限分布的几何点的集合形 成 的空间点阵
第一章 晶体结构
学习内容：
前言 第一节 晶体结构的周期性 第二节 一些晶格的举例 第三节 晶面、晶向和它们的标志 第四节 倒格子 第五节 晶体的对称性
第一节
晶体结构的周期性
一、布拉伐格子 二 、原胞 三、 晶胞(单胞)
一、布拉伐格子
→ 表征了晶格的周期性
理想晶体：可看成是由完全相同的基本结构单元 （基元）在空间作周期性无限排列构成
3· 原胞： a , a 在密排面内，互成1200角，a 沿垂直
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
1 2
3
B A
六角密排晶格的堆积方式 a A
a3
B
c
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
六角密排晶格结构的典型单元
4·注意: A 层中的原子≠ B 层中的原子 → 复式晶格 由分别位于A层与B层的简单六角格子 沿OO’方向穿套而成！
为：
a1.a2 a3
二维晶格原胞的面积 S 为：
S a1 a2
一维晶格原胞的长度 L 为最近邻布拉伐格点的间距 ② 原胞的取法不是唯一的（基矢取法的非唯一性）
③ 平行六面体形原胞 — 固体物理学原胞， 有时难反映晶格的全部宏观对称性 →Wigner-Seitz 取法
B
c
六角密排晶格结构的典型单元
４、位置坐标描述晶格周期性：
简单晶格： 每个原子的位置坐标：l a 1 1 l2a2 l3a3
a1, a2 , a3 为晶格基矢
l1 , l2 , l3 为一组整数
复式晶格：
每个原子的位置坐标：r l1a1 l2a2 l3a3
∵bcc 的一个立方单元体积中，包含两个原子, ∴此原胞中只含有一个原子 → 其为最小周期性单元!
A B
a1
a3
a2
体心立方晶格的典型单元
A B 体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的原胞
四、六角密排晶格
1· 配位数 ：理想情况 — 所有相邻原子之间的距离相 等 → 轴比 c / a 8 / 3 1.633 配位数为12 实际值在1.57~1.64之间波动 2· 堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A 层，中间的三个原子为 B 层
用原胞和基矢来描述
描 述 方 式
位置坐标描述
1、 定义：
原胞：一个晶格最小的周期性单元，也称为固体物理学原胞
晶格基矢:指原胞的边矢量，一般用 a1, a2 , a3 表示
2 、注意：
① 三维晶格原胞(以基矢 a1, a2 , a3为棱的平行六面体
是晶格体积的最小重复单元） 的体积
a, b , c
晶格常数：指晶胞的边长
注意：
固体物理学原胞:最小重复单元—只反映周期性 (n=1) 晶体学原胞:反映周期性和对称性 （n ≥2)
非晶体中，质点虽然可以是近程有序的(每一黑点为 三个圆圈围绕)，但不存在长程有序！ 液体和非晶体中的短程序： 1.参考原子第一配位壳层的结构 有序化，其范围为0.35 — 0.4nm 以内； 2.基于径向分布函数上可以清晰 的分辨出第一峰与第二峰，有明 确的最近邻和次近邻配位层，其 范围一般为0.3 — 0.5nm
4· 晶格的三个基矢：
a a i j k 2 a a i j k 2 a a i j k 2
1 2 3
3 3 3 3 a a a a a 5. 原胞的体积： a a a a a V V原胞 a a a 1 1 2 3 原胞 原胞 1 1 2 22 3 33 原胞 2 2 2 2 1 1 1 1 bcc bcc 原胞 原胞 bcc bcc 原胞 原胞 2 2 2 2
a ai a aj a 为晶格常数 a ak
1 2 3
a3
a1
a2
简单立方 晶格原胞
二、面心立方晶格（face-centered cubic — fcc）
1· 配位数：每个原子在 上、下平面位置对角线上 各有四个最近邻原子 — 配位数为12 2· 堆积方式：ABC ABC ABC……,是一种最紧 密 的排列方式，常称为立方密排晶格 3· 原胞: 由一个立方体顶点到三个近邻的面心引晶格 基矢，得到以这三个晶格基矢为边的原胞
3· 原胞：Na+ 的面心立方原胞中心 + 一个Cl--
NaCl晶格结构的典型单元
NaCl晶格的原胞
七、氯化铯（CsCl)晶格
1· 特点：布拉伐格子是 SC 格子 → Cs+ + Cl- 分别形成 的SC格子套构而成的复式晶格
2· 原胞：Cl- 的简单立方原胞中心 + 一个 Cs+
Cs+
Cl-
CsCl晶格的典型单元
A
a
c
A层
B
六角密排晶格结构的典型单元
B层
A层内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向，不同于B 面内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向！
五、金刚石晶体结构
1· 特点：每个原子有4 个最近邻，它们正 好在一个正四面体的顶角位置 2· 堆积方式：立方单元体内对角线上的原子 — A 面心立方位置上的原子 — B 金刚石晶格 A、B 两个面心 立方晶格套成 相对位移 = 对角线的1/4
CsCl晶格的原胞
补充：魏格纳Wigner - 塞兹Seitz原胞（对称原胞）
1.它是体积最小的重复单元,具有Bravais格子的全部 宏观对称性 2.每个原胞只包含一个格点 魏格纳 - 塞兹原胞的格点位于原胞中央；
平行六面体形原胞的8个格点位于平行六面体的8个 顶角，每个格点为8个原胞所共有 —— 每个原胞平
Rl l1a1 l2a2 l3a3 中取一切整数值 等价数学定义：
所确定的点 的集合称为布拉伐格子。
(a)基元
(b)晶体结构
: 两类不同的原子 : 基元中特定的点 — 格点 黑点的总体形成 Bravais 格子
布拉伐格子 + 基元 = 晶体结构
③ 格矢量：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其 称为格矢量。可表示为 他格点的矢量 R 为 一组基矢 l ，a R l a l a l a 1, a2 , a3
33
3
6· 判断此原胞为fcc格子的最小周期性单元 a3 a a a 1 2 3 原胞 ∵ fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数： 4 4 a 1 又∵ 原胞 fcc 4 a a ∴原胞中只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元 注： fcc 晶格方式是一种最紧密的排列方式 — 立方密排晶格！
一、简单立方晶格（SC格子）
1· 配位数：每个原子的上下左右前后各有一个最近邻 原子 — 配位数为6 2· 堆积方式：最简单的原子球规则排列形式 — 没有 实际的晶体具有此种结构
简单立方晶 格堆积方式
简单立方晶 格典型单元
3· 原胞： SC格子的立方单元是最小的周期性单元 — 选取其本身为原胞 4· 晶格的三个基矢：
B
C A
面心立方晶格的堆积方式
a1 a3 源自2面心立方晶格的原胞面心立方晶格的典型单元和原子密排面
三、体心立方晶格（body-centered
cubic — bcc)
1· 配位数:每个原子都可作为体心原子，分布在八个 结点上的原子都是其最近邻 原子 ,CN=8 2· 堆积方式：正方排列原子层之间的堆积方式表示 为 AB AB AB…… 原子球不是紧密靠 在一起 3· 原胞：由一个立方体顶点到最近的三个体心得到晶 格基矢,以它们为棱形成的平行六面体构成 原胞
a i j a1 2 a j k a2 2 a k i a3 2
4· 晶格的三个基矢：
a a a 5· 原胞的体积： a a 3a a a a a 2 a a 1 1 22 3 原胞 原胞 1 3 原胞 4 4 4 1 11 fcc fcc 原胞 原胞 fcc 原胞 4 4 4
l 1 1 2 2 3 3
注意事项： 1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的 2 4 ·
x
1
3
二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法 2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子
二维晶格的晶系和布拉伐格子 晶系 轴和角度 布拉伐格子
斜方
长方 正方
六角
a≠b ɤ ≠90℃ a≠b ɤ = 90℃ a=b ɤ = 90℃ a=b ɤ=120℃