_年福建省高等职业教育入学考试数学试卷(含答案)

准考证号 姓名
（在此卷上答题无效）
2015年福建省高等职业教育入学考试
数学试卷
(面向普通高中考生)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：
1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试卷上作答，答案无效．
3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据12,,...,n x x x 的标准差 锥体体积公式
s =
13
V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式 V Sh =
24S R =π，343
V R =π
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共70分）
一．单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1.设集合{}1,3,5A =，{}1,2B =，则A
B 等于（ ）
A.{}1
B.{}1,3,5
C.{}2,3,5
D.{}1,2,3,5
2.函数2()log f x x =的图象大致为（ ）
A B C D
3.已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则a b ⋅的值为（ ）
A.1-
B.0
C.1
D.2
4.已知()3sin(3)4
f x x π
=+
的最小正周期是（ ）
A.
3
π
B.23π
C.3π
D.6π
5.下列几何体是棱柱的是（ ）
A B C D
6.圆2
2
20x y x +-=的圆心坐标为（ ）
A.（1 , 0 )
B.( 2 , 0 )
C.( 0 , 1 )
D.( 0 , 2 )
7.若,x y R ∈，则“0x <且0y <”是“0xy >”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.椭圆2
212
x y +=的离心率为（ ）
A.
1
2
9.已知函数()2x
f x x =+的零点所在区间是（ ）
A.(2,1)--
B.(1,0)-
C.(0,1)
D. (1,2)
10.设,x y 满足束条件 1 11 x x y y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则z x y =-+的最大值等于（ ）
A.2-
B.1-
C.0
D.1 11.在△ABC 的内角030A =，2AC =
，AB =BC 等于（ ）
12.如图，在正方形ABCD 中，以对角线AC 和BD 的交点O 为圆心作圆O ，若在正方形ABCD 内，随机取一个点，则此点取自于阴影部分的概率是（ ）
A.
14 B.13 C.12 D.3
4
13.函数4
()1f x x x
=+
+（0x >）的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
14.设函数()f x 是定义在R 上的增函数，且不等式2
(m 2)()f x f x +<对x R ∈恒成立的取值范围是（ ）
A.(,1)-∞-
B.(,1]-∞-
C.(1,)+∞
D.[1,)+∞
第II 卷（非选择题 共80分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上） 15．(1)(1)i i +-= ；
16．在一次抽样调查中，采用分层抽样选取样本，其中男生28人，女生21人，共抽取7人，则女生抽取________人；
17．已知函数(4),0()(4)0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩
，，则(3)f = ；
18．一个圆柱体的体积为3
128cm π的易拉罐有上.下底面，求高为 时用的材料最少.
三.解答题（本大题共6 小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分8分）
已知函数2
()sin 22cos 1f x x x =+-. （Ⅰ）求()4
f π
的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值.
20. （本小题满分8分）
已知等差数列{}n a 中，131,6a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a
n b =，求1235b b b b ++++的值.
21. （本小题满分10分）
右图是某公司5个销售店某月销售某机器的数量（单位：台）的茎叶图. （Ⅰ）求该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数；
（Ⅱ）该公司为提高销售业绩，从5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量均高于平均数的概率.
22. （本小题满分10分）
5
323642
设直线l 过抛物线Γ：2
2y px =（0p >）的焦点F ，且与抛物线Γ相交于A ，B 两点，其中点(4,4)A .
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程； （Ⅱ）求线段AB 的长.
23. （本小题满分12分）
某实心零件是一几何体，其三视图如图（单位：毫米，π取3.14）. （Ⅰ）求该零件的表面积；
（Ⅱ）电镀这种零件需要用锌，已知每平方毫米用锌41.110-⨯克，问电镀10000个零件需要用锌多少克？
24.（本小题满分12分）
侧视图
正视图
已知函数3
1()13
f x x ax =
-+，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线与y 轴垂直 （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求()f x 在区间[2,2]-上的最大值； （III ）是否存在实数k ，使得直线4
(1)3
y k x =--与曲线()y f x =有三个交点？若存在，求k 的范围；若不存在，说明理由.
2015年福建省高等职业教育入学考试
数学试卷答案及评分参考
（面向普通高中考生）
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．A 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 13．D 14．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
15．2 16．3 17．21 18．8cm
三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解：（Ⅰ）因为2
()sin 22cos 1f x x x =+-，
sin 2cos2x x =+ ……………………………………………2分
)4x π
=
+． …………………………………4分
所以()4
f π)44
π
π
=
⨯
+ 3
4
π= 1= ……………………………………………6分
（Ⅱ）因为())4
f x x π
=
+
所以 max ,()x R f x ∈=……………………………………………8分 20. 解： （Ⅰ）设等差数列
{}
n a 的公差为d ，则
()()131111,26
a S a a d a d ==++++=
解得 1d = ……………………………………………2分 所以
()11n a a n d n
=+-= ……………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n
a n n a n
b ==，得
51212522,24,,232,
a a a
b b b ====== …………………………………6分
1235243262
b b b b ∴+++
+=++
+= …………………………………8分
21. 解：（Ⅰ）该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数为
1
(2426323335)305
++++=台 …………………………………..4分
（Ⅱ）设5个销售店中低于平均数的数量为12a a 、，高于平均数的数量分别为
123b b b 、、，则从5个销售店中随机抽取2个进行分析的可能情况为
()()()()()1211121321,,,,,a a a b a b a b a b 、、、、、
()()()()()2223121323,,,,,a b a b b b b b b b 、、、、 共10种情况，
…………………………………..6分
记“从5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量均高于平均数”为事件A ，则可能的情况为
()()()121323,,,b b b b b b 、、 共3种， …………………………………..8分
所以3
()10
P A =
. …………………………………..10分 22. 解：（Ⅰ）把点(4,4)A 代入抛物线Γ： 2
2y px = 得
2424p =⋅ ………………………..2分
解得2p =
24y x ∴= ………………………..4分
（Ⅱ）直线AB 的方程为
44
0414
y x --=
--，化简得 4340x y --= …………………………………..6分
与抛物线方程2
4y x =联立可得
241740x x -+= ………………………………….8分
设点B 的坐标为(),B B x y ，则1744
B x +=
所以1725
44
AB p =
+=
线段AB 的长为25
4
. ………………………………….10分
23.解：（Ⅰ）由三视图可得该几何体是一个棱长为20毫米的正方体
上面放置了一个半径10毫米的半球
………………………..3分
所以其表面积S 为
2
62020210101010
24001002086s mm πππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-≈ ………………………..6分
（Ⅱ）10000个这种零件的表面积为
272100002086 2.08610mm mm ⨯=⨯
……………..9分
需要用锌为
7432.08610 1.110 2.310-⨯⨯⨯≈⨯克
答：电镀10000个零件需要用锌32.310⨯克. ………………………..12分
24.解：（Ⅰ）因为函数3
1()13
f x x ax =-+
所以2
()f x x a '=- ……………………….. 1分
因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线与y 轴垂直 所以(1)0f '=，即10a -=
解得1a = ……………………..3分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得函数3
1()13
f x x x =
-+，2()1f x x '=- 令()0f x '=，解得1x =±，列表如下
由上表可知()f
x 在区间[2,2]-上的最大值为5
3
……………..8分 （III ）因为直线4(1)3y k x =--经过定点直线4
(1,)3
A -，做示意图如右，可知当直线与
曲线相切，或0k <或不存在时，直线与曲线有且仅有1个交点. (10)
分
设直线4
(1)3
y k x =--
与曲线相切于点()00,x y ，则 004
(1)3
y k x =--，
30001
13
y x x =-+，
201k x =-
解得3k =
从而存在实数()3,k ∈+∞，使得直线4
(1)3
y k x =--
与曲线()y f x = 有三个交点. ………………..12分。