注重解题反思

注重解题反思，提高解题能力
衢江区杜泽中学 黄钦荣
【内容摘要】：注重解题反思教学，提高学生解题能力，训练学生进行有效的解题反思势在必行。

在例题教学中要安排反思教学环节，要注重加强解题教学后的反思训练，培养学生反思习惯，增强学生的反思能力。

教师要重点对解题过程，解题方法进行反思，更离不开对题目的条件或结论进行变式，引申推广后的反思，这样就可以使学生加深对问题的理解，优化思维过程，体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感，从而提高学生的解题能力。

【关键词】：解题 反思 能力
元认知是指人们对自己的认知加工过程的自我觉察、自我评价、自我调节；反思则是人们对自己认知过程的再认识。

解题反思则是对解题活动的再认识，属于解题活动的“元认知”，它是对解题活动的深层次再思考。

她不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾和重复，而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性，解题反思不仅有助于对知识的深刻理解，提高对知识理解的层次，而且还能帮助学生提高数学思维的“变通”性，从而提高学生的解题能力。

古人云：“反求诸己”、“扪心自问”、“笃学善思”、“学而不思则罔，思而不学则殆”，这些要求的本质就是强调反思。

培养学生的解题反思，不仅是正确迅速解决问题的需要和保证，而且是优化学生思维品质，提高学生解题能力的有效途径。

一、反思解题思路，拓宽学生的解题方法
我们知道，解题是数学学习活动的基本形式，解题教学就是解题思维过程的 教学，教会学生如何思考是解题教学的目的所在。

在解完一道题后，引导学生对解题思路进行反思，看能否根据该题的特点进行多角度的思考、联想，寻求各种思路，从而拓宽解题方法。

【例1】：已知等比数列{a }n 中，2316,64..m m m S S S ==求
解：设公比为q ，由题意知1q ≠，则
121(1)161(1)641m m a q q a q q
⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩①②
① 与②两边相除得 3m q =，代入①得：
181a q =-- 313(1)208.1m m a S q q ∴=
-=- 反思本题的解题思路，我们还可以发现以下几种解法：
解法一：利用等比数列性质：().n m n m a a q n m -=>
21212m m m m S a a a a a +=++++++1()m m m S q a a =+++
(1)
m m S q =+ 3m q ∴=
23(1)208.m m m m S S q q ∴=++=
解法二：易证，等比数列依次每k 项和仍是等比数列，故
设122332,,.m m m m m T S T S S T S S ==-=-
{}n a 成等比数列，123T T T ∴、、也成等比数列
222132322232,()(),
()208.m m m m m m m m m m T TT S S S S S S S S S S ∴=∴-=--∴=+=
解法三：运用函数方法. 111(1)(1),(,)(1)111
n n n n n a q a a S q q S y x q q q -==-∴=----在直线上. 2323(,)(,)(,).m m m m m m q S q S q S ∴点、、三点共线
322322322,()208.m m m m m m m m m m m m m S S S S S q S S S q q q q
--∴=∴=-+=-- 一题多解，每一种解法可能用到不同的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷，最合理？把本题的每一种解法进一步推广，可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用。

我们要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的类似问题，便会迎刃而解， 这对提高解题能力尤其重要。

二、反思错题原因，提升学生的解题纠错能力
学生在解题过程中可能会出现形形色色的错误，为了纠错，教师应当通过引
导学生反思错题原因，通过必要的反思，找出自己解题出错的原因，探究改错的方法，提出防范的措施，拓展解题的思路，并及时使自己的知识进一步系统化，提升学生的解题纠错能力。

【例2】：已知实数,,,a b m n 满足22224,9,a b m n am bn +=+=+求的最大值. 学生在解答中常常出现多种错误，其中两种典型的错误是：
错解1：2222max 1313,().2222
a m
b n am bn am bn +++≤+=∴+= 错解2：22222213()()2222.a m b n a m b n am bn am bn =+++=-+-++≥+ m a x 1313,().22
am bn am bn ∴+≤+=即 如何引导学生发现自己的错误呢？
对于错解1，教师可以提问学生：解法中用了基本不等式，何时取“等号”？此时当且仅当,a m b n ==时取等号，这时我们会发现49=，矛盾！那么，为什么会出现这样的错误，这是因为两次运用了基本不等式，涉及到两次取等号，但两次等号不能同时取到，所以按这种解法，am bn +的最大值取不到。

在此基础上，我们可对学生进一步强调：求最值时若多次运用基本不等式应注意等号能否同时取到，它能够帮助我们在解题的过程中及时地调整自己的思路。

对于错题2，教师可启发学生反思：解法中没有运用基本不等式，又错在哪儿呢？事实上我们两次运用“完全平方非负”进行放缩，同样的道理，两次等号不能同时取到。

反思了致错的原因后，可再进一步回到探究问题求解目标的基础上，通过将条件进行必要的整体处理后再使用基本不等式，为此可发现有多种解法。

正解1：2222()()36a b m n ++=
222222222222362()a m b n a n b m a m b n a n b m a m b n
∴=+++≥++=+ 即：236(),am bn an bm ≥+=当且仅当时取等号，
所以： 6.am bn +≤
正解2：据题设，可以进行三角代换：
令2cos ,2sin ,3cos ,3sin a b m n ααββ====
6(c o s c o s s i n s i n )6c o s (
a m
b n αβαβαβ+=+=-≤ 即： 6.am bn +≤
正解3：据题设可构造向量，设(,),(,)p a b q m n ==
于是2,3,p q p q am bn ==⋅=+
而cos 6cos 6p q p q θθ⋅==≤
所以： 6.am bn +≤
对本题解答的结果进行反思，还可获得如下一些结论：
（1）上述正确解法1的实质是22222()()(),
am bn a b m n +≤++当且仅当an bm =时取等号。

（2）本题条件与结论可进一步推广，本质是柯西不等式：
222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++
+≤+++⋅+++，当且仅当1111n n
a a a
b b b ===时取等号。

三、反思解题策略，提高学生解题“变通”能力
解数学题离不开解题策略的，而解题策略的选择是以数学思想方法伟基础 的。

数学思想方法是数学的灵魂，是对数学的本质的认识。

解题策略的选择是一种有目的的思维活动，然而并不遵循严格的逻辑规则，往往有许多中间性的跳跃，它通常是依据知识经验和审美判断，对解决数学习题的途径和方法作出总体性的决策，带有一定程度的猜测性和预见性。

解题策略的选择与运用往往对解题过程的繁简起着决定性的作用。

一道题目解完后，引导学生反思所应用的解题策略，探索新的解题思路，对提高学生解题“变通”能力颇有益处，这也是课程改革的基本要求。

【例3】：已知椭圆C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.
（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；
（Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
解后反思：这是一道典型的平面解析几何问题。

关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题，常用“设而不求”的策略，利用方程思想和韦达定理解决，有时，也可以用焦半径公式（椭圆和抛物线的公式有所区别）来解决。

这就是“一题多解”。

如果将题中的“椭圆”换成“双曲线”会怎样呢？可以进行“一题多变”，拓展思路，训练思维，形成能力，达到提高学生解题的“变通能力。

【例4】：求函数sin 2cos x y x
=-的最大值和最小值 本题的一般解法为运用二倍角公式转化为：2
2tan
2
.13tan 2x y x =+ 令tan 2x t =，则 2213t y t =+
∆”法可求得：y ≤≤上述的转化仍停留在代数结构内部，且半角公式教材已删除，只能由二倍角转化，运用上述解题思路过程比较繁琐。

我们可以引导学生思考：有没有更简便的方法？由已知函数的表达式的结构形式还能联想到什么？如果学生的认知结构中“2121y y k x x -=-”能迅速被提取并与“0(sin )2cos x y x --=-”比照，问题马上转化为：求点(2,0)A 与点(cos ,sin )B x x -连线的斜率的最值。

考虑
到懂点B 的轨迹为单位圆，则问题马上迎刃而解。

解题的策略仍然是“转化”，但跳跃性大，是运用数形结合思想将代数问题转化为几何问题。

经常进行这样的反思训练，对提高学生解题的变通能力是很有好处。

四、反思变题，提高学生的解题“灵活”能力
一个问题解答完之后，回头看题目本身，常常会有深一层次的认识，比如： 条件有没有多余？结论可不可以加强？结论可不可以推广？如果条件发生某些变化，会不会影响结论成立？经常进行这样的反思，将有利于增强学生的解题能力，特别是提高学生的灵活运用能力。

【例5】；已知0,x >求函数1y x x =+的最小值。

这是一道基本不等式的题目，我们可以立足问题结构进行必要的反思，并因此将原题进行一系列的变化，通过对问题的条件和结论进行改变，我们可以进行以下的变题：
变题1；13,x y x x
≥=+已知求函数的最小值. 本题因条件发生变化，所以不宜利用基本不等式求解，但可用函数的单调性来解。

变题2：11,.1
x y x x >=+-已知求的最小值 本题要把原函数进行变形：11(1)1,1011
y x x x x x =+=-++->--且，所以可以利用基本不等式求解。

变题3: 210,.x y x x
>=+已知求的最小值
本题也是把原函数进行变形：2211122y x x x x x =+
=++≥=
仅当21,.2x x x ==即： 一般地说，习题变式的具体操作方法很多，比如，从题目的形式入手可以有：变化条件、变化结构、逆向调换条件和结论；从题目条件结论之间的逻辑关系入手可以有：类比、强化、弱化。

除此之外，还有同一种解法（或者体现了同一种思想），但涉及了不同的知识点的若干命题组合在一起（多题一解、多题归一）的广义变式等。

总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括， 对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题后的反思及反思后的效果，通过解题反思，做一道题，会一套题，解决一种题型，复习一系列知识，掌握一两个规律，有效地进行解题训练，提高学习效率，提高解题能力，达到了 “用学过的知识与方法，解决没有见过的题目”的高度，从而享受探究数学问题带来的成就感。

常此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。

参考文献：
1、罗增儒.数学解题学引论.陕西师范大学出版社，2001.
2、杨俊林.例谈数学解题反思的收获.中国数学教育（高中版）,2011(3).
3、汤晓燕.解题反思：内涵理解与实践探索.中学数学研究（南昌），2011(4).
4、梅红卫.浅议解题后的反思.高中数学教与学，2000(1).。