学会探究——一道课本习题的思考

点的 直线为Ｙ 七 等（≠） 即 ÷ ＋ 将上 ＝ 一 ） ０， ＝ ， 庀
式代入 Ｙ ＝２ ，得 Ｙ ＝２ （ ，去分 母整理 得 ｐ＿ Ｐ） Ｙ十
一
２ ｘ ｋ ＝０，设这个 方程 的两根为 Ｙ ，Ｙ ，则 ｐ —ｐ 。
（） 以 Ａ ２ Ｂ为直 径 的圆与准线 ＝一 相切 ；
Ｂｍ
ｇ
Ｐ Ｊ （ （ ＋ ， Ｑ（ 卜 ＝＋ ＋ 卜 等 １
易 知被 开方 数可看 作 关于 ｘ Ｘ 的二 次 函数 ， 由 —ｏ 二次 函数 的性 质可 得 Ｐ Ｑ的最 小值 是 ：
Ｐ ． ＝
￣Ｉ Ｉ Ｐ ＝ Ｑ
＝
厮
＝『－ｍ － ２ 、 Ａ ２ Ｂ ｍ
一
Ｙ ＝２ ｘ的焦 点 的一 条直 线和 此抛物 线相 交 ； 个交 ｐ 两
问题 是数 学 的 “ 心脏 ” ，随 着 课 标课 程 理 念 的 深
入 ，对于数 学 问题 ，应让 学 生“ 会探 究” 学 ，在 探究 过 程 中 ，寻求 知识 的联系 、 方法 的整合 、规 律 的发现 ， 领悟 数 学解题 “ 八方 联系 ，浑 然一 体 ；漫江 碧透 ，鱼 翔 浅底” 的意境 ，真 正使 学 生的数 学 思维在 问题 探 究
（） Ｚ Ｏ ５ Ａ Ｂ为钝角 ；
率不存在情况的证明 （ 事实上，当斜率不存在时 ，
，
设 ｘ ｘ ＝Ｐ， Ｙ ０ —ｏ —Ｙ ＝ｑ，
联上 个子：一＝ ’ 立面 式 １ 。 两 得Ｊ ｇ 和 一 ｐ＝ ｍ ＋
— —
不 妨假 定 Ｂ≠０，上式变 形得 ：
ｍ
Ａｍ
ｙ Ｙ 一 －（ ｘ） ’ － ｏ ｄ 卜 ｏ一
解 之得 ：
ｐ 丽
一ห้องสมุดไป่ตู้
’
代入Ｊ ＝ （—ｏ ＋ Ｙ）， Ｐ √ ｘ （—ｏ 得 Ｑ ）
分 析 求点 到线 的距 离也 就是 就 这 点 到直 线 的
垂直 线段 的长 ，而直 线外 一 点 与直 线 上 的 点所 引的
线段 中 ，垂 直 线段 最 短 ，基 于 这 个事 实 可 用 函数 思
想可解．不妨设过 Ｐｘ ，ｏ且平行于直线 工 （ Ｙ） ｏ 的直线
Ｍ ： ｘ ＋ ｍ， Ａ＋ Ｃ＝ 在直线 上任取一点 Ｑ ， ） （ ，
点 Ａ ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （ ） （ ， ），求 证 ： ＿， ，
２ ６
福 建 中学数 学
２１ ０ ０年第 １ ０期
Ｙ ２ Ｐ ．” ＝一 为例 ，对如 何学会 探究作一 个讨论 ． Ｙ
过 不 断 的拓展 、联 系 ，使 知识 浑然 一体 ，从 而 形成
１ ．改进 方法 ，探 究解题 过程 的优化 学生 的解答如 同教学参 考书 上的解答 ：“ 过焦 设
优 良的认 知结构 ． 下 面为 对 本题 的探 究过 程 ，限于 篇 幅 ，仅对 部 分 问题进 行证 明 ． 探究 １原 题 的条 件不 变 ，可得 结论 ：
（ ） ＸＸ ＝ １ １２ Ａ ；
题）
（ ）设 、 Ｂ在 准线 上 的射 影 是 Ａ 、 Ｂ ，则 ３ Ｚ Ｂ ＝９。 （ 本第 １３页复 习参考题 八 Ｂ组第 ２ ＡＦ ０ ；课 ３
（）设 直线 Ｏ ４ Ａ与准 线 ＝一 相 交于点 Ｍ ，则 Ｂ ／ 轴 ；（ 本第 １３页 习题 ８ Ｍ ／ ｘ 课 ２ ． ６题） ６第
有 ：笙： 。” ：二 一 ．
这 一解答看 似无误 ，但细 究存在 问题 ．
首 先 ，笔者 问学 生 ：你 们有 没 有发 现 上面 的解 答存在 漏洞？ 后 来 ，学 生发现 问题有 二 ：（ ） ｋ １ ≠０没有 证 明 （ 其证 明可用反证 法 ，假 设 ｋ＝０ 线为 Ｙ＝０，与抛 直 物线仅 有一个 交点 ，与 已知矛 盾 ） ２ ；（）是 忽略 了斜
２ １ 年第 １ 期 ００ ０
福建中学数学
线 的 方 向 向量 为 （ ， ） １ 一Ａ
，
２ ５
设 Ｐ ，从 而 有 ＱＪ Ｉ
（Ｘ昙 —） ，联 直 的程 ｘｏ （ｙ 。 立 线 、 方得 － 一 ｏ 又 ） ＝
ｆ ｘ Ｂ Ｃ＝０１ Ａ ＋ ｙ＋ （ ）
Ｉ ＋ ＋ ｍ２ Ｃ＝ （ ）
Ｊ ＋ 。ｃ ＋Ｉ
４ Ｂ ＇ Ａ＋
：
— ＝ ＝＝＝ ＝＝ ＝ — ＝ ＝ ＝
４—＋— ｒ—— Ａ —Ｂ ——一 — — —
４ － 一 Ａ４ Ｂ ■
Ｉ ＋ ＋ｌ 。 ｃ
’
易 验证 Ｂ Ｏ 足 上式 ． ＝满
如 果 学 了平 面 向量 知 识 ，就不 妨 用 下面 的方 法
高．
过 Ｐ ｘ，ｏ 且 平 行 于 直 线 ￡ 的 直 线 Ｍ ： （ Ｙ１ ｏ
Ａ＋ ＋ ＝ ｘ Ｃ ｍ，在直线 上任取一点Ｏ ｘ Ｙ ， （ ，） 直
学会探 究—— 一道课本 习题 的思考
金江华 浙江省绍兴市高级中学 （１００ ３２ ０ ）
的过程 中发 展 ． 本文 以全 日制 普通 高 级 中 学教 科书 （ 必修 ）数 学第二 册 （ ）第 １９ 页 习题 第 ７题 ：“ 上 １ 过抛物 线
Ｐ ＝ （— ｏ ＋ Ｙ） Ｑ ｑｘ Ｘ （— ｏ ） ，
（ 一 ２ 得 ：Ａ ｘ ） （ — ｏ ＝－ ， １ （） ） （ — 。＋Ｂ ｙ Ｙ ） ｍ
联直 的程仨 立 方得
（ 一（） ： Ａ ｘ Ｘ） Ｂ ｙ Ｙ ） ｍ， １ ２得 ） （ ～ ｏ＋ （ — 。 ＝－
解决．
易 验证 Ｂ ０满足 上 式 ． ＝ 在 教 学 中 ，启 迪 学 生解 题 后如 此反 思 ，对 重 要
数学 方 法 、公 式 、定 理仿 上 依 法 炮制 ，长此 下 去 ，
平 面 向量 知识 的运 用 不 妨假 定 Ｂ≠０，不 妨设
肯 定 对新 学知识 的 内在联 系 脉 络清 楚 ，运 用 规律 了 如指 掌 ，解 起 题来 得 心应 手 ，解题 能 力 也将 大有 提