等比数列的概念课件公开课
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等比数列 a n ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时,这是 一个常函数。
an 0
an a1 q
n 1
变形结论:
在等差数列 a n 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问:在等比数列 a n 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。
a1 q
即为
b1 q2 与a1 q b1 q2
n1 n
n 1
n
a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数, n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
(n-1)个 式子
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d (a1 2d ) d
a1 3d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
… …
an q n 2 an 1 等比数列通项公式的推导:
方法一:累积法
a5 (2)一个等比数列中,
a1 = 15, a4 - a2 = 6 ,求它的第3项;
等比数列的例题
求证
例2 已知 an , bn 是项数相同的等比数列,
an bn 是等比数列.
n1 1 n1
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为:
a2 q a1
a3 q a2 a4 q a3
an q an 1
… …
方法二:归纳法
a2 a1q
(n-1)个 式子
a3 a2 q (a1q)q 2 a1q
a4 a3q (a1q )q
2
a1q
3
… …
n 1
an n 1 q a1
an a1q
等比数列的通项公式
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1,3,9,27,8Fra Baidu bibliotek,…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5, 5, 5, 5, 5, 5, … 1,-1,1,-1,1,… 1, 0, 1 , 0, 1, …
an amq
n m
(n, m N )
*
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的定义可得
G b 即 a G 2 G ab G ab
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
n + m = p + q(n, m, p, q ? N * ) ? an am = a p + aq
创设情景,引入新课
(1)“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
(2) 一位数学家说过:你如果能将一张 纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
1 1 1 1 (1) 1 , , , , ,… 4 2 16 8
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(6)
(7)
0, 0, 0 , 0, 0, … 2 3 4
1, x , x , x , x , ( x 0)
是,公比 q= x
对概念的更深理解 an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0) an
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
1. 各项不能为零,即 an 0 1,3,9,27,… 2. 公比不能为零,即 q 0 1 1 1 1 , , , , 3. 当q>0,各项与首项同号
2 4 8 16
5 , 5, 5, 5 , … 1,-1,1,-1,… 1, 0, 1, 0, … 0, 0, 0, 0, …
当q<0,各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
郑蒲港二中高一数学组
旧知回顾
名称
概念
等差数列
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
常数 性质
通项 通项 变形 中项 公式 性质 公式
an = a1 + (n - 1)d
an = ak + (n - k )d (n, k ? N * )
2an = an- 1 + an+ 1 (n ? 2)
(2) 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…
等比数列概念
等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ,这个常数叫 做等比数列的公比(q)。
等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列 ,这个常数叫 做等差数列的公差(d)。
解:设这个等比数列的第1项是
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ,那么
解得, 因此
3 q 2
2 1
16 , a 3
1
16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
(1)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这 种物质是原来的 84% ,这种物质的半衰期为多长?(放射性物 质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导:
方法一:(累加法)
a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d … … an1 an2 d
an an1 d
an an1 d
a2 a1 d a3 a2 d
方法二:(归纳法)
当q=1时,这是 一个常函数。
an 0
an a1 q
n 1
变形结论:
在等差数列 a n 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问:在等比数列 a n 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。
a1 q
即为
b1 q2 与a1 q b1 q2
n1 n
n 1
n
a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数, n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
(n-1)个 式子
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d (a1 2d ) d
a1 3d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
… …
an q n 2 an 1 等比数列通项公式的推导:
方法一:累积法
a5 (2)一个等比数列中,
a1 = 15, a4 - a2 = 6 ,求它的第3项;
等比数列的例题
求证
例2 已知 an , bn 是项数相同的等比数列,
an bn 是等比数列.
n1 1 n1
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为:
a2 q a1
a3 q a2 a4 q a3
an q an 1
… …
方法二:归纳法
a2 a1q
(n-1)个 式子
a3 a2 q (a1q)q 2 a1q
a4 a3q (a1q )q
2
a1q
3
… …
n 1
an n 1 q a1
an a1q
等比数列的通项公式
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1,3,9,27,8Fra Baidu bibliotek,…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5, 5, 5, 5, 5, 5, … 1,-1,1,-1,1,… 1, 0, 1 , 0, 1, …
an amq
n m
(n, m N )
*
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的定义可得
G b 即 a G 2 G ab G ab
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
n + m = p + q(n, m, p, q ? N * ) ? an am = a p + aq
创设情景,引入新课
(1)“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
(2) 一位数学家说过:你如果能将一张 纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
1 1 1 1 (1) 1 , , , , ,… 4 2 16 8
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(6)
(7)
0, 0, 0 , 0, 0, … 2 3 4
1, x , x , x , x , ( x 0)
是,公比 q= x
对概念的更深理解 an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0) an
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
1. 各项不能为零,即 an 0 1,3,9,27,… 2. 公比不能为零,即 q 0 1 1 1 1 , , , , 3. 当q>0,各项与首项同号
2 4 8 16
5 , 5, 5, 5 , … 1,-1,1,-1,… 1, 0, 1, 0, … 0, 0, 0, 0, …
当q<0,各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
郑蒲港二中高一数学组
旧知回顾
名称
概念
等差数列
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
常数 性质
通项 通项 变形 中项 公式 性质 公式
an = a1 + (n - 1)d
an = ak + (n - k )d (n, k ? N * )
2an = an- 1 + an+ 1 (n ? 2)
(2) 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…
等比数列概念
等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ,这个常数叫 做等比数列的公比(q)。
等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列 ,这个常数叫 做等差数列的公差(d)。
解:设这个等比数列的第1项是
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ,那么
解得, 因此
3 q 2
2 1
16 , a 3
1
16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
(1)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这 种物质是原来的 84% ,这种物质的半衰期为多长?(放射性物 质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导:
方法一:(累加法)
a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d … … an1 an2 d
an an1 d
an an1 d
a2 a1 d a3 a2 d
方法二:(归纳法)