高中数学探究性教学案例及反思

——谈“简单的线性规划问题”教学设计

设计人：郭勇

探究式教学是新课程改革课堂教学的主要方式之一，我们通过“简单的线性规划问题”教学案例，对探究活动中的问题进行讨论。

1、问题的提出

1.新课程必修5课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？

若实数x，y满足

13

11

x y

x y

≤+≤

⎧

⎨

-≤-≤

⎩

(i) 求4x+2y的取值范围．

错解：由①、②同向相加可求得： 0≤2x≤4 即 0≤4x≤8 ③

由②得—1≤y—x≤1将上式与①同向相加得0≤2y≤4 ④

③十④得 0≤4x十2y≤12

以上解法正确吗?为什么?

(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．

(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定4x十2y的最大(小)值却是不合理的．x取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．(其中有小部分学生仍处于迷惑之中。)

(3)[激励]此例有没有更好的解法?怎样求解?

(4)[提问1](2)中的描述能否从形(即从几何)方面直观得到解释？请同学们想一想：不等式组(i)的几何意义是什么？

(许多同学心头一亮，跃跃欲试。) 教师趁机把动手的机会让给学生，要求他们打开几何画板进行探究。(教师巡视，指点，并注意收集信息的返馈。) 最后利用展示台交流，达成共识：不等式组(i)表示的平面区域是一个以A(1,0)，B(2,1)，C(1,2)，D(0,1)为顶点的正方形区域，而由不等式组(i)得到0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域是一个以O(0,0)，E(2,0)，F(2,2)，G(0,2)为顶点的正方形区域，显然由原不等式组(i)导出x，y范围，使得区域变大了。确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4独立表示时是对的，但合起来求其交集时所表示的可行域的范围明显变大了，在错误的可行区域求4x+2y的取值范围，难怪做错了。(学生沉浸在做数学的快乐中。)

此时趁热打铁，继续探究：

（5）[提问2]既然我们已经完成了把不等式组(i)从数向形的转化，那么这个问题能不能从数形结合上得到完整的解决呢？也就是说：问题转化为：求4x+2y 在约束条件不等式组(i)下的值域。(学生开始寻找4x+2y的几何意义) 有些同学做了这样的尝试：f(x,y)=4x+2y 关于x和y的二元一次函数。函数在直角坐标系里又表示什么呢？学过的有关二元一次的只有二元一次方程表示直线了。终于，经过学生的一番思考探究之后，找到了条件与结论之间的内在联系，把问题提问2转化为：

求Z=4x+2y 在约束条件不等式组(i)下的最大值和最小值。 而2

Z x 2y +-=,此时Z 的几何意义是直线Z=4x +2y 的纵截距的一半。故截距越大，Z 的值越大。(有些思维比较活的，省去f(x,y)=4x+2y 这一步的思考，有些基础比较差的虽想到了f(x,y)=4x+2y 这一步，就无法更进一步了。此时教师巡堂，及时发现问题，加强个别指导。)

探究到此，后面的解答过程学生通过平移直线不难得到。

现在让学生们相互交流、补充，总结出此类问题的一般解法即：

图解法：画---移---求----答

2、教学过程

2.1合作探究归纳出线性规划的有关概念：

经过上面的探究过程，再来合作探究归纳出本节课的概念，是相当自然的：

①线性约束条件；②线性目标函数；③线性规划问题；④可行解、可行域和最优解。

2.2知识的应用

课堂练习：课本练习1

先引导设问：

① 指出线性约束条件和线性目标函数；

② 用几何画板画出图形，要求学生指出可行域；

③ 说出三个可行解；

④ 求出最优解。

例一、某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

（3）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

教师巡视，引导：把实际问题 转化 数学问题：确定未知变量(决策变量)。

文字语言 转化 符号语言(建立线性规划模型)

运用图解法求解。

(利用实物投影显示列不等式组中的各种错误，由学生找出，并指正。) 如：学生易忽视x ≥0和y ≥0的关系。 解答：(实物投影显示参考答案)

变式

探究：课本第89页的探究活动

（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

教师引导学生利用几何画板来进行自我探究，如右图。学生在换了好几组a、b的值之后，都得到了在多边形(可行域)的顶点A或B处取到。于是有些学生得出了这样的结论：当a>0，b>0时，最优

解在表示可行域的多边形顶点处取到，且唯一。

但不用多久，马上有同学指出：不全面，因为

当目标函数的斜率和直线AB平行时，最优解有

无穷多个。教师抓住机会，表扬了这两位学生的

优点，鼓励学生继续探索。最终，经过交流讨论，

得出下列结论：

①可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的

平面区域．

②

③如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某

个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是。当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个.

最后，教师观察到有个学生欲言又止，就问他，他说：他在探索的过程中，发现似乎与可行域的边界直线的斜率有关，只是还没有搞清楚。

教师对提出问题的同学表扬了一番。并顺其意：布置了课外思考题：能否能否通过比较围成可行域的直线的斜率与目标函数的斜率大小关系来判断最优解？

让全班同学回去继续探索，可以多找些资料。

2.3自我总结，提炼升华

让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：

①线性规划问题的图解法步骤。

②

③解决实际问题时候注意隐含条件的挖掘。

④

⑤解决线性规划问题的相关结论。

作业：课后探究：①留意周围的生产问题，能否转化为线性规划问题，进行优化？(要求：不一定得出最终的答案。)