第二章2 地图学的数学基础--高斯克吕格

地图投影的分 类
地图投影的分 类
高斯－克吕格投影的几何概念：
x P’
P
A' B' D' C'
A C
B D
O
Y
赤道
P
P’
地图投影的分 类
高斯－克吕格投影的基本条件： （1）中央经线投影为直线，且是投影的对 称轴； （2）投影后没有角度变形； （3）中央经线上没有长度变形。
三、投影的变形分析： 长度变形公式：
1 1 1 2 2 2 4 2 4 µ = 1 + cos ϕ (1 + η )λ + cos ϕ (2 − tan ϕ )λ − cos 4 ϕλ4 2 6 8
17带
A B
18带
投 影 带 中 央 经 线
I- 4 7- 144
I- 48 - 13 3
A
B
投 影 带 中 央 经 线
地图投影的分 类
据《1∶2.5万～１∶10万地形图图式》 (1971年版)规定: 每个投影带西边最外一行1∶10万地形图 的范围(即经差30′)内包含的1∶10万、1∶ ５万、1∶2.5万地形图均需要加绘西部邻带 的方里网； 每个投影带东部最外的一行1∶５万地形 图(经差15′）和一行1∶2.5万地形图(经差 7.5′)的图面上也需要加绘东邻带的方里网。 这样，每两个投影带的相接部分(45′的 范围)都应该有1行1∶10万，3行1∶５万，5 行1∶2.5万地形图的图面上需绘出邻带方里 网。
{x, y} →{X ,Y}
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2.数值变换法 2.数值变换法 在资料图投影方程式未知时， 在资料图投影方程式未知时，或不易求得 资料图和新编图两投影间解析关系式的情况 下，可以采用多项式来建立它们之间的联系 ，用数值逼近的理论和方法来建立两投影间 的关系。 的关系。 3.数值-解析变换法 3.数值数值 已知新投影方程式， 已知新投影方程式，而原投影方程式未知 采取类似上述的多项式， 时，采取类似上述的多项式，求的资料图投 影点的地理坐标（ ），即反解数值变 影点的地理坐标（φ、λ），即反解数值变 然后代入新方程式中， 换，然后代入新方程式中，即可实现两种投 影间的变换。 影间的变换。
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1、经纬线网：由经线和纬线所构成的坐标网。 经纬线网：
制图上的意义：制图时起到控制作用，确定地球表面上 各点和整个地形的实地位置；计算和分析投影变形；确 定比例尺，量测距离、角度和面积。 在1∶1万～１∶25万比例尺的地形图上，经纬线只 以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度 数。为了方便用图时加密成网。在内外图廓间还绘有加 密经纬网的加密分划短线。 1∶25万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分 划外，图内还有加密用的十字线。 我国的1∶50万～１∶100万地形图，在图面上直接 绘出经纬线网。内图廓上也有供加密经纬线网的加密分 划短线。
课 堂 作 业 解 答
2、地图有哪7种分类，每一类如何细分？ 地图有哪7种分类，每一类如何细分？
按内容分：普通地图和专题地图； 按比例尺分：大、中、小比例尺地图； 按存储介质分：纸质、胶片、丝绸、磁介质； 按包含的制图区域分：自然区划、行政区划； 按用途分：通用和专用或者民用和军用； 按使用方式分：桌面、挂图、屏幕图； 按其他标志分：外形特征、感受方式、结构
dF 'ａ ｂ＝ｒab ａ > ｒ， ｂ＝ｒ π a=b= r′> r P= = 2 = a ⋅b dF πl ４ ２ ３ ５
２
ａ≠ｂ≠ｒ ６
图0 3 - 0 5 通 过变形 椭圆 形状 显示 变形 特 征
重点内容回顾 第二章
4、地图投影：平行投影；透视投影 地图投影： 地图投影 ；广义投影；地图比例尺；投影变 形的概念；变形椭圆；长度比、长 度变形；面积比、面积变形；角度 变形；地图投影的分类—几何投影 、非几何投影。
二、在国防建设中的作用 用于各种国防工程的规划、设计和施工 用于军事训练和演习 用于各种战术作业 用于作战指挥、协调 用于战略部署参考
课 堂 作 业 解 答
3、地图具有哪些用途？ 地图具有哪些用途？
三、在国防建设中的作用 1、作为科学研究和实际工作的工具 2、作为宣传教育的工具 四、在其他方面的用途
重点内容回顾
重点内容回顾 第二章
4、地图投影：概念；平行投影；透 地图投影： 地图投影 视投影；广义投影；地图投影的实 质；地图比例尺；投影变形的概念 ；变形椭圆；长度比、长度变形； 面积比、面积变形；角度变形；地 图投影的分类--
r
r′
r′
ｂ ａ
ａ ｂ
ｂ ａ
ａｂ
实地上的一 个微分圆
a=b=r′< r １
6°分带法：从格林尼治零度经线起，每 分带法：从格林尼治零度经线起， 地图投影的分 类 6°为一个投影带，全球共分60个投影带。 为一个投影带，全球共分60个投影带。 东半球的30个投影带， 东半球的30个投影带，从0°起算往东划 分，各投影带的中央经线位置： Ｌ 0 ＝ （ ６ n-3)° （ n 为投影带带号 ） 为投影带带号） 西半球的30个投影带， 180°起算， 西半球的30个投影带，从180°起算，回 到0°，各投影带中央经线的位置： Ｌ0＝(６n-3)°－360° 3)°－360°
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{x, y} →{ϕ, λ} →{X ,Y}
投影坐标为极坐标的形式:
{x, y} →( ρ,δ ) →{ϕ, λ} →( X ,Y )
斜轴投影:
{x, y} →{ρ,ϕ} →{Ζ, a} →{ϕ′, λ′} →{ϕ, λ} →{X ,Y}
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地图投影变换
研究从一种地图投影变换为另一种地图 投影的理论和方法。 投影的理论和方法。其实质是建立两平面场之 间的点的一一对应关系。 间的点的一一对应关系。 1. 解析变换法 找出两投影间坐标变换的解析计算公式。 找出两投影间坐标变换的解析计算公式。 （1）反解变换法 ： 通过中间过渡的方法， 通过中间过渡的方法 ， 反解出原地图投影 的地理坐标（ 的地理坐标（φ、λ），代入新投影中求得其 坐标。 坐标。
图上标注的高斯——克吕格投影的横坐标值是在横坐 图上标注的高斯——克吕格投影的横坐标值是在横坐 标(通用值)之前加上带号即可。 通用值)之前加上带号即可。
Hale Waihona Puke 地图投影的分 类五、坐标网： 为了制作地图和使用地图方便， 为了制作地图和使用地图方便 ， 通常在地图 上绘有一种或两种坐标网， 上绘有一种或两种坐标网 ， 即经纬线网和方里 网。
地图的数学基础
课堂作业解答
课 堂 作 业 解 答
1、地图具有哪3个基本特征？ 地图具有哪3个基本特征？
由于特殊的数学法则而产生的可量测性 由于特殊的数学法则而产生的可量测性 由于使用地图语言而产生的直观性 由于使用地图语言而产生的直观性 由于实施制图综合而产生的一览性 由于实施制图综合而产生的一览性
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（2）正解变换法 不要求反解出原地图投影点的地理坐标 （φ、λ），而直接引出两种投影点的直接坐标 关系式。
{x, y} →{X ,Y}
（3）综合变换法 将反解变换方法与正解变换方法结合 在一起的一种变换方法。通常根据原投影点 的坐标x反解出纬度φ，然后根据φ、y而求 得新投影点的坐标（X、Y）。
方位投影 圆柱投影 圆锥投影 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影
第五节 高斯—克吕格投影及其应用
主要内容
1 2 3 4 5
应用范围 投影的基本概念 投影的变形分析
投影分带的规定 坐标网
高斯-克吕格投 影
一、应用范围：我国现行的大于1 50万比例 一、应用范围：我国现行的大于1：50万比例 尺的各种地形图 二、投影的基本概念： 假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上， 使其与某一条经线相切，用解析法将椭球面 上的经纬线投影到椭圆柱上，然后将椭圆柱 展开成平面，即获得投影后的图形，其中的 经纬线互相垂直。 高斯－克吕格投影是等角横切椭圆柱投影； 实质是建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标 实质是建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标 (φ，λ)之间的一一对应函数关系。 λ)之间的一一对应函数关系。
地图投影的分 类 为了控制投影变形就采取分带投影的方法， 为了控制投影变形就采取分带投影的方法， 该投影比较适用于纬度较高的国家。 该投影比较适用于纬度较高的国家。 通用横轴墨卡托( UTM)投影假想椭圆柱同 通用横轴墨卡托 ( UTM) 投影假想椭圆柱同 地球椭球体是相割的， 地球椭球体是相割的，中央经线得长度比小 于 1 ， 产生一个负变形区 ， 整个投影的变形 产生一个负变形区， 情况得到改善，用于高纬度地区比较好。 情况得到改善，用于高纬度地区比较好。
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四、投影分带的规定：
为了控制投影变形不致于过大，高斯——克 为了控制投影变形不致于过大，高斯——克 吕格投影采用分带投影的方法。 我国的1∶２.5万～1∶50万地形图均采用 我国的1∶２.5万～1∶50万地形图均采用 6°分带投影；1∶1万及更大比例尺地形图 °分带投影；1∶1 采用3 采用3°分带投影，以保证地图有必要的精 度。
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长度变形的规律是： （ 1 ） 中央经线上没有长度变形 ， 即 λ＝ 中央经线上没有长度变形， ０，μ＝１； （ 2 ） 沿纬线方向 ， 离中央经线越远变形 沿纬线方向， 越大， 越大，即λ增大，μ也增大； 增大， （3）沿经线方向，纬度越低变形越大， 即φ越小，μ越大； 越小，μ （4）最大变形处在赤道与最外一条经线 的交点处。
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3、地图具有哪些用途？ 地图具有哪些用途？
一、在国民经济建设中的作用 为规划管理服务 为资源勘察、设计和开发提供基础 为工程建设勘察、设计和施工提供资料 为农业的土地利用、土壤改良提供依据 为地籍管理、房地产定级和交易服务 用于航海、航空等
课 堂 作 业 解 答
3、地图具有哪些用途？ 地图具有哪些用途？
我国领土位于东经72°～136°之间，共包括11个投 我国领土位于东经72°～136°之间，共包括11个投 影带，即13～23带，各带的中央经线分别为75°， 影带，即13～23带，各带的中央经线分别为75°， 81°……135° 。 81°……135°
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3 ° 分带法： 从东经1 ° 30 ′ 算起， 每 分带法：从东经 1 30′ 算起 ， 3 ° 为一带 ， 将全球划分为 120个投影 为一带， 将全球划分为120 个投影 带 ， 其中央经线的位置分别为3 °， ６ 其中央经线的位置分别为3 °，９°，……，180°，西经 177° ……， 177°，……，３°，０°。这样分带的 目的在于使6 带的中央经线均为3 目的在于使 6 ° 带的中央经线均为 3 ° 带的中央经线。 带的中央经线。 即 3 °带中有半数的中 央经线同6 带重合， 在从 3 央经线同 6 ° 带重合 ， 在从3 ° 带转换 成 6° 带时 ， 可以直接转用， 不需任何 带时， 可以直接转用， 计算。 计算。
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2、方里网： 方里网： 是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的 方格网。因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横 线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行 于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 直角坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以 赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。 我国位于北半球，全部X值都是正值。在每个投 影带中则有一半的Y坐标值为负。为了避免Y坐标出 现负值，规定纵坐标轴向西平移500km (半个投影带 的最大宽度不超过500km)。这样，全部坐标值都表 现为正值了。
X
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5 0 0k m
Y
A X
0
Y
比例尺 密度 图上距离（cm) 实地距离（km)
1:1万 10 1
1:2.5万 4 1
1:5万 2 1
1:10万 2 2
1:25万 4 10
3、邻带坐标网：
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为了解决相邻带图幅拼接使用的困难，规定在一定 的范围内把邻带的坐标延伸到本带的图幅上，这就使 某些图幅上有两个方里网系统，一个是本带的，一个 是邻带的。 为了区别，图面上都以本带方里网为主，邻带方里网 系统只在图廓线以外绘出一小段，需要使用时才连绘 出来。