线性代数__67 惯性定理_
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6.7 惯性定理
,的实线性替换化为规范形5定理().f X r 设是秩为的实二次型()f X 可经非退化
.
并且规范形是唯一的证明,由上节的讨论可知()f X 的规范型是存
().
f X 下面证明的规范型是唯一的().f X r 的秩为T
12()(,,,),
n f X f x x x X AX n ==设是元实二次型.在的
2
22
211().
q q r f X z z z z +=+
+--
-2()f X X P Z =经非退化实线性替换得到的规范型为
2
22
22
22
21111.p p r q q r y y y y z z z z +++
+--
-=+
+--
-.p q =下面用反证法证明.p q >不妨假设(1)(2),根据等式与(2)
2
2221
1
();
p p r
f X y y y
y +=+
+---1()f X X PY =设经非退化实线性替换得到的规范型为
(1)
(3)
可得下面的等式(3)
1,X PY =因为1
2.PY P Z =所以2,X P Z =并且,因此1
21
().
Z P P Y -=令
11121212221211
2
,n n n n nn c c c c c c P P c c c -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
11111221221122221122.
n n
n n n n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++
+⎩121
()Z P P Y -=则由得
12,,,n y y y 构造以为未知数的齐次线性方程组
(P6)
111112*********
00.
n n q q q qn n p n z c y c y c y z c y c y c y y y +=+++=⎧⎪⎪⎪=+++=⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪
⎩(H0)
,p q >因为(H0)().
q n p n +-<所以方程组中方程的个数,因此(H0)方程组有非零解1122,,,.
n n y k y k y k ===
120,p p n y y y ++====因为12,,
,.p k k k 于是不全为零120.
p p n k k k ++====所以,因此222211
p
p r k k k
k ++
+---22221
1
q
q r
z z z
z
++
+---2
22211
p p r
y y y
y
+++---1122,,
,n n y k y k y k ===将
代入得1122,,,n n y k y k y k ===将代入得
221
p
k k =+
+0.>(P6)通过
222
211q q r z z z z +++---2(1)11(1)22(1)[]
q q q n n c k c k c k +++=-+++2
(2)11(2)22(2)[]
q q q n n c k c k c k +++-+++2
1122[]
n n nn n c k c k c k -++
+0.
≤22
1
q r
z
z
+=--
-
222222221
1
1
1
p p r q q r
y y y
y z z z
z
+++
+---=+
+---(3)
这与等式.相矛盾,p q =因此().f X 即的规范形是唯一的r 实二次型的规范形由二次型的秩和标准形的正项的.
p 个数唯一确定证毕