概率论与数理统计-大数定律与中心极限定理、样本及其分布

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理、第六章 样本及其分布

一、选择题：

1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {

}n

n P p n

με→∞

-≥ [ A ]

（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在 2. 设,,

,,

n X X X 12为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λλ>(1)的指数分布，记

()x Φ为正态分布函数，则 (考研题 2005) [ C ]

（A

）lim }()n

i

n X

n P x x λ

→∞

-≤=Φ∑ （B

）lim }()n

i

n X

n P x x λ

→∞

-≤=Φ∑

（C

）lim }()n

i n X n

P x x λ→∞

-≤=Φ∑ （D

）lim }()n

i

n X

P x x λ

→∞

-≤=Φ∑

3．设随机变量(,),(,),X N Y N 0101则 (考研题 2002) [ C ]

（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22

X Y +服从χ2分布

（C ）22X Y 和服从χ2分布 （D ）22

/X Y 服从F 分布 二、填空题：

1．对于随机变量X ，仅知其1

()3,()25

E X D X ==

，则可知{|3|3}P X -<≥ 2. 设总体X 服从参数为2的指数分布，,,

,,

n X X X 12是来自总体X 的简单随机样本，则当

n →∞时，21

1

i i Y X n ==∑n

依概率收敛于 (考研题 2003)

3．设总体2

~(,)X N μσ，12,,

,n X X X 为其样本，记1

1n i i X X n ==∑，2

211()1n i i S X X n ==--∑，

则)/Y X S μ=-服从的分布是 .

224225

1

2(1)t n -分布

三、计算题：

1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在

(0.5,0.5)-上服从均匀分布。 问：（1）若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是

多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

2. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。 （1）求收入至少400元的概率； （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

1500

1500

1

1

(1)()0,()1/12.{||15}{| 1.34}2(1(1.34))0.18020.1802

(1500152)

{||10}

2i

i i i

i i

n

i n

i

i X i E X D X X P X P X P X P ====>=>≈≈-Φ=

<=<≈Φ

∑

∑

∑

∑

若将个数解：随相加，误差总和的绝对值超过的机变量表示第个数的舍概率为入误差，则10.90.95,100.94410n -≈∴Φ=⇒=最多可有441个数相加使得误差总和的绝对值小于的概率不小于，300

3001(1)() 1.29,()0.0489.300 1.29{400} 3.39}1(3.39)=0.(2)~(300,0.2),()60,()484.{00.i i i i i i X E X D X X P X P Y Y B E Y D Y P ===-⨯>=>≈=-Φ==∑

∑

答解：

设随机变量为出售一只蛋糕的收入，则设出；收入至少元的概率几乎为售1.2元的蛋0糕数量为，则6060}{0}(0)1.2600.0.5

48 5.Y Y P ->=>=Φ=答售出价格为元的蛋糕多于只的概率：

3. 总体2(,)N μσ，在该总体中抽取一个容量为n =16的样本1216(,,

)X X X 。

求：（1）2

22

11{()2}2n i i P X n σμσ=≤-≤∑； （2）2221

1{()2}2n i i P X X n σσ=≤-≤∑。

,

222

1

2222211

2

22

2

2

12211()~(16)11{()2}{8()32}0.950.010.942(1)1~(1),()11{8()32}0.920.0050.915n

i i n n

i i i i n i i n i i X P X P X n n S n S X X n P X X μχσσμσμσχσσ=====-∴≤-≤=≤-≤=-=--=--∴≤-≤=-=∑

∑∑

∑

∑

解：其中