复数范围内实系数一元二次方程标准答案.docx
复数范围内实系数一元二次方程（ 19 题）（答案）
1、若实系数一元二次方程的一个根是
1 7
i ，则这个方程可以是
3
3
x 22 x
8 0
．
3
9
2、复数集内分解 2x 2 x 12( x
1
15i )( x 1 15i )
4
4
3、已知 x 1 与 x 2 是方程 : ax 2 bx c 0(a 0) 在复数集中的两根，则下
列等式成立的是（ C ）
(A) x 1 与 x 2 共轭
(B) b 2 4ac
(C)
b
c
2
x 1 x 2
a , x 1 x 2 a ,
(D) | x 1 x 2 | = ( x 1 x 2 ) 4x 1x 2
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1) 在复数范围内，方程 ax 2 bx c 0(a,b,c R ，且 a
0) 总
有两个根．（ √ ）
(2) 若 1 2i 是方程 x 2
px q
0 的一个根，则这个方程的另
一个根是 1 2i ．（ ）
(3) 若方程 x 2 px q 0 有两个共轭虚根，则 p 、 q 均为实数．（ √）
、已知复数 z ，解方程 z 3i z 1 3i ． 5
解：设 z x yi( x ， y R ) ，则方程可化为 ( x 3 y)
( y 3x)i 1 3i ．
，
x
5，
由复数相等，有
x 3 y
1
解得
4 ．
∴
5
3
．
y
3x ，
3
z
i
3
y.
4
4
4
6、适合方程 2z
z i
0 的复数 z ；
3
1 i
6
2
7、适合方程 z 2 5 z 6 0 的复数 z ；
若 z R ，则 z
2
5 z
6 0
z 2, z 3
z 2, z 3
若z 为虚数，设z a bi (a,b R,b0) ，则(a bi)25a2b2 6 0
a2b22abi 25a2b260a2b2 5 a2b260
2ab0
a222b260b25b2 6 0 b 5 b 6 0 b1
2
a0
所以，方程的解为2,2,3,3, i , i 。
8、解方程x2ix i10
（1） x R（2） x C
解：（1） x 1（2） x1orx1i
9、已知复数 Z 满足 Z Z84i ，且 Z 是关于x的实系数一元二次方
程 x2mx250 的一个根，求 m 的值。Z 34i m6
10、如果虚数 z 满足z38 ，那么z3z22z 2 的值是 _____．
分析：若设 z a bi( b 0) ，代入求值，过程复杂，不易求解，但
运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．
解：∵ z38， ( z 2)( z2 2 z 4)0 ．
∵z 是虚数，∴ z≠ ．
2
∴ z22z 4 0 ，即z22z 2 2 ．
故 z3z22z 2 8 2 6 ．
说明：该题也可通过设z=x+yi(x 、y∈R) 求解，但过程繁复 .
可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，11、已知关于x的方程x2(4 i ) x 3 pi 0( p R ) 有实根，则p的值
是． p =1 或 3
12、已知关于x的方程x2(4 i ) x 3 pi 0( p R ) 有纯虚根，则p 的
值是． 2 2 13
13、关于x 的方程x2(4i ) x3pi0 无实根，求实数p 的取值范围；(,1) U (1,3) U (3,)
14、实系数方程x2mx 3 0 的两虚根为,，则 2 3 ；
15、已知关于x 的方程 x2kx 30(k R ) 有两个虚根和，且
||2 2 ，则k的值是2．
16、已知关于x的方程 x25x a0 的两根 x1 , x2，且 | x1 x2 | 3 ，则实
数 a 的值是17
or 4．2
17、已知关于x的方程x2kx k22k 0(k R ) 有一个模为1的虚根，
则 k 的值是． 12
18、已知关于x的方程：2x23ax a2a0 至少有一个模为 1 的根，
求实数 a 的值.
【解】
如果∈ R，则0, ∴a (,8] U [0,) ，又∵∈R，∴=1 或 -1当=1 时，代入得： a2+2a+2=0不可能 .
当= -1时，代入得： a2-4a+2=0∴a 22
如果是虚数，则0 ，∴a( 8,0) ，并且| |=1，
则也是此方程的根，于是：= a 2a
2
但是=| | 2=1，∴a
2
a
=1，解得：a=2（舍去）或者 a=-1 2
所以，所求的 a22，或者 -1
19、已知 m C ，关于x的方程x2mx 3 4i0 有实数根，求复数 m 的模的最小值。
解法一：设 m a bi( a,b R ) ，设方程的实根为t ，代入方程得：
t2( a bi )t 3 4i 0t 2at 3 ( bt 4 )i 0t 2at 3 0
bt 4 0
a( t 1
)
25
Q
t2222
t 04m a b t 2t 6 16 m 4 b
t
当且仅当 t5时，取等号。即 m min4
解法二：设方程的实根为 t，代入方程得：t2tm 3 4i 0Q t 0, m t 3 4 i
m ( t3)2(4)225t 2t t m16 m 4
616,
22
t t t 2
当且仅当 t5时，取等号。即 m min4
点评：本例将 m 转化为关于t的函数，利用函数的性质从而求出m 的模的最小值。
复数范围内实系数一元二次方程（19 题）
1 、若实系数一元二次方程的一个根是17i ，则这个方程可以
33
是．
2、复数集内分解2x2x1
3、已知x1与x2是方程 :ax2bx c0(a 0)在复数集中的两根，则下
列等式成立的是
(A)x1与 x2共轭(B)b24ac0
(C)x1 x2b
, x1 x2 c ,(D)| x1x2 | = ( x1x2 ) 24x1x2
a a
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1) 在复数范围内，方程ax2bx c 0(a,b,c R ，且 a 0) 总
有两个根．（）
(2) 若 1 2i 是方程x2px q0 的一个根，则这个方程的另
一个根是 1 2i ．（）
(3)若方程 x2 px q 0 有两个共轭虚根，则p、q均为实数．（）
5、已知复数 z，解方程z3i z 13i ．
6、适合方程 2z z i0 的复数z；
7、适合方程 z2 5 z 60 的复数z；
8、解方程x2ix i 10
（1） x R（2）x C
9、已知复数Z 满足Z Z 84i，且Z 是关于x 的实系数一元二次方
程 x2mx25 0 的一个根，求m 的值。
10、如果虚数 z 满足z38 ，那么z3z22z 2的值是 _____．
11、已知关于x的方程x2(4 i ) x3pi0( p R ) 有实根，则p的值
是．
12、已知关于x的方程x2(4 i ) x 3 pi 0( p R ) 有纯虚根，则p 的
值是．
13、关于x的方程x2(4 i ) x 3 pi 0 无实根，求实数p的取值范围；
14、实系数方程x2mx 3 0 的两虚根为,，则；
15、已知关于x 的方程 x2kx 30(k R ) 有两个虚根和，且
||2 2 ，则k的值是．
16、已知关于x的方程x25x a0 的两根x1 , x2，且 | x1x2| 3 ，则实
数 a 的值是．
17、已知关于x的方程x2kx k22k0(k R ) 有一个模为1的虚根，
则 k 的值是．
18、已知关于x的方程：2x23ax a2 a 0 至少有一个模为1 的根，
求实数 a 的值.
19、已知 m C ，关于x的方程x2mx 3 4i 0 有实数根，求复数 m 的
模的最小值。