一元二次函数教学课件
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36-x
x
一元二次函數的專有名辭
• • • • • 一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產生 一個 y 的數值 • a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系數
一元二次函數圖像和系數關係 的表解
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
一元二次函數例子的解答(I)
36-x
x
Y = -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y? 右邊的圖表給了解答，它說明 在 x=18 cm 的時候，Y有最大 值，也是拐點的坐標 就是說：給予一定邊長矩形的 條件下，正方形的面積最大。
一元二次函數例子的解答(II)
• Y = -x2+36x x • 一元二次函數普遍表達式 Y=ax2+bx+c==a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a • 作出比較 a=-1，b=36，c=0，可見在 x=b/2a 時，即x=-36/2(-1)=18，Y有最大值 • 此結果與用圖解方法所獲得的答案相同
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
• 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干? • 解答 : • 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm • 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成: • Y =x(36-x) =36x – x2 • 這是典型的一元二次函數例子
一元二次函數圖像和系數關係的 解說
Y=ax2+bx+c =a(x2+b/a x+c/a) =a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a] =a[(x+b/2a)2-(b/2a)2+c/a)] =a(x+b/2a)2+a[-(b/2a)2+c/a] =a(x+b/2a)2+a[-b2/4a2 +c/a] =a(x+b/2a)2 + a[-b2+4ac/4a2] =a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
36-x
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y = 2x2+5x+3 的圖 像它和前述的y =2x25x+3 比較，也只有 一符號的差別，但這 條曲條的拐點，卻落 在y-軸的左邊。
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y =- 2x2-5x+3 的圖像 它和前述的 y=2x2+5x+3 比較，有二 個符號不一樣。 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見 拐點是由系數 b/a決定的 : b/a 是 +，拐點在y-軸 左邊 b/a 是-，拐點在y-軸右 邊
一元二次函數圖像的普遍式樣
右圖顯示的是函數 y = -2x2-5x+3 的圖像 所有的一元二次函數都 有相似的圖像 這樣形式的圖像稱為抛 物線 每條抛物線都有一最高 或最低的點稱「拐點」 此函數的系數是-2，曲 線向下開口
一元二次函數圖像和系數的關 係
一元二次函數基本是一 條抛物線，但隨著系數 的變化而改變開口端向 上、下或整條曲線向左 、 、右、上、下 移動 右圖顯示的是函數 y = 2x2-5x+3 的圖像， 它和前述的y =-2x2-5x+3 比較，只有一符號的差 別， ，但曲線向上開口 ，可見開口端是曲系數a 的符號决定的，a 是正 數、向上，a 是負數、 向下
一元二次函數圖像和系數的關 係
曲線的左右移動决定於 a、b 的符號 曲線的上下移動决定於 a、b、c 的符號及數值 的大小 右圖顯示的是函數 y =- 2x2+5x+c 的圖像， 隨著 c 值 由 3 遞減至 – 7，曲線也在同一位置由 上向下滑動。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次函數圖像和系數的關 係
一元二次函數圖像和系數的關 係
36-x
x
一元二次函數的例子
• 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干? • 解答 : • 此長方形的面積 y 和 x 的關係 既然已找到: • Y =x(36-x) =36x – x2= -x2+36x • 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y ? 這有賴我們對一元二次函數的 認識 • 解答可以在隨後有關一元二次函 數的解說中獲得
x
一元二次函數的專有名辭
• • • • • 一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產生 一個 y 的數值 • a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系數
一元二次函數圖像和系數關係 的表解
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
一元二次函數例子的解答(I)
36-x
x
Y = -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y? 右邊的圖表給了解答，它說明 在 x=18 cm 的時候，Y有最大 值，也是拐點的坐標 就是說：給予一定邊長矩形的 條件下，正方形的面積最大。
一元二次函數例子的解答(II)
• Y = -x2+36x x • 一元二次函數普遍表達式 Y=ax2+bx+c==a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a • 作出比較 a=-1，b=36，c=0，可見在 x=b/2a 時，即x=-36/2(-1)=18，Y有最大值 • 此結果與用圖解方法所獲得的答案相同
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
• 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干? • 解答 : • 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm • 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成: • Y =x(36-x) =36x – x2 • 這是典型的一元二次函數例子
一元二次函數圖像和系數關係的 解說
Y=ax2+bx+c =a(x2+b/a x+c/a) =a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a] =a[(x+b/2a)2-(b/2a)2+c/a)] =a(x+b/2a)2+a[-(b/2a)2+c/a] =a(x+b/2a)2+a[-b2/4a2 +c/a] =a(x+b/2a)2 + a[-b2+4ac/4a2] =a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
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一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y = 2x2+5x+3 的圖 像它和前述的y =2x25x+3 比較，也只有 一符號的差別，但這 條曲條的拐點，卻落 在y-軸的左邊。
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y =- 2x2-5x+3 的圖像 它和前述的 y=2x2+5x+3 比較，有二 個符號不一樣。 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見 拐點是由系數 b/a決定的 : b/a 是 +，拐點在y-軸 左邊 b/a 是-，拐點在y-軸右 邊
一元二次函數圖像的普遍式樣
右圖顯示的是函數 y = -2x2-5x+3 的圖像 所有的一元二次函數都 有相似的圖像 這樣形式的圖像稱為抛 物線 每條抛物線都有一最高 或最低的點稱「拐點」 此函數的系數是-2，曲 線向下開口
一元二次函數圖像和系數的關 係
一元二次函數基本是一 條抛物線，但隨著系數 的變化而改變開口端向 上、下或整條曲線向左 、 、右、上、下 移動 右圖顯示的是函數 y = 2x2-5x+3 的圖像， 它和前述的y =-2x2-5x+3 比較，只有一符號的差 別， ，但曲線向上開口 ，可見開口端是曲系數a 的符號决定的，a 是正 數、向上，a 是負數、 向下
一元二次函數圖像和系數的關 係
曲線的左右移動决定於 a、b 的符號 曲線的上下移動决定於 a、b、c 的符號及數值 的大小 右圖顯示的是函數 y =- 2x2+5x+c 的圖像， 隨著 c 值 由 3 遞減至 – 7，曲線也在同一位置由 上向下滑動。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次函數圖像和系數的關 係
一元二次函數圖像和系數的關 係
36-x
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一元二次函數的例子
• 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干? • 解答 : • 此長方形的面積 y 和 x 的關係 既然已找到: • Y =x(36-x) =36x – x2= -x2+36x • 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y ? 這有賴我們對一元二次函數的 認識 • 解答可以在隨後有關一元二次函 數的解說中獲得