新北师大版八年级下册第三章回顾与思考

C
B
D E O
F
A
三、轴对称
1．轴对称的概念：如果两个平面图形沿一 条直线对折后能够完全重合，那么称这两 个图形成轴对称。
2.轴对称的图形实例
M A
A1
C
B N
C1
B1
轴对称、平移、旋转的区别及联系:
变换 名称 描述变 换的要 素 位 置 方 向 大 小 形状 相关性质及作 图方法
轴对 对称轴 称(反射)
平移的方向?
平移的距离?
仅靠平移 无法得到
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十” 字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分 吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方 式吗? 旋转: 旋转中心? 旋转角? 旋转方向? 整个图形可以看作是左 边的两个小“十字”绕着 图案的中心旋转3次，分别 旋转90°、180°、270° 前后图形组成的。
解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长， 又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC＝300，∴BC=5cm， ∴平移的距离为5cm。
（图3）
（图5）
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置， A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
解：（2） A1 FA 300， GFD 600，D 300， FGD 900。 5 3 在RtEFD中，ED 10cm, FD 5 3，FG cm. 2
O
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十” 字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分 吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方 E 式吗?: 对称轴? H 轴对称 直线EF与GH相交于图形 的中心O，且互相垂直，先 把左边的两个“十字”作 关于EF的轴对称图形，然 后作这两部分关于GH的轴 对称图形，这样就可以得 到整个图形。 G
O
F
说一说练习3
如图，怎样将右边的图案变成 左边的图案？
答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆 时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的
图案。
练一练——平移、旋转、中心对称的运用
练一练——平移、旋转、中心对称的运用
练一练——平移、旋转、中心对称的运用
练一练——平移、旋转、中心对称的运用
2、设（x，y）是原图形上的一点，当它沿x 轴方向平移a个单位长度（a＞0）、沿y轴 方向平移b个单位长度（b＞0）后，这个点 与其对应点的坐标之间有如下关系：
画一画（1）
画一画（2）
例2. P是正方形内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转
至与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长。 解：由旋转的性质可知 BP=BP′， ∠ PBP=∠ABC=90° ∴ △ PBP ′是等腰直角三 角形。 ∴ PP ′=
（图3）
（图5）
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H， 请证明：AH﹦DH
(3)证明：AHE与DHB1中， FAB1 EDF 300， FD FA，EF FB FB1， FD FB1 FA FE，即AE DB1 又 AHE DHB1， AHE DHB （ 1 AAS） AH DH
乙
说一说 练习2
怎样将甲图案变成乙图案？
甲
还可以用 可以先将甲图案绕图
什么方法把 上的A点旋转，使得
乙 B A
甲图案变成 图案被“扶直”，然
甲 后，再沿AB方向将所
乙图案？
得图案平移到B点位
置，即可得到乙图案
B A
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十” 字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分 吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方 式吗?平移:
A E B O
A M F B G O E N
D
C H
C H
图1
图2
图3Hale Waihona Puke Baidu
6.如图,点P是边长为a的正方形ABCD内的一点,连PA、 PB、PC，且PB = b （ b <a） ，将△PAB绕点 B顺时 针旋转90°到△P′CB的位置。 （1）求旋转过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分） A D 的面积。 （2）若PB=3，求PP′的长。 （3）在（2）的条件下，若PA=4， ∠APB=135 °，求PC的长。 P （4）若PA2+PC2=2PB2， 请说明点P必在对角线AC上。 B C
第三章 图形的平移与旋转
回顾与思考
一、平移
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿着 某个方向移动一定的距离，这样的图形运动 叫做图形的平移。
2、平移的性质： （1）平移不改变图形的形状和大小； （2）图形经过平移，连接各组对应点 所得的线段互相平行且相等。
3、平移图形的实例：
H K
G
L N M
练一练——平移、旋转、中心对称的运用
方法小结
轴对称、平移、旋转是几何中的重要概念， 应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重 要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、 旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形 的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、 汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思 路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算 与证明。
改 变 平移 平移方向, 改 不 距离 变 变 改 旋转 旋转中心, 变 方向,角度
不 变
不 变
四、中心对称
中心对称与轴对称的联系与区别
A
C1
B1
O
B C A1
轴
1
对
称
中 心 对 称
有一个对称中心—— 点 图形绕中心旋转180°
有一条对称轴—— 直线
180° ） 2 图形沿轴对折（翻转
3
翻转后和另一个图形重合 旋转后和另一个图形重合
2
试一试 2、如图所示，AB是长为4的线 段，且CD⊥AB于O。你能借助 旋转的方法求出图中阴影部分 的面积吗？说说你的做法。
A
C
O
D
B
3.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O。 你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？ 说说你的做法。
A
C
O
D
B
4.如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向 外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺 时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2， 求∠BAD的度数与AD的长.
E A C
B
D
5.如图3，两个相同的正方形纸片ABCD和EFGH， 将纸片EFGH的一个顶点E，放在纸片ABCD对 角线的交点O处，那么正方形纸片EFGH绕点O 无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面 积总等于一个正方形面积的
A O E B F C G
G
1 ，你能说明为什么吗？ 4
D
D H
F
O
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十” 字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分 吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方 式吗? 先平 平移、 旋转相结合: 移 后旋转 整个图形可以看作是左 边的两个小“十字”先通 过一次平移成图形右侧的 部分，然后左、右部分一 起绕图形的中心旋转90° 前后图形组成的。
P'
7.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸 片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将 这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线 上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题， 请你帮助解决． （1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
中心对称与中心对称图形的联系与区别
区别:
中心对称指两个全等图形的相互位置关系, 中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系:
如果将中心对称图形的两个图形看成一个 整体,则它们是中心对称图形. 如果将中心对称图形对称的部分看成两个 图形,则它们成中心对称.
五、图形的平移与坐标变化之间的关系
1、设（x，y）是原图形上的一点，经过平移 后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关 系：
一题一练 B P′ A P D
C
BP BP 3 3 3 2
2 '2 2 2
△ ABC是等边三角形，把△ ABC绕 点C顺时针任意旋转一个角度得到 △ A′B′C，则AA ′与BB ′之间 有什么关系，你能说明理由吗？
A
B′
A′ B C
说一说 练习1
你能将右图通过平 移或旋转，得到左 图吗？
拓展提升训练：
※巧用变换思想，灵活求解面积
m
1.如图所示的图案是一 个轴对称图形(不考虑颜 色)，直线m是它的一条 对称轴.已知图中圆的半 径为r,求你能借助轴对 称的方法求出图中阴影 部分的面积吗？说说你 的做法。
m
解：以直线m为对称轴，把m左边绿色部 分反射到m的右边，那么它们的像恰好填 补了右边的白色部分，所以图中的绿色部 1 2 分面积等于半个圆的面积，也就是 r
B A
C D
F
E
二、旋转
1．旋转的概念：把一个图形绕一个定点转动 一定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个 定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。 2．旋转的性质：（1）旋转前、后的图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一 对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
3、旋转图形的实例：