一元函数求极限的若干方法
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一元函数求极限的若干方法
(陕西师范大学 数学系,陕西 )
摘 要:极限是数学分析中最基本的,也是最重要的概念之一,是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件,针对这种情况,本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词:极限;方法
大家知道,极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一,数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸,如:连续、导数、微积分等都是由极限定义的,而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值,因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限,而对极限的求法可谓是多种多样,针对这种情况,通过归纳和总结,罗列出一些常用的求法.
1 利用极限的定义求极限
极限是指无穷的趋于一个固定的数值,数学分析中的极限包括:数列极限和函数极限.
1.1 数列极限的定义
设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有
ε<-a x n ,
我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为
a x n n =∞
→lim 或 ()∞→→n a a n .
例1 按定义证明01
lim
=∞→a
n n ,这里a 是常数. 证 由于
a
a n n 1
01=
-, 故对任给的0>ε,只要取11
1+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=a εN ,则当N n >时,便有
εN n a a <<11 即εn a
<-01. 这就证明了 01
lim
=∞→a
n n . 例2证明2
23lim
33
n n n →∞=- 分析 由于()222399
3333n n n n n
-=≤≥-- (1)
因此,对任给的0ε>,只要
9
n
ε<,便有 2
2
33,3
n n ε-<- (2) 即当9
n ε
>
时,(2)式成立.又由于(1)式是在3n ≥的条件下成立的,故应取
9max 3,.N ε⎧⎫
=⎨⎬⎭⎩ (3)
证 任给0ε>,取9max 3,.N ε⎧⎫
=⎨⎬⎭⎩据分析,当n>N 时有(2)式成立.于
是本题得证.
注 本例在求N 的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N 就比较方便.但应注意这种放大必须“适当” ,以根据给定的ε能确定出N .又(3)式给出的N 不一定是正整数.一般地,在定义1中N 不一定限于正整数,而只要它是正数即可.
1.2 函数极限的定义
函数极限的定义包括两个,一个是x 趋于∞时函数的极限,另一个是x 趋于
0x 时函数的极限.
1.2.1 x 趋于∞时函数的极限
设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε,存在正数
()a M ≥,使得当M x >时有
()ε<-A x f ,
则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限,记为
()A x f x =+∞
→lim 或 ()()+∞→→x A x f .
1.2.2 x 趋于0x 时函数的极限
设函数f 在点0x 的某个空心邻域()
'。δx U ;0内有定义,A 为定数.若对任给的
0>ε,存在正数()'δδ<,使得当δx x <-<00时有
()ε<-A x f ,
则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记为
()A x f x x =→0
lim 或 ()()0x x A x f →→.
例3 证明 01
lim
=∞→x
x . 证 任给0>ε,取ε
M 1
=,则当M x >时有
εM
x x =<=-1101, 所以01
lim
=∞→x
x . 例4 设()2
4
2--=x x x f ,证明()4lim 2=→x f x .
证 由于当2≠x 时,
()24242
4
42-=-+=---=-x x x x x f ,
故对给定的0>ε,只要取εδ=,根据题意当δx <-<20时有()εx f <-4.这就证明了()4lim 2
=→x f x .
注 用极限的定义时,只需证明存在 σ,故求解的关键在于不等式的建立,在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧.但是不能把含有δ的因子移到不等式的另一边再放大,而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大,有时还需要加入一些限制条件.限制条件必须和所求的δ一致,最后结合在一起考虑.
2 利用极限的四则运算法则求极限
对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单,但为了能够使用法则,往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简,那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定,常用的方法有:分式的约分或通分,分式的分解,分子或分母的有理化,三角函数的恒等变形,某些求和或求积公式的恰当变量替换等等. 2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限
直接运用函数极限的四则运算法则求极限时,前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0.
定理 若极限()()0
lim
lim x x x x
f x
g x →→与都存在,则函数