定积分的第一换元法
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§6.4 定积分第一换元法
常用的凑微分
dx 1 d(ax b) a
xdx 1 d (x2 ) 2
1 dx d(ln x) x exdx d(ex ) cos xdx d (sin x)
a 0
1
1
dx d( )
x2
x
sin xdx d (cos x)
例1：求
1
0
2 1
1
ex
d
(
1 x
)
1
1
(e2 e) e e2
例6：求 e 1 (1 ln x)3 dx 1x
解：原式
e
1
(1
ln
3
x) d (ln
x)
e
1
(1
ln
3
x) d
(1
ln
x)
(1 ln x)4 |e 4 1 15
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
44
2
1 x
dx 1
解：
1
0
2
1 x
dx 1
1 2
1
0
1 d (2x 2x 1
1)
1 ln | 2x 1| |1 1 ln 3
2
02
例2：求 2 e3x dx 1
解：
2 e3xdx
1
1 3
1
0
e
3
x
d
(3x)
1 | e 3x 1 1 (e3 1)
3 0 3
1 (1 e3) 3
例3：求
a xex2 dx
0
解：
a xex2 dx
0
ex2 2
|0 a
ea 1 2
=
例4：求
2
0
sin
cos
3
d
解：原式
2
0
cos3
d
cos
cos4
|2
1
404
例5：求
2
1
1
ex
dx
1 x2
解：原式
常用的凑微分
dx 1 d(ax b) a
xdx 1 d (x2 ) 2
1 dx d(ln x) x exdx d(ex ) cos xdx d (sin x)
a 0
1
1
dx d( )
x2
x
sin xdx d (cos x)
例1：求
1
0
2 1
1
ex
d
(
1 x
)
1
1
(e2 e) e e2
例6：求 e 1 (1 ln x)3 dx 1x
解：原式
e
1
(1
ln
3
x) d (ln
x)
e
1
(1
ln
3
x) d
(1
ln
x)
(1 ln x)4 |e 4 1 15
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
44
2
1 x
dx 1
解：
1
0
2
1 x
dx 1
1 2
1
0
1 d (2x 2x 1
1)
1 ln | 2x 1| |1 1 ln 3
2
02
例2：求 2 e3x dx 1
解：
2 e3xdx
1
1 3
1
0
e
3
x
d
(3x)
1 | e 3x 1 1 (e3 1)
3 0 3
1 (1 e3) 3
例3：求
a xex2 dx
0
解：
a xex2 dx
0
ex2 2
|0 a
ea 1 2
=
例4：求
2
0
sin
cos
3
d
解：原式
2
0
cos3
d
cos
cos4
|2
1
404
例5：求
2
1
1
ex
dx
1 x2
解：原式