流体力学第10章 一维气体动力学基础

工程流体力学
气体动力学中，依据马赫数对可压缩气流进行分类：
Ma1，即 v c ，称为超声速流动；
Ma1，即 v c ，称为声速流； Ma1，即 v c ，称为亚声速流动。
对于气体流动以 Ma0.3为界，对于 Ma0.3 ，为不可 压缩流动，对于 Ma0.3 ，为可压缩流动。
【例10.1】用声纳探测仪，探测水下物体，已知水温 20℃，水的弹性模量 E1.88 19 0Pa，密度为 998.2kg/m3， 今测得往返时间为6秒，求声源到该物体的距离。
在11 000m高空飞行时，该处的温度为216.5K （见第二章），则由式（10.5）
c20.1T295.8m /s
故该高度飞行的飞机 Mav319.41.08
c 295.8
为超声速飞行。
工程流体力学
工程流体力学
2.马赫锥
图10.2是一小扰动波（例如点声源）在四种流动 中的转播。
v= 0
2c 3c 4c c O
v c M a 3 4 0 1 .1 6 7 3 9 7 m s
t 600 1.51s 397
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10.2 气体一维恒定流动的基本方程
基本方程主要是由连续方程、欧拉运动微分方程 和能量方程等组成。
10.2.1 连续性方程
如图10.4为一维恒定气流。 或者对任一过流断面满足
VA C
vc
2c 3c 4c
Oc
v
2v
3v 4v
(a ) A
(b ) A
v= c
2c
3c
4c
c
O
B (c )
vc
α
c
2c
3c 4c
O
v
2v
3v 4v
B
(d )
图 10.2 小 扰 动 波 在 不 同 来 速 流 场 内 的 传 播
（1）当小扰动波在静止流场中传播（ v0,Ma v 0）
图10.2（a）。
c
工程流体力学
【解】 气流通过文丘里流量计时，由于流速大，流程 短，气流和壁面接触时间短，来不及进行热交换，且 摩擦损失亦可不计，因此按一维恒定等熵流动来处理。
先计算进口断面1处，喉管断面2处空气的密度
由
p RT
式，进口断面空气的密度
1R p T 11(2 3 8 5 7 1 (0 2 1 7 .3 3) 2 1 0 0 )31.62k 1g/m 3 2
故空气的质流量
Q m 1 V 1 A 1 1 .6 2 2 3 .2 5 π 4 0 .0 5 2 0 .0 7 4 k g /s
【例10.5】氦气（ 1 .6 7 ,R 2 0 7 7Jk gK ）作等熵流动，
在管道截面1处参数为 T1 6 1 ℃，,V1 65ms，测得截面2
处的速度为V2 180ms
d1
由式10.3），p11
p2
2
，即
d2 2
1
图10.6 文 丘 里 流量 计
工程流体力学
1
1
21 p p1 2 1.62 1 10 01 1..3 3 1 35 5 1.41.446kg/m 3
由连续性方程式（10.9）1V1A12V2A2，得
V2
1 2
AA12V1
1.62π0.052 1.4464π0.022V1
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4. 对于液体，由式（1.10）液体的弹性模量E和压缩系
数 k的关系为
E 1 dp
k d
代入式（10.1）得声速公式的另一种形式
c
E
10.1.2 马赫数和马赫锥
1．马赫数
马赫数是惯性力与由压缩引起的弹性力之比，它 是气体动力学中最重要的相似准数，即定义马赫数
Ma v c
式中 v——当地气流速度； c——当地声速。
s
上两式称为完全气体一 p
ds
元恒定流动的欧拉运动 微分方程式。式中的密
度 不再是常数。
图10.5 一维气流微段
而 ,v,p三者之间的关系由微分方程式来确定。为求解
此方程式除了要应用气流的连续性方程外，还必须补充
气体状态方程，或者热力学过程方程。
工程流体力学
连续性方程和欧拉运动微分方程也可引用马赫数Ma 来表示如下
取等断面积为A，左 端带活塞的直长管如图 10.1（a）。
c
p+ dp p
dv
dv
v= 0
ρ+ d ρ ρ
(a ) y
p+ dp p
c -d v
c
ρ+ d ρ ρ
(b ) 图 10.1 声 速 传 播 过 程
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管中充满静止的可压缩气体，压强为p，密度
为 。活塞在力的作用下，以微小速度dv向右移动，
其中
arcsincarcsin 1
v
Ma
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对于完全气体的马赫数可表示为
Ma v RT
由于温度是气体分子运动动能 的度量，所以式（10.8）说明马赫 数是流体宏观运动动能和分子运动 动能之比。
【例10.3】飞机距地面的1 000m 上空，飞过人所在位置600m时， 才听到飞机的声音，当地气温为 15℃，试求飞机的速度、马赫数 及飞机的声音传到人耳所需的时 间。
c R T 1 .4 2 8 7 ( 2 7 3 1 5 ) 3 4 0 m /s
在相同的压强和温度下，氢气的声速为 c1295m/s。
3.声速与气体热力学温度T有关，如在常压下空气中声 速为
c20.1 T
由于在气体动力学中，温度是空间坐标的函数，所以 声速也是空间坐标的函数，为此，常称为当地声速。
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T
T
0
1
2
1
M
a
2
1
p p0
1
2
1
M
a
2
1
0
1
2
1
M
a
2
1 1
c
c
0
1
2
1
M
a
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e p v2 C
2
该式表明完全气体的等熵流中，沿流任意断面上， 单位质量气体所具有的内能、压能和动能之和是不变的。
【例10.4】用文丘里流量计来测量空气流量（图10.6）， 流量计进口直径 d1 50mm，喉管直径 d2 20mm，实测 进口断面处压强 p1 35kPa（相对压强），温度为20℃， 喉管处压强 p2 15kPa（相对压强），试求空气的质流量。 （设当地大气压 pa 101.3kPa）
工程流体力学
第10章 一维气体动力学基础
在前面的章节中，都将流体视为不可压缩流体，
即流体的密度 =常量。在工程实际问题中，当气体
的流速很高，压差很大时；温度变化很大且伴随热效 应时，气体的密度会发生显著的变化，此时气体的运 动规律和不可压缩流体大相径庭。研究此类问题时必 须采用可压缩流体模型。本章主要讨论完全气体（在 热力学中称理想气体）一维恒定流动。
产生的一个微小扰动平面波不断地从左端波及到右端， 波的传播速度即声速，以符号c表示。特别要注意的是
声速c与气体受扰动后的速度dv是不同的。
为了便于分析波阵面前后流体状态参数的变化关 系，将坐标系固定在波阵面上图10.1（b），这样，对 位于该坐标系的观察者而言，流体的流动是恒定的
声速公式
c dp d
【解】 由式（10.6）
c
E
1.88109 1372.4m/s 988.2
从声源到物体之间的距离为 c t 1 3 7 2 .4 3 4 1 1 7 m
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【例10.2】某飞机在海平面和11 000m高空均以速度 319.4m/s飞行，问这架飞机在这两个高度飞行时的马赫 数相同吗？ 【解】 由于海平面的声速为c340m/s 。 故海平面的飞行飞机 ，Mavc331490.40.94为亚声速飞行。
，求该截面上的以T 2
及p 2
p1
值。
解：由等熵流动能量方程式（10.16）
工程流体力学
p v2 常数 1 2
从截面1 2
1RT1V212 1RT2V222
因此
1 . 1 6 . 7 6 7 1 2 0 7 7 2 7 3 6 1 6 2 5 2 1 . 1 6 . 7 6 7 1 2 0 7 7 T 2 1 8 2 0 2
解得
T2 331.28K
或 58.28 ℃
由等熵过程
1.67
p p1 2T T1 21237331 .26811.6710.9798
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10.2.4 一维等熵流动气体动力学函数
1．用滞止状态参数表示的气体动力学函数
当流体质点由某一个真实状态经等熵过程速度降 为零。（可以假想）这时流体质点的状态称为对应于 真实状态的滞止状态。流体质点所具有的流体参数称 为该真实状态的滞止参数，以下标“0”表示。例如以 p0,0,T0,c0分别表示滞止压强，滞止密度，滞止温度， 以及滞止声速。在工程中，如气体从大体积的容器中 流出（如煤气储气罐等），容器内气体的流速可视为 零，那其它参数就是滞止参数；当气流绕过某物体， 则驻点处气流的流动参数也是滞止参数。
v
α
1000m
600m
图 10.3 马 赫 锥
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解：当地声速为
c R T 1 .4 2 8 7 ( 2 7 3 1 5 ) 3 4 0 m s
马赫角 为 (如图10.3)
arctan100059o
600
由式（10.7）
arcsin 1 59o
Ma
故马赫数
Ma1.167
飞机速度 所需要时间
连续性方程可表达为
dA Ma2 1dv
A
v
欧拉运动微分方程为
d Ma2 dv
v
10.2.3 不同形式的能量方程 （1）气体一维定容流动
p v2 C
2g
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上式为不可压缩流体，不计质量力的能量方程。表 示一维气流各断面上单位质量（或重量）具有的压能和 动能之和守恒。
（2）气体一维等温流动 在等温流动中，T=常数，则气体状态方程
式（10.9）即为一维恒定气
流的连续性方程，它的微分
形式为
d dV dA 0 V A
V2 V1
A2
A1
图 10.4 一 维 气 体 流 动
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10.2.2 欧拉运动微分方程
在一维恒定气流中，取长度为ds微段，并沿轴线方 向为s轴。
如图10.5，即可得到
dp
d
v2 2
0
v
p +p d s
dp
压缩，此时由式（10.1）
c
dp
越小；反之，当流体
越不易压缩，则声速c越大，若d 流体为不可压缩流体，
那么声速 c。因而声速是反映流体压缩性大小的物
理参数。
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2.由式（10.4）可得，不同的气体有不同的比热比，及 不同的气体常数R，因而不同的气体声速是不同的。如 在常压下，15℃空气中
p RT C
pln p v2 常数
2
或者
RTlnpv2 常数 2
（3）气体一维等熵流动
工程流体力学
在热力学中，无能量损失且与外界又无热量交换的 情况下，为可逆的绝热过程，又称等熵过程。
p v2 常量 1 2
RTv2 常量 1 2
1 ppv2 常量
1 2
1p
1 ，在热力学中，这项正是在等熵过程中，单位 质量气体所具有的内能e。表示为
（2）当小扰动波在亚声速流场中传播（0vc,0M a1 ） 如图10.2（b）。
（3）当小扰动波在声速流场中传播（vc,Ma1 ）， 此种情况同上面（2）相同。10.2图(c) AOB平面是所 有小扰动波的包络面，称为马赫波。它是寂静区和扰 动区的分界面。
（4）当小扰动波在超声速流场中传播（ vc,Ma1 ）， 此时的马赫波不再保持为平面，而是以固定点O为顶点向 右扩张的旋转圆锥面，这个圆锥面称为马赫锥，圆锥顶角 的一半α称为马赫角 如10.2图（d）。
拉普拉斯在1816年提出声音的传递是一个等熵过程。
工程流体力学
在声波传递过程中，热力学参数的变化是无穷小量， 忽略了黏性作用，因而整个过程可视为可逆的绝热过
程（即等熵 s = 常数），那末式（10.1）更精确的表达式为cdp ds
公式中下标s代表等熵过程。上式不仅适用于微小 扰动平面波，也适用于球面波，对气体、液体均适用。
对于完全气体等熵流体的状态参数方程式为
p
常数
工程流体力学
式中 称为比热比（或称为绝热指数），对于空气
1.4
于是可导出完全气体的理论声速公式 c RT
式中R 称为气体常数，空气的 R287J(kgK) 。
由以上声速公式可得出 ：
d
1. d p
是反映流体的压缩性，d 当越大，表示流体越易
7V1
4
将以上量代入等熵能量方程式（10.16）
p1V12 p2V22 11 2 12 2
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1 .4 1 3 6 .3 1 0 3 V 1 21 .4 1 1 6 .3 1 0 3 7 V 1 2
1 .4 1 1 .6 2 21 .4 1 1 .4 4 6 2
解得
V1 23.25m/s
在学习本章的过程中不仅需要流体力学知识，还 需要一定的热力学知识，在进行气体动力学计算时， 压强只能用绝对压强，温度只能用开尔文温度。
工程流体力学
10.1 声速和马赫数
10.1.1 声速
凡是微小扰动在流 体介质中的传播速度都 定义为声速，它是气体 动力学的重要参数。
对于小扰动波的传 播过程，可通过下例说 明。