分块矩阵在行列式计算中的应用

矩阵与行列式的关系
矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．
行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 矩阵的定义
有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．
定义1[]2 设A 是n m ⨯矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 21
22221
11211
， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ⨯矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．
注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，
=⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=21010301012102102301A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22211211
A A A A ， 其中
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=21030122A ．
矩阵的运算
进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待．
加法运算 设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即
t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，
其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m s
i i =∑=1
，n n t
j j =∑=1
，则A 与
B 可直接相加，即
=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．
数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为
t s ij kA kA ⨯=)(．
乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 21
22221
11211
，⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 21
22221
11211
， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==sr s s r r C C C C C C C C C AB C 212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=n
i ij ij B A 1
．
应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的
列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．
矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．
根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：
(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；
(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．
在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．
例如，已知
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，
我们把B 分块为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=222
A O
O E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即
=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛011010100101⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222122
222
B B E E A O
O E
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222221
2222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=022*********． 设
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 21
22221
11211 是一个分块矩阵，那么它的转置为
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛'''''''''='st t t
s s A A A A A A A A A A 21222
12
121
11
． 分块矩阵的转置应遵守如下规则： (1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置． 特殊的分块矩阵 形式如
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛l A O A O A
2
1 的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．
准对角矩阵具有如下性质： (1) 设
=A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛l A O A O A
2
1
， 则有
l A A A A 21=；
(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=----112
111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵
=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛l A O A O A
2
1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=l B O B O B B
2
1
， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=l l B A O B A O B A AB
2
21
1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++=+l l B A O B A O
B A B A
2
21
1 它们还是准对角矩阵．
与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；
(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛n m
E O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：
(1) 分块初等对换阵
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛O E E O
m
n ； (2) 分块初等倍乘阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛P O
O E m
； (3) 分块初等倍加阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E O Q E ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛n m
E Q O E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：
(1) ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C
B A
O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛D C PB PA D C B A E O O P n ； (3) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛PA D PA C B A D C B A E P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．
分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．
定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个
k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成
的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．
引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这
k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．
定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则
C A C
O B A =．
证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式
C
O B
A 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得
C A C
O B A =．
类似地行列式的形式为
C
B O
A 时，由行列式的转置值不变，因此仍有
C A C A C B O
A =''='
''．
通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式
C
O B
A 换成
O
C B
A 又会有怎样的结论，它的值等于
B
C 吗
定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则
B C O
C B A n 2
)1(-=． 证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此
C B O
C B A s )1(-=，
其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即
B C O
C B A n 2
)1(-=． 定理3 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．
(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=．
证明 (1) 当0≠A 时，有
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得
=P A B CA D 1--．
(2) 当0≠D 时，有
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得
P =D B CD A 1--．
将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．
推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C B E r -=； (2)
BC A E C
B A s
-=．
证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有
CB D CB
D O
B E D C
B E r r -=-=．
(2) 只需在定理3中令s E B =，即有
BC A E C O
BC A E C B A s
s -=-=．
推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有
BC E CB E E C
B
E r s s
r -=-=． 证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有
BC E CB E E C
B
E r s s
r -=-=． 定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，
=D
C
B A CD AB -；
(2) 当A 0≠且BA AB =时，
=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，
=D
C
B A B
C DA -．
证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得
=D
C
B A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=
CB AD -=，
即
=D
C
B A CB AD -，
(2)、(3)、(4)类似可得．
定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有
B A B A A
B
B A -+=．
证明 根据分块矩阵性质有
B
A O
B B A A
A B B B A A B
B A -+=++=
B A B A -+=．
定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则
)1(1βαβα-+=+A A A T T ．
证明 因
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T T
T
A A
E βαββαα， (1)
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--αβαβ
αβ11
10110A A
A A
E
T T T ， (2)
(1)式、(2)式两边各取行列式，又
分块矩阵在行列式计算中的应用 11010=-=-T E
E βα
，
从而有
)1(11αβαββα-+=+=-A A A A
T T T ．。