云南大学2003--2019年数学分析、高等代数考研真题

学 七、（20
分）设
u
=
x
3f
(xy,
y x
),
其中
f
具有连续的二阶偏导数，求
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂2u ∂y 2
,
∂2u ∂x∂y
八、（15 分）设 x i > 0(i = 1,2,Λ , n), 且 x1 + x 2 + Λ + x n = a, 求函数 u = n x1x 2 Λ x n
的最大值，并证明不等式 n
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 ,E A 为正定矩阵.
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《数学分析》
其中 s 是上半球面 z R 2 x 2 y2 的下侧。
六、（20
分）设
A
-
5 4
56
（1）求 A 的特征值，特征向量。
（2）试求使 C1AC为对角矩阵的C，求A 2（n n为正整数）。
七、（20 分）设 A，B，C，D Pnn，若A：X AXB CX XD，X Pnn ,
证明：（1）A为Pnn的线性变换,。（2）当C D 0时，A，B可逆 A可逆 。
x tan x
2
x = 3t 2 + 2t + 3
四、（15
分）设
y=y(x)是由方程组
x = 3t e ysint
2 + 2t −y+
+3 1=
0
所确定的隐函数，求微分
dy t=0 和d 2 y t=0
五 、（ 15 分 ） 设 函 数 f(x) 在 [a, b] 上 连 续 ， 在 （ a,b ） 内 二 阶 可 导 ， 弦
长 同的特征根 1, 2 , , n , V.证明：，A，A2， ，A n1 线性无关的充分必要
n
学 条件是 i ,其中i是A相应于i的特征向量，i 1，2， ，n.
i1
六、（20 分）设 f (x1, x 2 , x 3 , x 4 ) 2x1x 2 2x1x 3 4x1x 4 2x 2 x 3 , 试分别在实数域上和
y2 y2在 x=0 点的某个领域内具有连续的二阶导数，且
考 lim
f
(x)
0,求证：级数 f
( 1 )绝对收敛
。
x0 x
n1 n
长 五、（15 分）计算积分
学 I （x3 R）dydz (y3 2R)dzdx (z3 3R)dxdy x2 y2 z2
x1x2 Λ
xn
≤
x1 + x2 + Λ n
+ xn
[ ] 九、（15 分）计算积分 ∫∫∫ (z − y)2 + (y − x)2 + (x − z)2 dxdydz, 其中区域 v 由不等 v
式 x 2 + y2 ≤ z ≤ 1表示
十 、（ 15 分 ） 计 算 积 分 I = ∫L (y + 1)dx + (z + 2)dy + (x + 3)dz, 其 中 L 为 圆 周
1
一、（20
分）已知
f
(x)
=
a
x 1
+
a
x 2
+Λ n
+
a
x n
x ，其中 a1, a 2 ,Λ
,an 为
n
个正实数，
求极限（1） limf (x) ；（2） limf (x)
x →0
x→∞
二、（10 分）证明：函数 f (x) = excos 1 在（0，1）内非一致连续。 x
三、（10 分）求证不等式 sin x > x , x ∈ (0, π )
研 AB(A(a, f (a)),B(b, f (b))) 与曲线 y = f (x) 相交于点 C(c, f (c)),c ∈ (a, b), 证明：在
考 （a,b）内至少存在一点ξ ，使得 f '' (ξ ) = 0
长 六、（15 分）将函数 f (x) = ln(4x - x 2 ) 在 x=1 处展开为幂级数，并求出其收敛域。
八、（20 分）已知：
2 - 2 0
A 2
1
-
2
，求一正交矩阵
T
，使
T‘AT
成对角形。
0
- 2 0
九、（10 分）证明：n 维欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《高等代数 A 卷》
二、（15 分）设 f (x) 在[a,b](a>0)上连续，在（a，b）内可微，且
f ' (x) 0,试证：存在点，， （a，b），使得
f‘（） f ' ( )
三、（20 分）设 u x 2 y, y x 2 y,以u，v 为新的自变量，变换方程
2z y 2z 1 z (y 0), 并求解该方程。
三、（20 分）计算行列式
a n (a -1)n (a - n)n
a n-1 (a -1)n-1 (a - n)n-1
a (a -1)1 a - n
1
1
1
x y z 1
研 四、（30 分）解线性方程组： ax by cz d . 考 a 2x b2y c2z d2
五、（30 分）令 V 为数域 P 上一 n 维线性空间，A 是 V 上的线性变换，且在 P 中有 n 个不
云南大学2003年--2019年真题
云南大学 2003 年硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、系统分析与集成 考试科目：《数学分析与高等代数》
一 、（ 15
分 ） 设 f (x) 连 续 ， lim f (x) tanx 1, 又 F(x) 1f (tx)dt.（1）求
x0
x
0
F' (x)（; 2）讨论F' (x)的连续性 。
一 、（ 20 分 ） 令 S 是 一 些 n 阶 方 阵 组 成 的 集 合 ， 关 于 任 意
A, B S, AB S,且（AB）3 BA.证明（A，B S）AB BA.
二、（20 分）设 f (x), g(x), h(x), k(x) 为实序数 多项式，它们适合下列关系：
（x 2 1)h(x) (x 1)f (x) (x 2)g(x) 0 .证明：f(x),g(x)都能被 x 2 1整除 . （x 2 1)k(x) (x 1)f (x) (x 2)g(x) 0