第7章 连续概率分布分析
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统计学
statistics
李欣先 Email:lixinxian2005@126.com tongjxxx@163.com
2018/10/14 商学院 1
第7章 连续概率分布
（continuous Probability Distributions）
第1节 均匀分布（ uniform distribution ） 第2节 正态分布（ the normal probability
2 0 2 1 2
于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6
商学院
2018/10/14
11
均匀分布
(uniform distribution)
若随机变量X的概率密度函 数为 1 a X b f ( x) b a 其他 0 称X在 [a ,b]上服从均匀 分布，记为X~U[a,b]
2018/10/14
商学院
10
• 例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X)。
1 x, p( x) 1 x, 0,
0 1 1
1 x 0 0 x 1 其他
解
E ( X ) x(1 x)dx x(1 x)dx 0
0
1 E ( X ) x (1 x)dx x (1 x)dx 1 0 6
F ( x)的几何意义：
X
x
F ( x)的性质：
1) 0 F ( x) 1
2) F ( x)单调不减，且F () 0，F () 1
0 P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
2018/10/14 商学院 3
例：设随机变量X的分布律为 X pk -1 1/4 2 1/2 3 1/4
4) 在f ( x)连续点x， F '( x) f ( x)
即在f ( x)的连续点
F ( x x) F ( x) P( x X x x) f ( x) F '( x) lim lim x 0 x 0 x x 与物理学中的质量线密度的定义相类似
P( x X x x) f ( x) x
求X的分布函数，并求p(x≤1/2), p(3/2<x≤5/2), p(2 ≤ x≤3)。
2018/10/14 商学院 4
例：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中 靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆 盘的面积成正比，并设射击都能中靶， 以X表示弹着点与圆心的距离，试求随 机变量X的分布函数。
2018/10/14
数学期望和方差
ab (b a) 2 E( X ) ; D( X ) 2 12
商学院 12
2018/10/14
均匀分布
(概率计算)
随机变量X在某取值范围[a ,b]的任一子区间[c ,d]上取值 的概率为
d c P (c X d ) ba
同样有：
ca P( X c) ba
商学院
5
连续型随机变量及其概率密度
（probability density function） 定义： 对于随机变量X的分布函数 F ( x), 若存在 非负的函数 f ( x), 使对于任意实数 x, 有： x
F ( x)
f (t )dt
则称X为连续型随机变量， 其中 f ( x) 称为X的概率密度函数，简称概率密度。
2018/10/14
x1 x2
f ( x)表示X 落在点x附近的概率的多少
商学院
7
例：设X的概率密度为
0 x 1 c f ( x) 2 9 3 x 6 0 其他
(1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； 2 P ( X k ) ，求k的值。 (3) 要使 3 解： 2 1 1 6 2 1 1 f ( t ) dt c dt dt c c 3 3 0 9 3
2018/10/14
商学院
6
f ( x)的性质：
1) f ( x) 0
2)
面积为1
y f ( x)
+
f ( x)dx 1
Px1 X x2
3) 对于任意的实数x1，x2 ( x2 x1 ) P x1 X x2
x2
x1
f (t ) dt P( X a) 0
2018/10/14 商学院
bc P( X c) ba
13Fra Baidu bibliotek
均匀分布
【例】某公共汽车站从早上6时起每隔15分钟开出一趟班 车，假定某乘客在 6点以后到达车站的时刻是随机的，所 以有理由认为他等候乘车的时间长度 X 服从参数为 a=0 ， b=15的均匀分布。试求该乘客等候乘车的时间长度少于 5 分钟的概率
2018/10/14
商学院
9
• 例:设随机变量X的概率密度函数为
2 x , p( x) 0, 0 x 1 其他
试求X的数学期望 解
E ( X ) xp( x)dx
x 2 xdx
0
1
2 31 2 2 x dx x 0 3 0 3
1 2
distribution）
第3节 指数分布（ exponential distribution ）
2018/10/14
商学院
2
随机变量的分布函数
随机变量X , 对实变量x, P( X x) 应为x的函数
定义：随机变量X , 对任意实数x, 称函数 F ( x) P( X x)为X的概率分布函数，简称分布函数。
2 F (k ) k 4.5 3 使 P( X k ) 商学院 2018/10/14 3
8
连续型随机变量的期望和方差
连续型随机变量的数学期望
E ( X ) xf ( x)dx
方差
D( X )
x E ( X ) f ( x)dx 2
2
F ( x) P X x
x0 0 x 1 1 x 3 3 x 6 x6
x0 0 x 3 0 x 1 1 3 1 x 3 (2 x 3) / 9 3 x 6 x6 1
0 x1 0 3 dt 11 dt 0 3 11 x 2 dt dt 3 9 03 1
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李欣先 Email:lixinxian2005@126.com tongjxxx@163.com
2018/10/14 商学院 1
第7章 连续概率分布
（continuous Probability Distributions）
第1节 均匀分布（ uniform distribution ） 第2节 正态分布（ the normal probability
2 0 2 1 2
于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6
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均匀分布
(uniform distribution)
若随机变量X的概率密度函 数为 1 a X b f ( x) b a 其他 0 称X在 [a ,b]上服从均匀 分布，记为X~U[a,b]
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10
• 例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X)。
1 x, p( x) 1 x, 0,
0 1 1
1 x 0 0 x 1 其他
解
E ( X ) x(1 x)dx x(1 x)dx 0
0
1 E ( X ) x (1 x)dx x (1 x)dx 1 0 6
F ( x)的几何意义：
X
x
F ( x)的性质：
1) 0 F ( x) 1
2) F ( x)单调不减，且F () 0，F () 1
0 P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
2018/10/14 商学院 3
例：设随机变量X的分布律为 X pk -1 1/4 2 1/2 3 1/4
4) 在f ( x)连续点x， F '( x) f ( x)
即在f ( x)的连续点
F ( x x) F ( x) P( x X x x) f ( x) F '( x) lim lim x 0 x 0 x x 与物理学中的质量线密度的定义相类似
P( x X x x) f ( x) x
求X的分布函数，并求p(x≤1/2), p(3/2<x≤5/2), p(2 ≤ x≤3)。
2018/10/14 商学院 4
例：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中 靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆 盘的面积成正比，并设射击都能中靶， 以X表示弹着点与圆心的距离，试求随 机变量X的分布函数。
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数学期望和方差
ab (b a) 2 E( X ) ; D( X ) 2 12
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均匀分布
(概率计算)
随机变量X在某取值范围[a ,b]的任一子区间[c ,d]上取值 的概率为
d c P (c X d ) ba
同样有：
ca P( X c) ba
商学院
5
连续型随机变量及其概率密度
（probability density function） 定义： 对于随机变量X的分布函数 F ( x), 若存在 非负的函数 f ( x), 使对于任意实数 x, 有： x
F ( x)
f (t )dt
则称X为连续型随机变量， 其中 f ( x) 称为X的概率密度函数，简称概率密度。
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x1 x2
f ( x)表示X 落在点x附近的概率的多少
商学院
7
例：设X的概率密度为
0 x 1 c f ( x) 2 9 3 x 6 0 其他
(1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； 2 P ( X k ) ，求k的值。 (3) 要使 3 解： 2 1 1 6 2 1 1 f ( t ) dt c dt dt c c 3 3 0 9 3
2018/10/14
商学院
6
f ( x)的性质：
1) f ( x) 0
2)
面积为1
y f ( x)
+
f ( x)dx 1
Px1 X x2
3) 对于任意的实数x1，x2 ( x2 x1 ) P x1 X x2
x2
x1
f (t ) dt P( X a) 0
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bc P( X c) ba
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均匀分布
【例】某公共汽车站从早上6时起每隔15分钟开出一趟班 车，假定某乘客在 6点以后到达车站的时刻是随机的，所 以有理由认为他等候乘车的时间长度 X 服从参数为 a=0 ， b=15的均匀分布。试求该乘客等候乘车的时间长度少于 5 分钟的概率
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9
• 例:设随机变量X的概率密度函数为
2 x , p( x) 0, 0 x 1 其他
试求X的数学期望 解
E ( X ) xp( x)dx
x 2 xdx
0
1
2 31 2 2 x dx x 0 3 0 3
1 2
distribution）
第3节 指数分布（ exponential distribution ）
2018/10/14
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2
随机变量的分布函数
随机变量X , 对实变量x, P( X x) 应为x的函数
定义：随机变量X , 对任意实数x, 称函数 F ( x) P( X x)为X的概率分布函数，简称分布函数。
2 F (k ) k 4.5 3 使 P( X k ) 商学院 2018/10/14 3
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连续型随机变量的期望和方差
连续型随机变量的数学期望
E ( X ) xf ( x)dx
方差
D( X )
x E ( X ) f ( x)dx 2
2
F ( x) P X x
x0 0 x 1 1 x 3 3 x 6 x6
x0 0 x 3 0 x 1 1 3 1 x 3 (2 x 3) / 9 3 x 6 x6 1
0 x1 0 3 dt 11 dt 0 3 11 x 2 dt dt 3 9 03 1