2-4四边形单元

考虑到简单性、完备性、连续性及待定系数的唯一确定性分别选取单 元中各个方向的位移模式为： 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
⎧u ( x, y ) = β1 + β 2 x + β3 y ⎨ ⎩v ( x, y ) = β 4 + β 5 x + β 6 y
同样，根据节点条件，即：
⎧u ( xk , yk ) = uk ( k = i , j , m) ⎨ v( xk , yk ) = vk ⎩
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再将应变矩阵(用形函数与节点位移表示)代入应力矩阵中，有：
σ = D ⋅ B ⋅ qe = S ⋅ qe
(3×1) (3×3) (3×6) (6×1) (3×6)
(6×1)
其中，应力矩阵为：
(3×6)
S = D⋅ B
(3×3) (3×6)
单元势能的表达
以上将三大基本变量 (u , ε , σ ) 均用基于单元节点位移列阵来进 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系 行表达了，将其代入单元的势能表达式中，有：
其中，Ke是单元刚度矩阵，即：
Ke = ∫
(6×6)
Ωe
(6×3) (3×3) (3×6)
B DB
T
= ∫ e BT DB ⋅ dA ⋅ t dΩ
A
t为平面问题单元的厚度。
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由式
⎡bi 1 ⎢ ( x, y ) = B ⎢0 2A (3×6) ⎢ci ⎣
0 ci bi
yi 1 1 y j = (ai + a j + am ) = (bi c j − b j ci ) 2 2 ym
ai =
xj xm 1
yj ym yj
= x j ym − xm y j = y j − ym
ai-cm
等9个参数的值均由单 元的节点坐标确定
bi = − ci =
1 ym
1 xj 1 xm
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
其中，N(x,y)为形状函数矩阵，即：
⎡ Ni N ( x, y ) = ⎢ 0 (2×6) ⎣ 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 0 ⎤ Nm ⎥ ⎦
1 Ni = (ai + bi x + ci y ) (i, j , m) 2A
单元应变场的表达
由弹性力学平面问题的几何方程(矩阵形式) 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
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ui 1 uj β1 = 2A um
xi xj xm
yi 1 yj = (ai ui + a j u j + amum ) 2A ym
β2 =
1 1 2A 1 1 1 β3 = 1 2A 1
1 ui uj um xi
xj xm
yi 1 yj = (bi ui + b j u j + bmum ) 2A ym ui 1 uj = (ci ui + c j u j + cmum ) 2A um
单元应力场的表达
由弹性力学中平面问题的物理方程，将其写成矩阵形式，为： 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
⎡ ⎢1 ⎡σ x ⎤ E ⎢ ⎢ ⎥ ( x, y, z ) = ⎢σ y ⎥ = μ σ1) 2 ⎢ 1− μ ⎢ (3× ⎢τ xy ⎥ ⎣ ⎦ ⎢0 ⎣ ⎤ μ 0 ⎥ ⎡εx ⎤ ⎥⎢ ⎥ 1 0 ⎥ ⎢εy ⎥ = D ⋅ ε (3×3) (3×3) 1 − μ ⎥ ⎢γ xy ⎥ 0 ⎥⎣ ⎦ 2 ⎦
将单元的势能对节点位移取一阶极值，可得到单元的刚度方程：
∏e =
1 σ T ⋅ ε d Ω − [ ∫ e b T ⋅ ud Ω + ∫ e pT ⋅ udA] e Sp Ω 2 ∫Ω 1 = q eT ( ∫ e BT DBd Ω)q e − ( ∫ e N T bd Ω + ∫ e N T pT dA)q e Sp Ω Ω 2 1 = q eT K e q e − P eT q e 2
bj 0 cj
Fra Baidu bibliotek
0 cj bj
bm 0 cm
0⎤ ⎥ ⎡ cm ⎥ = ⎢ B i ⎣ ⎥ ⎢ (3×2) bm ⎦
Bj
(3×2)
⎤ Bm ⎥ (3×2) ⎥ ⎦
可知，B矩阵为常系数矩阵，因此，上式可以写成：
Ke =
(6×6)
(6×3) (3×3) (3×6)
B D Bt
T
⎡ kii ⎢ = ⎢ k ji A ⎢ kmi ⎣
= − x j + xm
a,b,c编号以顺序方式记即可。 将 β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6代入u(x,y), v(x,y)表达式中，有：
u ( x, y ) = N i ( x, y )ui + N j ( x, y )u j + N m ( x, y )um v( x, y ) = N i ( x, y )vi + N j ( x, y )v j + N m ( x, y )vm
⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ∂x ⎡εx ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ∂v ⎥ ⎢ ε1)( x, y) = ⎢ ε y ⎥ = ⎢ ∂y ⎥ = ⎢ 0 (3× ⎥ ⎢ ⎢γ xy ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ∂u ∂v ⎥ ⎢ ∂ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎣ ∂y ∂x ⎦ ⎣ ∂y ⎤ 0⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎡ u ( x, y ) ⎤ = ∂y ⎥ ⎢ v( x, y ) ⎥ ⎦ ⎥⎣ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎦
[ ∂ ] N ( x, y ) ⋅ q e = B ( x, y ) ⋅ q e
(3×2) (2×6) (6×1) (3×6)
(6×1)
其中几何函数矩阵B(x,y)为：
⎡∂ ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ( x, y ) = ∂ N = ⎢ 0 B (3×6) (2×6) (3×2) ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎣ ∂y ⎤ 0⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎡ Ni ⎥⎢ ∂y ⎥ ⎣ 0 ∂⎥ ⎥ ∂x ⎦
写成矩阵形式，有： 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
⎡ ui ⎤ ⎢v ⎥ ⎢ i⎥ 0 ⎤ ⎢u j ⎥ e ⎥ ⎢ ⎥ = N ( x, y ) ⋅ q N m ⎦ ⎢ v j ⎥ (2×6) (6×1) ⎢um ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vm ⎥ ⎣ ⎦
⎡ u ( x, y ) ⎤ ⎡ N i u1)( x, y) = ⎢ v( x, y) ⎥ = ⎢ 0 (2× ⎣ ⎦ ⎣
∏e =
1 σ T ⋅ ε d Ω − [ ∫ e b T ⋅ ud Ω + ∫ e pT ⋅ udA] Sp Ω 2 ∫Ωe 1 = q eT ( ∫ e BT DBd Ω)q e − ( ∫ e N T bd Ω + ∫ e N T pT dA)q e Sp Ω Ω 2 1 = q eT K e q e − P eT q e 2
A为三角形单元的面积
1 (ai vi + a j v j + am vm ) β4 = 2A 1 (bi vi + b j v j + bm vm ) β5 = 2A 1 (ci vi + c j v j + cm vm ) β6 = 2A
其中：
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1 xi 1 A = 1 xj 2 1 xm
kij = BT D i
kij k jj kmj
kim ⎤ ⎥ k jm ⎥ kmm ⎥ ⎦
kim = BT D i ......
其中，
kii = BT D i
(2×3) (3×3) (3×2)
Bi
(2×3) (3×3) (3×2)
Bj
(2×3) (3×3) (3×2)
Bm
单元刚度方程
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广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
④ ⑤ ⑧ ⑩ ⑦
②
⑥ ⑨ u=0, v=0
三节点三角形单元如所示，三个节点的编 号为1,2,3，各自位置坐标为 ( xi , yi ), i = 1, 2,3 各个节点的位移(分别沿x方向和y方向)为
(ui , vi ), i = 1, 2,3
三角形单元共有6个节点位移自由度。将所有节点上的位移组成一个位 移列阵，记为qe，同样，将所有节点上的各个力也组成一个力列阵， 记为Pe，则有：
Bj
(3×2)
⎤ Bm ⎥ (3×2) ⎥ ⎦
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其中，
⎡bi 1 ⎢ = Bi 2 A ⎢ 0 (3×2) ⎢ci ⎣
0⎤ ci ⎥ (i, j , m) ⎥ bi ⎥ ⎦
当单元的节点坐标确定后，这些参数都是常量(与坐标变量x,y 无关)，因此，B是常量矩阵。当单元的节点位移确定后，由 B转换求得的单元应变都是常量，也就是说在载荷作用下， 单元中各点具有同样的应变值，因此，3节点三角形单元也称 为常应变单元。
其中平面应力问题的弹性系数矩阵为：
⎡ ⎢1 E ⎢ D = 1 − μ 2 ⎢μ (3×3) ⎢ ⎢0 ⎣ ⎤ μ 0 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 1− μ ⎥ 0 ⎥ 2 ⎦
若为平面应变问题，则将上式中的系数换成平面应变问题的系数即可， E μ , ) 即将 ( E , μ ) 换成 ( 2
1− μ 1− μ
[∂ ] u
(3×2)
(2×1)
其中 [ ∂ ] 为几何方程的算子矩阵，即
⎡∂ ⎢ ⎢ ∂x ⎢ =⎢ 0 ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎣ ∂y ⎤ 0⎥ ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂y ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎦
[∂ ]
(3× 2)
将节点位移代入上式，则有： 广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
(3×1)
ε
( x, y ) =
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四边形单元与三角形单元的异同
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Node 3 Node 6 Node 9 Node 10
Node 4
Node 8
Node 12
Node 13
T1 ① T2 ③
v3 节点3(x3,y3) u3 v2 v1 u1 y 节点1(x1,y1) x O u2 节点2(x2,y2)
⇒ Ke
(6×6) (6×1)
e= e q P
(6×1)
广义坐标有限元位移模式的一般原则
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A. 广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度 数相等。如平面三角形单元有6个结点自由度(结点位移)，广义坐 标个数应取6个，因此两个方向的位移u和v各取三项多项式。 B. 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移模式中的 常数项和一次项反映了单元的刚体位移和常应变的特性。 C. 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元 的精度。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式 应具有坐标的对称性。并且一个坐标方向的次数不应超过完全多 项式的次数，以保证相邻单元的交界面上位移协调性。
vm 节 点 m(xm,ym) um vj vi ui y x O 节点i(xi,yi) uj 节点j(xj,yj)
对于图示的平面3节点三角形单元，由于有3个节点，每一个节点有两个 位移，因此，共有6 个节点位移，即6个自由度。如果我们将x方向和y方 向的位移进行分别表达，则每个方向的位移由3个节点位移来确定，即 每个方向的位移可以设定3个待定系数。
将各方向位移的位移模式代入节点位移表达式中，有：
⎧ui ( xi , yi ) = β1 + β 2 xi + β3 yi ⎪v ( x , y ) = β + β x + β y 4 5 i 6 i ⎪ i i i ⎪u j ( x j , y j ) = β1 + β 2 x j + β 3 y j ⎪ ⎨ ⎪v j ( x j , y j ) = β 4 + β 5 x j + β 6 y j ⎪u ( x , y ) = β + β x + β y 1 2 m 3 m ⎪ m m m ⎪vm ( xm , ym ) = β 4 + β5 xm + β 6 ym ⎩
[ ]
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 ⎤ Nm ⎥ ⎦
将 Ni =
1 (ai + bi x + ci y ) (i, j , m) 2A
代入上式，有：
⎡bi 1 ⎢ B ( x, y ) = 2 A ⎢ 0 (3×6) ⎢ci ⎣
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0⎤ ⎥ ⎡ cm ⎥ = ⎢ B i ⎢ (3×2) bm ⎥ ⎣ ⎦
q e = ⎡ui ⎣
6×1
vi
uj
vj
um
vm ⎤ ⎦
T
⎣ P e = ⎡ Pxi
6×1
Pyi
Pxj
Pyj
Pxm
Pym ⎤ ⎦
T
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若该单元承受外载，则可以将外载等效到单元节点上，即等效节点 力。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以 将单元的所有力学参量用节点位移列阵qe及相关的插值函数来表示。