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3）坐标原点的表示
O = [0 0 0 1]T
4）矢量u的方向用4 1列阵可表达为： u = [a b c 0]T
a = cos，b = cos，c = cos
7
机械电子学院
例题：
解：
矢量 u：cos = 0，cos = 0.866，cos = 0.5
u = [0 0.866 0.5 0]T
a b = ( ay bz - az by ) i + ( az bx - ax bz ) j + ( ax by - ay by ) k
• 可用行列式表示为
i jk ab ax ay az
bx by bz
5
机械电子学院
第一节齐次坐标与动系位姿矩阵
2.齐次坐标 定义：
将一个n维空间的点用n + 1维坐标表示，则该n + 1维 坐标即为n维坐标的齐次坐标。
矢量 v：cos = 0.866，cos = 0，cos = 0.5
v = [0.866 0 0.5 0]T
矢量 w：cos = 0.866，cos = 0.5，cos = 0
w = [0.866 0.5 0 0]T
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机械电子学院
第一节齐次坐标与动系位姿矩阵
3.动系的位姿表示
1）动系与静系
oy oz
ay az
Py
Pz
0
0
0
1
An object can be represented in space by attaching a frame
to it and representing the frame in space.
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机械电子学院
第一节 齐次坐标与动系位姿矩阵
nx=±0.707,nz=0,oy=0,oz=1,
？
0 ？ 5 ax=±0.707,ay=-0.707
F= 0.707 ？ ？ 3 ？ ？02
0 001
大家想想为什么会出现多组解呢？ 这是因为利用给出的参数我们得到了两组在相 反方向相互垂直的向量。 除此之外，nx与ax必须同号，你知道为什么吗？ 最终我们得到了如下两个矩阵
在机器人坐标系中，运动时相对于参考系不动的坐标系称为静坐 标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。
9
机械电子学院
第一节 齐次坐标与动系位姿矩阵
2）刚体的位姿描述
绕着它前进的方向（z轴）旋转 ø 称为摇摆，
绕着它的横向中轴（y轴）旋转θ 称为俯仰，
绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转ψ 称为偏转
2
机械电子学院
第一节齐次坐标与动系位姿 矩阵
• 1.点向量的描述--Point vectors
点向量描述空间的一个点在
某个坐标系的空间位置。同
一个点在不同坐标系的描述
及位置向量的值也不同。图
中，点p在E坐标系上表示
为 Ev ，在H坐标系上表示
为 H u ，且 u v
。
一个点向量可表示为
v EP aib j ck
工业机器人 Industrial Robot
主讲：牛雪娟 杜玉红
机械电子学院
School of Mechanical & Electronic Engineering
第一章 机器人运动学
1.1 齐次变换与动系位姿矩阵 1.2 齐次变换 1.3 机器人的位姿分析 1.4 机器人正向运动学 1.5 机器人逆向运动学
13
机械电子学院
0.707 0 0.707 5
F= 0.707 0 -0.707 3 或 F=
0
10 2
0 00 1
-0.707 0 -0.707 5
0.707 0 -0.707 3
0 10 2
0 00
1
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机械电子学院
刚体位姿表示矩阵
nx ox ax Px
Fobject
ny nz
3）机器人连杆的位姿表示——齐次变换矩阵 z y
z
y
x
zx
z y
y
x
x
n [nX o [oX
nY oY
nZ oZ
0]T 0]T
a [aX
aY
aZ
0]T
nX oX aX X0
d [n o a
P
]
nY nZ
oY aY oZ aZ
Y0
Z
0
0 0 0 1
1）空间任意点的坐标表示
AP = [PX PY PZ]T P = [a b c w]T ， a = wPX ；b = wPY ；c = wPZ]。 当取w = 1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
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机械电子学院
齐次坐标
2）坐标轴的方向表示
X = [1 0 0 0 ]T Y = [0 1 0 0]T Z = [0 0 1 0]T
0 0 0 1 a·o=0
︱a︱=1
对于左边的三个方程，我们也可以这样表示
正确的答案是：12条
n×o=a o×a=n a×n=o
如果我们利用一些约束条件，是不是可以将上述信息减少到6条 呢？答案是肯定的。但是，这需要利用6个必定存在的约束条件。
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机械电子学院
求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系。
连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的动系位姿表示
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机械电子学院
例：
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机械电子学院
Biblioteka Baidu
P 2 1 0 1T
n cos30 cos60 cos90 0T
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机械电子学院
齐次变换矩阵
大家来想一想，这个矩阵中有几条信息？
Fobject=
nx ox ax px 首先，三个向量n ,o ,a是相互垂直的
其次，每个单位向量的长度必须为1
ny oy ay py
我们可以将其转换为以下六个约束方程：
nz oz az pz
n·o=0 n·a=0
︱n︱=1 ︱o︱=1
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机械电子学院
动系位姿矩阵
nx ox ax Px
F ny
oy
ay
Py
nz oz az Pz
0
0
0
1
Each Unit Vector is mutually perpendicular. : normal, orientation, approach vector
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z
p
c•
Ev
x
0
by
a
u Hy
x
z
0
点向量的描述
• 已知两个向量
a axi ay j azk b bxi by j bzk
• 向量的点积是标量。用“ · ”来定义向量点积， 则
a b axbx ayby azbz
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• 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平 面的向量。用“×”表示叉积，即
O = [0 0 0 1]T
4）矢量u的方向用4 1列阵可表达为： u = [a b c 0]T
a = cos，b = cos，c = cos
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例题：
解：
矢量 u：cos = 0，cos = 0.866，cos = 0.5
u = [0 0.866 0.5 0]T
a b = ( ay bz - az by ) i + ( az bx - ax bz ) j + ( ax by - ay by ) k
• 可用行列式表示为
i jk ab ax ay az
bx by bz
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第一节齐次坐标与动系位姿矩阵
2.齐次坐标 定义：
将一个n维空间的点用n + 1维坐标表示，则该n + 1维 坐标即为n维坐标的齐次坐标。
矢量 v：cos = 0.866，cos = 0，cos = 0.5
v = [0.866 0 0.5 0]T
矢量 w：cos = 0.866，cos = 0.5，cos = 0
w = [0.866 0.5 0 0]T
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第一节齐次坐标与动系位姿矩阵
3.动系的位姿表示
1）动系与静系
oy oz
ay az
Py
Pz
0
0
0
1
An object can be represented in space by attaching a frame
to it and representing the frame in space.
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第一节 齐次坐标与动系位姿矩阵
nx=±0.707,nz=0,oy=0,oz=1,
？
0 ？ 5 ax=±0.707,ay=-0.707
F= 0.707 ？ ？ 3 ？ ？02
0 001
大家想想为什么会出现多组解呢？ 这是因为利用给出的参数我们得到了两组在相 反方向相互垂直的向量。 除此之外，nx与ax必须同号，你知道为什么吗？ 最终我们得到了如下两个矩阵
在机器人坐标系中，运动时相对于参考系不动的坐标系称为静坐 标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。
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机械电子学院
第一节 齐次坐标与动系位姿矩阵
2）刚体的位姿描述
绕着它前进的方向（z轴）旋转 ø 称为摇摆，
绕着它的横向中轴（y轴）旋转θ 称为俯仰，
绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转ψ 称为偏转
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机械电子学院
第一节齐次坐标与动系位姿 矩阵
• 1.点向量的描述--Point vectors
点向量描述空间的一个点在
某个坐标系的空间位置。同
一个点在不同坐标系的描述
及位置向量的值也不同。图
中，点p在E坐标系上表示
为 Ev ，在H坐标系上表示
为 H u ，且 u v
。
一个点向量可表示为
v EP aib j ck
工业机器人 Industrial Robot
主讲：牛雪娟 杜玉红
机械电子学院
School of Mechanical & Electronic Engineering
第一章 机器人运动学
1.1 齐次变换与动系位姿矩阵 1.2 齐次变换 1.3 机器人的位姿分析 1.4 机器人正向运动学 1.5 机器人逆向运动学
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0.707 0 0.707 5
F= 0.707 0 -0.707 3 或 F=
0
10 2
0 00 1
-0.707 0 -0.707 5
0.707 0 -0.707 3
0 10 2
0 00
1
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刚体位姿表示矩阵
nx ox ax Px
Fobject
ny nz
3）机器人连杆的位姿表示——齐次变换矩阵 z y
z
y
x
zx
z y
y
x
x
n [nX o [oX
nY oY
nZ oZ
0]T 0]T
a [aX
aY
aZ
0]T
nX oX aX X0
d [n o a
P
]
nY nZ
oY aY oZ aZ
Y0
Z
0
0 0 0 1
1）空间任意点的坐标表示
AP = [PX PY PZ]T P = [a b c w]T ， a = wPX ；b = wPY ；c = wPZ]。 当取w = 1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
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齐次坐标
2）坐标轴的方向表示
X = [1 0 0 0 ]T Y = [0 1 0 0]T Z = [0 0 1 0]T
0 0 0 1 a·o=0
︱a︱=1
对于左边的三个方程，我们也可以这样表示
正确的答案是：12条
n×o=a o×a=n a×n=o
如果我们利用一些约束条件，是不是可以将上述信息减少到6条 呢？答案是肯定的。但是，这需要利用6个必定存在的约束条件。
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求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系。
连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的动系位姿表示
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机械电子学院
例：
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机械电子学院
Biblioteka Baidu
P 2 1 0 1T
n cos30 cos60 cos90 0T
11
机械电子学院
齐次变换矩阵
大家来想一想，这个矩阵中有几条信息？
Fobject=
nx ox ax px 首先，三个向量n ,o ,a是相互垂直的
其次，每个单位向量的长度必须为1
ny oy ay py
我们可以将其转换为以下六个约束方程：
nz oz az pz
n·o=0 n·a=0
︱n︱=1 ︱o︱=1
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机械电子学院
动系位姿矩阵
nx ox ax Px
F ny
oy
ay
Py
nz oz az Pz
0
0
0
1
Each Unit Vector is mutually perpendicular. : normal, orientation, approach vector
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z
p
c•
Ev
x
0
by
a
u Hy
x
z
0
点向量的描述
• 已知两个向量
a axi ay j azk b bxi by j bzk
• 向量的点积是标量。用“ · ”来定义向量点积， 则
a b axbx ayby azbz
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• 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平 面的向量。用“×”表示叉积，即