罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理的几种类型及其应用
1引言
最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中给出的(罗尔1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎)，主要内容是: 在多项式方程()f x =0的两个相邻的实根之间，方程()0f x '=至少有一个根．
在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理.
2 微分中值定理
2.1 罗尔定理
[]1(P
若函数()f x 满足以下条件：（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）
()()f a f b =.则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=.
罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那么曲线至少存在一条水平切线.罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理，它演绎了拉格朗日中值定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义.
2.2 拉格朗日中值定理
[]
1
若函数()f x 满足：（1） 在闭区间[],a b 连续；（2） 在开区间(),a b 上可导；则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()()()
f a f b f a b
ξ-'=
-.
拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线.
2.3 柯西中值定理
[]
1
若函数()f x 和()g x 满足：（1）在闭区间[],a b 连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）()f x '和()g x '不同时为0；（4）()()g a g b ≠则存在(),a b ξ∈；使得
()()()()
()()
f f b f a
g g b g a ξξ'-=
'-。

柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把()f x 和()g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程
()()
u g x v f x =⎧⎪⎨
=⎪⎩ 于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。

从三个定理内容和形式上看，罗尔定理演绎了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，所以罗尔定理的应用范围直接影响了拉格朗日中值定理和柯西中值定理；由三个定理的条件看，减弱罗尔定理的第三个条件可以得到拉格朗日中值定理和柯西中值定理.那么是不是减弱罗尔定理的条件可以得出其它类型更便于应用的中值定理呢？把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 连续依次改为()f x 在
(),a b 连续、()f x 在(),b +∞上连续、()f x 在(),a -∞上连续、()f x 在(),-∞+∞上连续，再把
两端点极限值从有限数推广到无限数，于是得出了以下几个命题．
2.4 罗尔定理的推广
命题1 若函数()f x 满足以下条件：（1）()f x 在开区间(),a b 上连续；（2）()f x 在开区
间(),a b 上可导；（3）()()lim lim x a
x b
f x f x +-
→→=；则至少存在一个则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=.
证明 :当()()lim lim x a
x b
f x f x +-
→→==c(c 为有限数)，做函数()F x ：在开区间(),a b 上，()()F x f x =， ()()lim x a
F a f x +→=，()()lim x b
F b f x -
→=．则()F x 满足：(1) 在闭区间[],a b 连续；(2)在开区间(),a b 上有有限的导数；(3)()()F a F b =；则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得
()0F ξ'=，又在开区间(),a b 上()()F x f x =，所以至少存在一个数(),a b ξ∈，使得
()()0f F ξξ''==．
当()()lim lim x a
x b
f x f x +-
→→==+∞（或-∞)时，做函数()F x =()arctan f x ，则函数()F x 满足：(1)()F x 在开区间(),a b 上连续;（2）()F x 在开区间(),a b 上有有限的导函数;（3）.
()()lim lim x a
x b
F x F x +-
→→==2π(或-2
π)． 这种情形是把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 上连续减弱到了()f x 在(),a b 上连续，关于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
下面举一个例子，看看是不是能找到符合条件的点。

例1 ()21
31
f x x x =
++
解 ()f x
在开区间33,22⎛--+
⎝
⎭
连续可导并且有2211
3131x x x x x x +
-
→→⎝⎭
⎝
⎭
==-∞++++ 令()0f x '=有
()()
()
2
2
2331x f x x
x -+'=
++＝
0333222x ⎛---+⇒=-
∈ ⎝⎭
该题中()f x
在33,22⎛--+
⎝
⎭
连续可导，并且2211
3131x x x x x x +
-
→→⎝⎭
⎝
⎭
==-∞++++， 满足命题1中：()f x 在开区间(),a b 上连续可导，并且()()lim lim x a
x b
f x f x +-
→→=
，而且该题中存在32x =-∈⎝⎭
，使得()0f x '=．这就符合了命题1的结论：至少存在一个则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=．
命题2 若函数()f x 满足以下条件：（1）()f x 在开区间(),b +∞连续；(2) ()f x 在(),b +∞上
可导；(3) ()()lim lim x x b
f x f x -
→+∞
→=；则存在(),b ξ∈+∞，使得()0f ξ'= 证明 若()()lim lim x x b
f x f x c -
→+∞
→== (其中c 为有限数)， 由()lim x f x c →+∞
=，可得对于任意的ζ，存在N ，当x N >时，有()f x c ζ-<，由于ζ的任意性，
这里不妨设ζ=1，于是有()11c f x c -<<+；由()lim x b
f x c -
→=，可得对于任意的1ζ，存在δ，当1x c ζ-<时，有()1f x c ζ-<，设11ζ=，于是有()11c f x c -<<+；又在[],1b N δ++的闭
区间内，连续函数()f x 一定存在最值，设其最大值为1M 和最小值1m ，取M={}1max 1,c M +和
{}1min 1,m c m =-，若M m =，则()f x 在(),b +∞是常数函数，于是在(),b +∞上()f x '永远为
0；若M m ≠，则()f x 在(),b +∞内，必能取得极值，由费马定理可知，一定存在(),b ξ∈+∞，使得()0f ξ'=．
若()()lim lim x x b
f x f x -
→+∞
→==+∞ (或-∞)，只须设()()arctan F x f x =，在()F x 下条件与前面的部分是一致的．
这种情形是把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 上连续减弱到了()f x 在(),b +∞上连续，关于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
例2 ()21
x f x x
-=
解 ()f x 在()1,+∞连续可导并且有
22111lim lim 0x x x x x x +→+∞→--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令()0f x '=，有()2
4
20x x f x x
-'==，0x ⇒=或2x =，2x =()1,∈+∞． 在本题中()f x 在()1,+∞连续可导并且有
22111lim lim 0x x x x x x +→+∞→--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
满足了命题2 中的()f x 在(),b +∞上连续可导并且有 ()()lim lim x x b
f x f x -
→+∞
→=的条件，而且本题中可以找到2x =()1,∈+∞，使得()0f x '=．于是该题符合了命题2的结论：存在(),b ξ∈+∞，使得()0f ξ'=．
命题3 若函数()f x 满足以下条件:(1) 在开区间(),a -∞上连续；(2) ()f x 在(),a -∞上可导；(3) ()()lim lim x x a f x f x →-∞
→-
=；则存在(),a ξ∈-∞，使得()0f ξ'=．
证明 :若()()lim lim x x a f x f x c →-∞
→-
==证明方法和命题2上一致的，这里就不再给出详细的证明过
程了．
若()()lim lim x x a f x f x →-∞
→-
==∞，则可作()()arctan F x f x =，这就把条件转化到已证类型了．
这种情形是把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 上连续减弱到了()f x 在(),a -∞上连续，关于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
例3()1
2f x x x
=
-- 解 ()f x 在(),2-∞连续可导并且有
211lim lim 22x x x x x x -→-∞→⎛⎫⎛⎫-=-=+∞ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
令()0f x '=，
()()
()
22
431
03
2x x x f x x x --+=⎧'=
=⇒⎨=⎩-，()1,2x =∈-∞
这道例题中()f x 在(),2-∞连续可导并且有
211lim lim 22x x x x x x -→-∞→⎛⎫⎛⎫-=-=+∞ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
符合命题3中的在开区间(),a -∞上连续可导并且有()()lim lim x x a f x f x →-∞
→-
=的条件，而且也找到了
()1,2x =∈-∞使得()0f x '=，同样也得出命题2的结论：存在(),a ξ∈-∞，使得()0f ξ'=．
命题4 若函数()f x 满足以下条件：(1) 在开区间(),-∞+∞上连续；(2) ()f x 在(),-∞+∞上可导；(3) ()()lim lim x x f x f x →-∞
→+∞
=；则存在(),ξ∈-∞+∞，使得()0f ξ'=
证明 若()()lim lim x x f x f x c →-∞
→+∞
==（c 为有限数），由()lim x f x c →-∞
=和()lim x f x c →+∞
= 可知，
对于任意的ζ，存在正整数N ，当x N >时，有()f x c ζ-<，因为ζ的任意性，令ζ＝1，于是有()11c f x c -<<+；又()f x 在[]1,1N N --+的最大值和最小值，设其最大值为1M 和最小值
1m ，取M={}1max 1,c M +和{}1min 1,m c m =-，若M m =，则()f x 在(),-∞+∞是常数函数，
于是在(),-∞+∞上()f x '永远为0；若M m ≠，则()f x 在(),-∞+∞内，必能取得极值，由费马定理可知，一定存在(),ξ∈-∞+∞，使得()0f ξ'=．
若()()lim lim x x f x f x →-∞
→+∞
==∞，同样可以令()()arctan F x f x =证明方法同上．
这种情形是把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 上连续减弱到了()f x 在(),-∞+∞上连续，关于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
例4 ()2
x f x xe
-=
解 ()f x 在(),-∞+∞上连续可导且有
2
2
lim lim 0x x x x xe
xe
--→-∞
→+∞
==，
令()0f x '=，
()()2
2120x f x e x -'=-=，(),
x ⇒=±
-∞+∞ 此题符合命题4的条件，而且找到了(),
x =-∞+∞，也得出了命题4的结论． 罗尔定理几种类型已经得出，这些罗尔定理的新类型又有哪些具体的应用呢？下面就这些问题谈一下罗尔定理的几种类型的应用．．
3 罗尔定理的几种类型的应用
例5[4](P249) 证明多项式
()(){}
2
112!n
n
n n
n
d P x x
n dx =-
的根都是实数且包含于区间()1,1-．
证明 显然2n 次多项式()()
()()2
21
11n
n n
n Q x x x x =-=-+仅有实根1±（1+和1-都是n
重根）根据命题1结论可知()(){}2
112!n
n
n n
n
d P x x n dx =-仅有实根，且都含于区间()1,1-上，但是
显然1+和1-都不是()2n Q x 的根．
这道例题是用命题1确定方程的根的特性和范围，这是一个直接应用罗尔定理的其它类型解决代数问题的典型例子．这道题中的多项式是著名的勒襄德多项式，还有其它许多著名的多项式方程也是应用罗尔定理的几种类型分析多项式方程的根的范围．这道例题是对罗尔定理的几种类型直接应用，直接应用是应用罗尔定理的几种类型解题的最普遍的类型，应用时要多注意一下条件和待证明结果，当然最重要的是要真正理解罗尔定理的几种类型．
例6 设函数()f x ：（1）在闭区间(),n x -∞上有定义并且有n-1阶的连续导函数()
()1n f x -，
（2）在开区间(),n x -∞上有n 阶导函数()
()n f
x ，
（3）有如下关系 ()()()01lim x f x f x f x →-∞
==…()lim n
x x f x -→=．
证明：在区间(),n x -∞上，至少存在一个数ξ使得()
()0n f
ξ=．
证明 在每一个闭区间
()1,x -∞，[]12,x x ，……[]1,k k x x -，……，()1,n n x x -
上，函数()f x 满足罗尔定理的条件，因此，存在n 个数1
23,,x x x '''，……，k x '，…，n x '，其中()11,x x '∈-∞、()1,k k k x x x -'∈（k ＝2，3，…n ），于是在每个区间()1,k k x x +满足罗尔定理的条件，所以存在数()
1,k k k x x x +''''∈（k=1，2，…，n-1），使()0k
f x ''''=，反复应用罗尔定理及其几种类型，重复上述步骤，经（n-1）后，得出一个区间()11
12,,n n n x x x --⎡⎤⊂-∞⎣⎦，满足()
()11
0n n k
f
x --=（k=1，
2），于是在此区间上，函数()
()1n f
x -满足罗尔定理的条件，所以可以得出至少存在一个数ξ使得
(
)
()0n f ξ=．这道题中的定义范围也可以在(),b +∞或(),-∞+∞上，结论也是成立的。

该例题综合应用了罗尔定理和罗尔定理新类型中的命题3，也是应用罗尔定理解决根的问题中
有代表意义的例子，该题涉及的解题方法是拉椐法，也就是反复应用罗尔定理及其几种类型，拉椐法可以说是一种方法，也可以说是一种思维方式，在应用上没什么可以多注意的地方，主要是要对罗尔定理及其推广形式从活应用．
例7 [6](P146)设()f x 在()0,+∞上可导且()2
01x
f x x <<
+，证明：存在()0,ξ∈+∞，使得()()
2
2
211f ξξξ-'=
+。

证明 作函数()()2
1x
F x f x x
=-
+， 则()F x 在()0,+∞上连续，在()0,+∞上可导，并且有
()()0lim lim 0x x F x F x +
→+∞
→==
由罗尔定理可得，存在()0,ξ∈+∞，使得()0F ξ'=，即
()()
2
2
211f ξξξ-'=
+
例7是应用命题2解题的例子，是作辅助函数的方法解题的典型例子，其中所作的辅助函数虽然也是根据所证明结果构建的，但是该函数不能直接通过观察得到，构建辅助函数要经过试验．首先有()f x 在()0,+∞上可导，构建辅助函数()F x 时只须一个在()0,+∞连续可导的函数就能保证
()F x 在()0,+∞连续可导，再次由()2
01x
f x x <<
+，可以得出()()0lim
lim 0x x f x f x +→+∞→==． 再结合所要证明的结果，我们就不妨设
()()2
1x
F x f x x =-
+ 其中
2
1x
x +在()0,+∞上可导，这就保证了()F x 在()0,+∞连续可导，其中 ()()0lim lim 0x x F x F x +
→+∞
→==
这样新构建的辅助函数()F x 就满足了罗尔定理的推广形式中的命题2的条件，如果可以通过这个辅助函数得出所要证明的结果当然好了，但是有时在一些比较复杂的问题中要通过多次的试验才能构造出正确的辅助函数．值得一提的是在构建辅助函数时所作的辅助函数并一定是唯一的．
4 总结
总体来说，通过减弱罗尔定理初始条件得出罗尔定理的四种类型是对罗尔定理的扩展，符合创新的思想，但是罗尔定理新的类型并不一定是只有四种，在实践过程中罗尔定理及其几种类型的研究会逐步完善起来．罗尔定理几种类型的应用并不复杂，最主要的是直接应用，其次是做辅助函数对罗尔定理的几种类型进行应用和推广，再次就是在一道题中反复应用罗尔定理及其几种类型．总结几种类型为初学者提供了便利.。