罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理的几种类型及其应用

1引言

最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中给出的(罗尔1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎)，主要内容是: 在多项式方程()f x =0的两个相邻的实根之间，方程()0f x '=至少有一个根．

在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理.

2 微分中值定理

2.1 罗尔定理

[]1(P

若函数()f x 满足以下条件：（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）

()()f a f b =.则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=.

罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那么曲线至少存在一条水平切线.罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理，它演绎了拉格朗日中值定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义.

2.2 拉格朗日中值定理

[]

1

若函数()f x 满足：（1） 在闭区间[],a b 连续；（2） 在开区间(),a b 上可导；则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()()()

f a f b f a b

ξ-'=

-.

拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线.

2.3 柯西中值定理

[]

1

若函数()f x 和()g x 满足：（1）在闭区间[],a b 连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）()f x '和()g x '不同时为0；（4）()()g a g b ≠则存在(),a b ξ∈；使得

()()()()

()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-=

'-。

柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把()f x 和()g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程

()()

u g x v f x =⎧⎪⎨

=⎪⎩ 于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。

从三个定理内容和形式上看，罗尔定理演绎了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，所以罗尔定理的应用范围直接影响了拉格朗日中值定理和柯西中值定理；由三个定理的条件看，减弱罗尔定理的第三个条件可以得到拉格朗日中值定理和柯西中值定理.那么是不是减弱罗尔定理的条件可以得出其它类型更便于应用的中值定理呢？把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 连续依次改为()f x 在

(),a b 连续、()f x 在(),b +∞上连续、()f x 在(),a -∞上连续、()f x 在(),-∞+∞上连续，再把

两端点极限值从有限数推广到无限数，于是得出了以下几个命题．

2.4 罗尔定理的推广

命题1 若函数()f x 满足以下条件：（1）()f x 在开区间(),a b 上连续；（2）()f x 在开区

间(),a b 上可导；（3）()()lim lim x a

x b

f x f x +-

→→=；则至少存在一个则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=.

证明 :当()()lim lim x a

x b

f x f x +-

→→==c(c 为有限数)，做函数()F x ：在开区间(),a b 上，()()F x f x =， ()()lim x a

F a f x +→=，()()lim x b

F b f x -

→=．则()F x 满足：(1) 在闭区间[],a b 连续；(2)在开区间(),a b 上有有限的导数；(3)()()F a F b =；则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得

()0F ξ'=，又在开区间(),a b 上()()F x f x =，所以至少存在一个数(),a b ξ∈，使得

()()0f F ξξ''==．

当()()lim lim x a

x b

f x f x +-

→→==+∞（或-∞)时，做函数()F x =()arctan f x ，则函数()F x 满足：(1)()F x 在开区间(),a b 上连续;（2）()F x 在开区间(),a b 上有有限的导函数;（3）.

()()lim lim x a

x b

F x F x +-

→→==2π(或-2

π)． 这种情形是把罗尔定理条件中的()f x 在[],a b 上连续减弱到了()f x 在(),a b 上连续，关于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．

下面举一个例子，看看是不是能找到符合条件的点。 例1 ()21

31

f x x x =

++

解 ()f x

在开区间33,22⎛--+

⎝

⎭

连续可导并且有2211

3131x x x x x x +

-

→→⎝⎭

⎝

⎭

==-∞++++ 令()0f x '=有

()()

()

2

2

2331x f x x

x -+'=

++＝

0333222x ⎛---+⇒=-

∈ ⎝⎭

该题中()f x

在33,22⎛--+

⎝

⎭

连续可导，并且2211

3131x x x x x x +

-

→→⎝⎭

⎝

⎭

==-∞++++， 满足命题1中：()f x 在开区间(),a b 上连续可导，并且()()lim lim x a

x b

f x f x +-

→→=

，而且该题中存在32x =-∈⎝⎭

，使得()0f x '=．这就符合了命题1的结论：至少存在一个则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=．

命题2 若函数()f x 满足以下条件：（1）()f x 在开区间(),b +∞连续；(2) ()f x 在(),b +∞上

可导；(3) ()()lim lim x x b

f x f x -

→+∞

→=；则存在(),b ξ∈+∞，使得()0f ξ'= 证明 若()()lim lim x x b

f x f x c -

→+∞

→== (其中c 为有限数)， 由()lim x f x c →+∞

=，可得对于任意的ζ，存在N ，当x N >时，有()f x c ζ-<，由于ζ的任意性，

这里不妨设ζ=1，于是有()11c f x c -<<+；由()lim x b

f x c -

→=，可得对于任意的1ζ，存在δ，当1x c ζ-<时，有()1f x c ζ-<，设11ζ=，于是有()11c f x c -<<+；又在[],1b N δ++的闭

区间内，连续函数()f x 一定存在最值，设其最大值为1M 和最小值1m ，取M={}1max 1,c M +和

{}1min 1,m c m =-，若M m =，则()f x 在(),b +∞是常数函数，于是在(),b +∞上()f x '永远为